§ 8. Теория Куммера
В этом параграфе мы дадим обобщение теоремы, касающейся циклических расширений, на тот случай, когда основное поле содержит достаточно много корней из единицы.
Пусть k — поле и
— положительное целое число. Расширение Галуа К поля k с группой G называется расширением показателя
, если
для всех
Мы будем исследовать абелевы расширения показателя т. Сначала предположим, что
взаимно просто с характеристикой поля k и что k содержит примитивный корень
степени из единицы. Обозначим через
группу корней
степени из 1. Будем предполагать в этом параграфе, что все наши алгебраические расширения содержатся в некотором фиксированном алгебраическом замыкании
Пусть
. Выражение
(или
) не определено однозначно. Если
— корень
степени из единицы, то также и
. Мы будем использовать символ
для обозначения любого такого элемента а и все такие элементы а будем называть корнями
степени из а. Заметим, что, поскольку корни
степени из единицы лежат в основном поле, поле
будет одним и тем же независимо от того, какой корень
степени а из а мы выберем. Мы будем обозначать это поле символом
Обозначим через
подгруппу в k, состоящую из всех
степеней ненулевых элементов из k. Это образ группы к при гомоморфизме
Пусть В — подгруппа k, содержащая
. Мы будем обозначать символом
или
композит всех полей
однозначно определен подгруппой В как подполе в
Пусть
и а — корень
степени из а. Многочлен
разлагается на линейные множители в
и, таким образом,
— расширение Галуа над k, поскольку это выполняется для всех
. Пусть G — его группа Галуа. Если
то
где
— некоторый корень
степени из единицы. Отображение
является, очевидно, гомоморфизмом G в
, т. е. для
,
имеем
Мы можем написать
. Этот корень из единицы
не зависит от выбора корня
степени из а, поскольку если а — другой корень
степени, то
для некоторого
, откуда
Обозначим
символом
. Соответствие
дает нам отображение
Если
, то
и, следовательно,
Отсюда, заключаем, что предыдущее отображение билинейно. Кроме того, если
, то
Теорема 13. Пусть k — поле и
— целое число
взаимно простое с характеристикой поля k, причем примитивный корень
степени из единицы лежит в k. Пусть В — подгруппа в к, содержащая
Тогда
— абелево расширение Галуа показателя
. Пусть G — его группа Галуа. Имеет место билинейное отображение
Если
, то
. Ядро слева равно 1, а ядро справа есть
. Расширение
конечно тогда и только тогда, когда индекс (
) конечен, и в этом случае
Доказательство. Пусть
причем
для всех
Тогда
для всякого примитивного элемента а поля
такого, что
. Следовательно, о индуцирует тождественное отображение на
и ядро слева равно 1. Пусть
причем
для всех
. Рассмотрим подполе
Если
не лежит в k, то существует автоморфизм поля
над k, не являющийся тождественным. Продолжим этот автоморфизм на
и обозначим продолжение снова через а. Тогда ясно, что
Это доказывает наше утверждение.
В силу теоремы двойственности из гл. I, § 11 мы видим, что группа G конечна тогда и только тогда, когда конечна группа
и в этом случае порядок G равен индексу
.
Теорема 14. В обозначениях теоремы 13 отображение
дает биективное соответствие между множеством подгрупп в k, содержащих
и множеством абелевых расширений над k показателя
.
Доказательство. Пусть
— подгруппы в k, содержащие
. Если
, то
Обратно, предположим, что
. Мы хотим доказать, что
Пусть
Тогда
причем
содержится в конечно порожденном подрасширении в
. Таким образом, не теряя общности, мы можем предполагать, что группа
— конечно порожденная и, следовательно, конечная. Пусть
— подгруппа в k, порожденная
и b. Тогда
а из того, что мы видели выше, вытекает, что степень этого поля над k есть
Таким образом, эти два индекса равны и
. Это доказывает, что
.
Итак, мы получили вложение нашего множества групп В в множество абелевых расширений поля k, имеющих показатель
. Предположим теперь, что К — некоторое абелево расширение над k показателя
. Любое конечное подрасширение есть композит циклических расширений показателя
, поскольку всякая конечная абелева группа является произведением циклических групп, и мы можем применить следствие 2 теоремы S, § 1. В силу теоремы 10 всякое циклическое расширение может быть получено присоединением корня
степени. Следовательно, К может быть получено присоединением семейства корней
степени, скажем корней
степени из элементов где
. Пусть В — подгруппа в k, порожденная всеми b и
Если
где
, то, очевидно,
Следовательно, что и требовалось доказать.
В случае когда мы имеем дело с абелевыми расширениями показателя
, равного характеристике, мы должны развить аддитивную теорию, находящуюся к теоремам 13 и 14 в таком же отношении,
теорема 11 к теореме 10.
Пусть
- поле характеристики
. Определим оператор
, положив
для
. Тогда есть аддитивный гомоморфизм поля k в себя. Подгруппа
играет ту же роль, что и подгруппа
в мультипликативной теории для случая, когда
— простое число. Теория, касающаяся степеней р, несколько сложнее и принадлежит Витту. Читателя, желающего посмотреть, как она выглядит, мы отсылаем к упражнениям.
Корень многочлена
будем обозначать через
Для всякой подгруппы В в к, содержащей
положим
Это поле, полученное присоединением к k для всех
Подчеркнем тот факт, что В — аддитивная подгруппа в
Теорема 15. Пусть
- поле характеристики
. Отображение
является биективным соответствием между подгруппами в k, содержащими
и абелевыми расширениями поля k, имеющими показатель
. Пусть
и G — группа Галуа этого расширения. Имеет место билинейное отображение
Если
, то
. Ядро слева равно 1, а ядро справа есть
Расширение
конечно тогда и только тогда, когда индекс (
) конечен, и в этом случае
Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательствам теорем 13 и 14. Оно может быть получено заменой умножения сложением и использованием
корней" вместо корней
степени. Никаких других изменений в доказательстве не требуется.
Аналогичная теорема для абелевых расширений показателя
требует векторов Витта и будет изложена в упражнениях.