§ 2. Группы
Группа G — это моноид, в котором для каждого элемента
существует элемент
такой, что
Элемент у называется обратным к
Обратный элемент единствен; действительно, если у — другой обратный к
то
Мы обозначаем этот обратный элемент через
(или через —
когда закон композиции записывается аддитивно).
Для любого положительного целого числа
мы полагаем
При этом обычные правила оперирования с показателями выполняются для всех целых чисел, а не только для целых чисел 0 (как это было для моноидов в § 1). Тривиальное доказательство предоставляется читателю.
Мы могли бы также определить левые единицы и левые обратные (очевидным способом). Легко доказать, что они являются на самом деле единицами и обратными соответственно. Именно:
Пусть G — множество с ассоциативным законом композиции
— левая единица для этого закона. Предположим, что у каждого элемента есть левый обратный. Тогда
— единица и всякий левый обратный является также обратным. В частности, G — группа.
Для доказательства рассмотрим произвольный элемент
и его левый обратный
Имеем
Умножение слева на левый обратный для b дает
другими словами, b является также правым обратным к а. Кроме того,
следовательно,
— правая единица.
Пример. Пусть G группа и S — непустое множество. Множество отображений
является группой; именно, для любых двух отображений
множества S в G определим отображение
равенством
и отображение
равенством
Тривиально проверяется, что
- группа.
Если G - коммутативна, то такова же и группа
и при аддитивной записи закона композиции в G так же записывают и закон композиции в
так что пишут
вместо
вместо
Пример. Пусть S — непустое множество, G — множество биективных отображений S на себя. Тогда G — группа, причем закон композиции — обычная композиция отображений. Единичным элементом G является тождественное отображение множества S, а групповые свойства проверяются тривиально. Элементы группы G называются перестановками множества
Пример. Множество рациональных чисел образует группу относительно сложения. Множество отличных от нуля рациональных чисел образует группу относительно умножения. Аналогичные утверждения справедливы для вещественных и комплексных чисел.
Пусть G — группа. Подгруппой Н группы G называется подмножество в G, содержащее единичный элемент и замкнутое относительно закона композиции и взятия обратного элемента (т. е. это подмоноид, такой, что
, если
. Подгруппа называется тривиальной, если она состоит из одного единичного элемента. Пересечение любого непустого семейства подгрупп есть подгруппа (тривиальная проверка).
Пусть G, G — моноиды. Гомоморфизм моноидов (или просто гомоморфизм) G в Q — это отображение
, удовлетворяющее условию
для всех
и переводящее единичный элемент моноида G в единичный элемент G. Если G и
- группы, то гомоморфизм группы G в G — это просто моноидный гомоморфизм.
Мы иногда будем говорить: „пусть
— гомоморфизм групп", имея в виду: „пусть G, G - группы и
— гомоморфизм группы G в
.
Пусть
гомоморфизм групп. Тогда
действительно, если
— единичные элементы в G и G соответственно, то
Кроме того, если G, G — группы и
— такое отображение, что
для всех х, у из G, то
. Действительно,
и также равно
. Умножение на обратный к
показывает, что
Пусть G, G — моноиды. Гомоморфизм
называется изоморфизмом, если существует гомоморфизм
такой, что
— тождественные отображения (в G и G соответственно).
Тривиально проверяется, что отображение
является изоморфизмом в том и только в том случае, если оно биективно. Существование изоморфизма между двумя группами G и G иногда обозначается символом
Если
то мы говорим, что изоморфизм есть автоморфизм. Гомоморфизм группы G в себя называется также эндоморфизмом.
Пример. Пусть G — моноид и
— элемент из G. Пусть N обозначает (аддитивный) моноид целых чисел
. Тогда отображение
определяемое формулой
есть гомоморфизм. Если
-группа, то мы можем продолжить
до гомоморфизма группы Z в G (как указывалось выше,
определено для всех
). Тривиальные доказательства предоставляются читателю.
Пусть
— фиксированное целое число, и пусть G — коммутативная группа. Легко проверяется, что отображение
группы G в себя есть гомоморфизм. То же самое относится к отображению
Отображение
называется возведением в
степень.
Пусть G — группа и S — подмножество в G. Мы будем говорить, что S порождает G или что S — множество образующих для G, если всякий элемент из G может быть представлен как произведение элементов из S или обратных к ним, т. е. как произведение
где каждое
или
лежит в S. Ясно, что множество всех таких произведений будет подгруппой в Q (пустое произведение есть единичный элемент) и притом наименьшей подгруппой в G, содержащей S. Таким образом, S порождает G в том и только в том случае, если наименьшая подгруппа в G, содержащая S, совпадает с
Пусть G — группа, S — множество ее образующих и G — другая группа. Пусть
— некоторое отображение. Если существует гомоморфизм
группы G в G, ограничение которого на S есть f, то такой гомоморфизм единствен, т. е.
допускает самое большее одно продолжение до гомоморфизма G в G. Это очевидное утверждение будет неоднократно использоваться в дальнейшем.
Пусть
— гомоморфизмы групп. Тогда композиция g о
— тоже гомоморфизм групп. Если
— изоморфизмы, то и
— изоморфизм. Кроме того,
— тоже изоморфизм. В частности, множество всех автоморфизмов группы G образует группу, обозначаемую символом
Пусть
— гомоморфизм групп,
— единичные элементы групп G, G. Ядром отображения
мы называем подмножество в G, состоящее из всех тех
для которых
Из определений немедленно вытекает, что ядро Н гомоморфизма
подгруппа в G.
(Докажем, например, что Н замкнуто относительно взятия обратного элемента. Пусть
Тогда
Так как
то
откуда
Остальные проверки предоставляем читателю.)
Пусть опять
- гомоморфизм групп, Н — его образ. Тогда Н — подгруппа в G. Действительно,
содержит
, и если
также лежит в Н. Кроме того,
лежит в Н, и, следовательно, Н — подгруппа в
Ядро и образ
иногда обозначаются символами
Гомоморфизм
устанавливающий изоморфизм между группой G и ее образом в G, мы будем также называть вложением.
Гомоморфизм, ядро которого тривиально, инъективен.
Чтобы доказать это, предположим, что ядро гомоморфизма
тривиально и что
для некоторых
Умножая на
получаем
Следовательно,
лежит в ядре, т. е.
Если, в частности, гомоморфизм
также и сюръективен, то
- изоморфизм. Таким образом, сюръективный гомоморфизм, ядро которого тривиально, — обязательно изоморфизм. Отметим, что инъективный гомоморфизм является вложением.
Пусть G — группа и Н — ее подгруппа. Левый смежный класс группы G по Н — это подмножество в G вида
, где а — некоторый элемент из G. Всякий элемент из
называется представителем смежного класса
Отображение
индуцирует биекцию Н на
Следовательно, любые два левых смежных класса имеют одинаковую мощность.
Заметим, что смежные классы
и ЬН, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают. Действительно, пусть
где
. Тогда
Но
. Следовательно,
, потому что для любого
имеем
Мы приходим к выводу, что G есть объединение попарно непересекающихся левых смежных классов по Н. Аналогичное замечание применимо к правым смежным классам (т. е. подмножествам в G вида На). Число левых смежных классов группы G по Н обозначается через
и называется (левым) индексом подгруппы Н в G. Индекс тривиальной подгруппы называется порядком группы G и обозначается символом
). Из предыдущего получаем
Предложение 1. Пусть G — группа и Н — ее подгруппа. Тогда
в том смысле, что если два из этих индексов конечны, то конечен и третий и имеет место написанное равенство.
Если порядок
конечен, то он делится на порядок подгруппы Н.
Более общо, пусть Н, К — подгруппы в G, причем
. Пусть
— множество представителей (левых) смежных классов Н по К и
— множество представителей смежных классов G по Н. Тогда мы утверждаем, что — множество представителей смежных классов группы G по К.
Чтобы доказать это, заметим, что
причем в обоих объединениях слагаемые попарно не пересекаются. Следовательно,
Мы должны показать, что в последнем объединении слагаемые также попарно не пересекаются, т. е.
представляют различные смежные классы. Предположим, что
для некоторой пары индексов
. Умножив на Н справа и приняв во внимание, что
лежат в Н, получим
откуда
. Отсюда вытекает, что
, а потому
что и требовалось показать.
Формула из предложения 1 может быть, следовательно, обобщена:
причем понимать это нужно так: если два из трех индексов, входящих в формулу, конечны, то конечен и третий и имеет место написанное равенство.