§ 5. Пополнения и нормирования

В этом параграфе мы рассматриваем неархимедово абсолютное значение v на поле К. Это абсолютное значение является нормированием, группа значений которого Г. есть подгруппа группы положительных вещественных чисел. Пусть — его кольцо нормирования, m — максимальный идеал.

Обозначим через К пополнение относительно v и через (соответственно - замыкание (соответственно ) в К. По непрерывности всякий элемент из имеет значение , а всякий элемент из , не лежащий в о, имеет значение Если то существует элемент для которого очень мало и, значит, для такого элемента у (в силу неархимедовости). Следовательно, — кольцо нормирования в — его максимальный идеал. Кроме того,

и мы имеем изоморфизм

Таким образом, поле вычетов не изменяется при пополнении.

Пусть Е — расширение поля — его кольцо нормирования, лежащее над — максимальный идеал в Предположим, что нормирование, соответствующее является в действительности абсолютным значением, так что мы можем образовать пополнение Е.

Тогда имеет место коммутативная диаграмма

в которой вертикальные стрелки являются вложениями, а горизонтальные — изоморфизмами. Таким образом, расширение поля вычетов нашего нормирования можно изучать для пополнений Е и К.

Аналогичное замечание применимо и к индексу ветвления. Пусть и обозначают группы значений наших нормирований на К и К соответственно (т. е. образ при отображении для соответственно). Мы видели выше, что другими словами, ввиду свойства неархимедовости группа значений при пополнении остается той же самой. (Это, разумеется, уже не так в архимедовом случае.) Пусть снова Е — расширение поля — абсолютное значение на Е, продолжающее v. Имеет место коммутативная диаграмма

из которой видно, что индекс ветвления также не изменяется при пополнении.