§ 3. Элементарные свойства многочленов

Пусть А — коммутативное кольцо и S — множество из символов Отождествляя с их каноническими образами в кольце многочленов мы называем независимыми переменными над A, a -кольцом многочленов от переменных. Всякий многочлен а из А [X] допускает единственное представление в виде

Пусть (-элемент из (прямого произведения А самого на себя раз), которое мы будем обозначать через АК В силу теоремы 1 существует однозначно определенный гомоморфизм

для которого при и который тождествен на А. Имеем

Мы будем обозначать этот элемент из А через и говорить, что это элемент, полученный подстановкой вместо в а.

Таким образом, мы видим, что а определяет функцию на со значениями в А.

Аналогично, если А — подкольцо (коммутативного) кольца В и — элемент из то мы можем тем же путем, что и выше, образовать элемент и получить функцию из В в В, задаваемую соответствием .

Записывая а, как и выше, мы видим, что

или в векторных обозначениях

В этих обозначениях

Мы увидим ниже, что в том случае, когда А — целостное кольцо, также целостное. Если К — поле частных кольца А, то поле частных кольца обозначается через Элементы поля называются рациональными функциями. Всякая рациональная функция может быть записана в виде дроби , где — многочлены. Если - элемент из и рациональная функция допускает представление в виде такой дроби что то мы говорим, что эта рациональная функция определена в (b). Из общих свойств локализации вытекает, что в этом случае мы можем подставить в рациональную функцию и получить значение

Может случиться, что многочлен не является нулевым многочленом, но определяет нулевую функцию.

Пример. Пусть для некоторого простого р. Если , то . Если , то а — элемент мультипликативной группы ненулевых элементов из А, имеющей порядок Значит, и мы получаем

Это справедливо для всех . Поэтому многочлен определяет нулевое отображение А в себя, а многочлены и X определяют одну и ту же функцию, а именно тождественное отображение на А.

Вообще пусть F — конечное поле и q — число элементов в F. Тогда как так и X определяют тождественное отображение F в себя. Можно показать, что любое отображение F в себя задается некоторым многочленом (от одной переменной) и аналогично любая функция на F со значениями в F задается некоторым многочленом от переменных (см. упражнения).

Пусть снова А — подкольцо в В, и пусть - элементы из В. Напомним, что если гомоморфизм

задаваемый соответствием имеет тривиальное ядро, т. е. если он является вложением, то алгебраически независимы над А. Если и элемент алгебраически независим над А, то мы также говорим, что b трансцендентен над А.

Пример. Известно (хотя и не тривиально доказывается), что числа трансцендентны над полем рациональных чисел Q. Не известно, являются ли они алгебраически независимыми (или даже, рационально ли число ). Для конкретных комплексных чисел обычно бывает чрезвычайно трудно выяснить, являются ли они трансцендентными или же алгебраически независимыми над полем рациональных чисел.

Пусть А обозначает, как и прежде, коммутативное кольцо, и пусть Под степенью примитивного одночлена

мы будем понимать целое число (которое ). Многочлен

будет называться одночленом (не обязательно примитивным).

Если — многочлен из записываемый в виде

то либо и в этом случае мы говорим, что его степень равна — либо а и тогда мы определяем степень а как максимум степеней одночленов , для которых (G таких одночленах говорят, что они встречаются в многочлене.) Отметим, что степень многочлена а равна 0 в том и только в том случае, если

для некоторого Этот многочлен мы также записываем просто как т. е. пишем 1 вместо

отождествляя тем самым этот многочлен с константой

Отметим, что многочлен от переменных можно рассматривать как многочлен от с коэффициентами в (если 2). Действительно, имеет место гомоморфизм

получаемый подстановкой, и этот гомоморфизм, очевидно, является изоморфизмом.

Таким образом,

где — элементы из . Под степенью многочлена а относительно мы будем понимать его степень как многочлена от с коэффициентами в . Легко видеть, что если эта степень равна d, то - наибольшее целое число, встречающееся в качестве показателя при в одночленах

. Аналогичным образом определяем степень по каждой переменной

Степень многочлена а по каждой отдельной переменной, как правило, отличается, конечно, от его степени (которую называют иногда полной степенью, если хотят избежать двусмысленности). Например,

имеет полную степень 4, степень 3 по и 2 по

Мы будем часто слово «степень» сокращенно обозначать символом

Пусть — многочлен от одной переменной из А [X]

где — некоторое целое число 0. Если то по определению мы называем старшим коэффициентом многочлена а - его постоянным членом. Заметим, что

Пусть

— некоторый многочлен из А [X] степени , причем . Тогда

Если предположить, что по крайней мере один из старших коэффициентов или не является делителем 0 в А, то

и старший коэффициент равен . Это выполняется, в частности, в тех случаях, когда или есть единица в А, или когда кольцо А — целостное.

Следовательно, если А — целостное кольцо, то А [X] также целостное. Если или , то мы по-прежнему имеем

если считать, что для любого целого .

Тривиально проверяется, что для любых многочленов имеет место неравенство

опять-таки при соглашении, что для всякого целого .

Мы предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что в том случае, когда А — целостное кольцо и — многочлены от нескольких переменных имеют место те же правила:

Здесь степень может пониматься либо как полная степень, либо как степень по одной из переменных. Мы заключаем отсюда, что кольцо — целостное.

Пусть снова А — произвольное коммутативное кольцо и d — целое число . Пусть

— многочлен от переменных над А. Мы будем говорить, что однородный многочлен степени d, или форма степени d, если все одночлены, встречающиеся в имеют степень d, т. е. если в записи

для всякого имеем

Мы предоставим читателю в качестве упражнения доказать, что ненулевой многочлен от переменных над А является однородным степени d тогда и только тогда, когда для всякого множества из алгебраически независимых элементов и, над А имеет место равенство

Пусть - однородный многочлен степени d. В силу теоремы 1 аналогичное соотношение выполняется, если подставить вместо и, произвольные элементы (при этом берутся из некоторого коммутативного кольца В, содержащего А в качестве подкольца).

Отметим, что если и g — однородные многочлены степеней соответственно и , то — однородный многочлен степени . Если , то — однородный многочлен степени

Наконец, сделаем одно замечание относительно терминологии. Ввиду изоморфизма

между кольцом многочленов от переменных и кдльцом, порожденным над алгебраически независимыми элементами, мы можем применять всю терминологию, введенную нами для многочленов, к элементам из Таким образом, мы можем говорить о степени элемента из и правила для степени произведения и суммы будут выполняться. Фактически мы будем элементы из называть также многочленами от (t). Алгебраически независимые элементы будут также называться переменными (или независимыми переменными); любое различие, которое мы делаем между является скорее психологическим, чем математическим.