§ 2. Коммутативные кольца
В этом параграфе слово „кольцо“ будет означать „коммутативное кольцо“.
Пусть А — кольцо. Простой идеал в А — это такой идеал Ф А, что кольцо
— целостное. Эквивалентным образом мы могли бы сказать, что это такой идеал
, для которого из условий
всегда следует, что
или
.
Пусть m — идеал. Мы говорим, что
— максимальный идеал, если
и если не существует идеала
, содержащего
.
Всякий максимальный идеал — простой. Доказательство. Пусть
— максимальный идеал, и пусть
таковы, что
. Предположим, что
. Тогда
— идеал, строго содержащий
и, стало быть, равный А. Следовательно, мы можем написать
где
. Умножая на у, получаем
откуда
, таким образом, простой.
Пусть А — кольцо. Всякий его идеал
содержится в некотором максимальном идеале
Доказательство. Множество идеалов, содержащих а и
, индуктивно упорядочено по включению. Действительно, если
— линейно упорядоченное множество таких идеалов, то
ни для какого i и, следовательно, 1 не лежит в идеале
который и мажорирует все
Пусть
— некоторый максимальный элемент в нашем множестве. Тогда
и m является максимальным идеалом, что и требовалось установить.
Пусть А — кольцо. Тогда (0) является простым идеалом в том и только в том случае, если А — целостное. (Доказательство очевидно.)
Мы определили поле К как такое кольцо, в котором
и мультипликативный моноид отличных от нуля элементов является группой (т. е. если
то для
существует обратный). Отметим, что единственные идеалы поля К — это само К и нулевой идеал.
Если А — кольцо и m — максимальный идеал, то
— поле. Доказательство. Для
обозначаем через
класс вычетов элемента
по модулю
. Так как
, то в
имеется единичный элемент
Всякий ненулевой элемент из
может быть записан
Чтобы найти его обратный, заметим, что
есть идеал в А, строго содержащий m и, стало быть, равный А. Следовательно, мы можем написать
где
. Это означает, что
(т. е. 1) и, таким образом,
имеет обратный, что и требовалось установить.
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что и обратно, если А — кольцо и
— такой идеал, что
— поле, то
максимален.
Пусть
— гомоморфизм (коммутативных колец, согласно действующему соглашению). Пусть
— простой идеал в А и
Тогда идеал
простой.
Для доказательства возьмем
с условием
. Предположим, что
. Тогда
. Но
Следовательно,
что и требовалось установить.
В качестве упражнения докажите, что если гомоморфизм
сюръективен
— максимальный идеал в А, то идеал
максимален в А.
Пример. Пусть Z — кольцо целых чисел. Мы уже отмечали, что всякий идеал в этом кольце главный и имеет вид
для некоторого целого
(однозначно определенного идеалом). Пусть — простой идеал (отличный от 0),
Тогда
должно быть простым числом, что по существу непосредственно вытекает из определения простого идеала. братно, если
— простое число, то
— простой идеал (тривиальное упражнение). Кроме того,
— максимальный идеал. Действительно, предположим, что
содержится в некотором идеале
Тогда
для некоторого целого
, откуда
или
что и доказывает максимальность
Пусть
— целое число. Факторкольцо
называется кольцом целых чисел по модулю
. Если
равно простому числу
, то кольцо целых чисел по модулю
является в действительности полем, обозначаемым символом
. В частности, мультипликативная группа поля
называется группой отличных от нуля целых чисел по модулю
. Из элементарных свойств групп получаем следующий стандартный факт элементарной теории чисел. Если
— целое число
, то
. (Для простоты обычно пишут
вместо
и аналогично пишут
вместо
для любого целого
.) Если, далее, дано целое число
то обратимые элементы кольца
состоят из тех классов вычетов
которые представляются целыми числами
, взаимно простыми с
. Порядок группы единиц (обратимых элементов) кольца
обозначается через
известна как эйлерова
-функция)
Следовательно, если
— целое число, взаимно простое с
, то
.
Китайская теорема об остатках. Пусть А — кольцо и
— такие идеалы, что
при всех
Для любого семейства элементов
кольца А существует такой элемент
что
при всех
.
Доказательство — по индукции. Если
, то имеем
для некоторых элементов
и можно положить
Предположим, что теорема доказана для семейства из
идеалов. Для каждого
мы можем найти элементы и
такие, что
Произведение
равно 1 и лежит в
, т. е.
. Следовательно,
В силу справедливости теоремы при
мы можем найти такой элемент
что
Аналогично найдутся такие элементы
что
при j. Тогда элемент
удовлетворяет нашим требованиям.
Еще одно замечание в том же духе: если
— такие идеалы в А, что
и если
— положительные целые числа, то
Доказательство тривиально и предоставляется читателю в качестве упражнения.
Следствие. Пусть А — кольцо и
идеалы в А.
Предположим, что
при
. Пусть
— отображение кольца А в написанное произведение, индуцированное каноническими отображениями А на
для каждого множителя. Тогда ядро отображения
есть
и f сюръективно, что приводит, таким образом, к изоморфизму
Доказательство. Утверждение о ядре очевидно. Сюръективность вытекает из предыдущей теоремы.
Теорема и ее следствие часто применяются к кольцу целых чисел Z и к попарно различным простым идеалам
Они удовлетворяют предпосылкам теоремы, поскольку являются максимальными. Аналогично можно взять целые числа
попарно взаимно простые, и применить теорему к главным идеалам
. Это ультраклассический случай китайской теоремы об остатках.
Пусть, в частности,
— целое число
и
— разложение
на простые сомножители с показателями
. Тогда имеем изоморфизм колец
Если А — кольцо, то обозначаем, как обычно, через А мультипликативную группу обратимых элементов в А. Мы предоставляем следующее утверждение читателю в качестве упражнения.
Предыдущий кольцевой изоморфизм
на произведение индуцирует изоморфизм групп
В силу этого изоморфизма имеем
Если
— простое число
— целое число 1, то
Последняя формула доказывается по индукции. Если
то
- поле и мультипликативная группа этого поля имеет порядок
При
рассмотрим канонический гомоморфизм колец
порожденный включением идеалов
Индуцированный им гомоморфизм групп
сюръективен, потому что любое целое число а, представляющее некоторый элемент из
и взаимно простое
, будет представлять также некоторый элемент из
Пусть а — целое число, представляющее такой элемент из
что
. Тогда
и, следовательно, мы можем написать
для некоторого
Значения
приводят к
различным элементам из
которые все лежат в ядре X. Но в качестве элемента
: в предыдущем сравнении всегда может быть выбрано одно из этих
чисел, поскольку всякое целое число сравнимо с одним из них по модулю
. Следовательно, ядро X имеет порядок
и наша формула доказана.
Отметим, что ядро X изоморфно группе
(Доказательство) Пусть А — кольцо. Обозначим на минуту его единичный элемент через е. Отображение
для которого
будет, очевидно, кольцевым гомоморфизмом с идеалом-ядром
, порожденным некоторым целым числом
. Канонический инъективный гомоморфизм
является (кольцевым) изоморфизмом между
и некоторым подкольцом в А. Если А — целостное, то
— простой идеал и, следовательно,
или
где
— некоторое простое число. В первом случае А содержит в качестве подкольца кольцо, изоморфное Z и часто отождествляемое с Z. В этом случае мы говорим, что А имеет характеристику 0. Если же
, то мы говорим, что А имеет характеристику
в этом случае А содержит (изоморфный образ)
в качестве подкольца