Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава VIII. Теория Галуа§ 1. Расширения ГалуаПусть К — поле и G — группа автоморфизмов поля К. Мы будем обозначать через
для всех Алгебраическое расширение К поля k называется расширением Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Мы будем считать К вложенным в некоторое алгебраическое замыкание. Группа автоморфизмов поля К над k называется группой Галуа поля К над k и обозначается символом Для удобства читателя мы сформулируем теперь основной результат теории Галуа для конечных расширений Галуа. Пусть К — конечное расширение Галуа поля k с группой Галуа G. Тогда между множеством подполей Е в К, содержащих k, и множеством подгрупп Н в G существует биективное соответствие, задаваемое формулой Мы дадим доказательства шаг за шагом, причем, насколько возможно, мы даем их для бесконечных расширений. Теорема 1. Пусть К — расширение Галуа поля k, G — его группа Галуа. Тогда Отображение
множества промежуточных полей в множество подгрупп группы G инъективно. Доказательство. Пусть
Так как а сепарабелен над k, то имеем Пусть F — промежуточное поле. Тогда К нормально над F в силу теоремы S и сепарабельно над F в силу теоремы 9 из гл. VII. Следовательно, К — расширение Галуа над F. Если
Если
ннъективно, что и доказывает нашу теорему. Мы будем иногда называть группу Следствие I. Пусть Доказательство. Всякий элемент из Следствие 2. (Обозначения те же, что и в следствии 1.) Неподвижное поле наименьшей подгруппы в G, содержащей Доказательство. Очевидно. Следствие 3. Пусть обозначения те же, что и в следствии 1. Тогда Доказательство. Если Следствие 4. Пусть Е — конечное сепарабельное расширение поля k и К — наименьшее нормальное расширение поля k, содержащее Е. Тогда К — конечное расширение Галуа над k. Существует лишь конечное число промежуточных полей F, таких, что Доказательство. Мы знаем, что К нормально и сепарабельно. Далее, К конечно над k, поскольку это, как мы видели, конечный композит конечного числа сопряженных с Е полей. Группа Галуа расширения Конечно, следствие 4 было уже доказано в предыдущей главе, но здесь мы получили другое доказательство с иной точки зрения. Лемма 1. Пусть Е — алгебраическое сепарабельное расширение поля k. Предположим, что существует целое число Доказательство. Пусть а — элемент из Е, для которого степень
мы видим, что Теорема 2 (Артин). Пусть К — поле и G — конечная группа автоморфизмов поля К, имеющая порядок п. Пусть Доказательство. Пусть
и для любого имеем Следствие. Пусть К — конечное расширение Галуа поля k и G — его группа Галуа. Тогда всякая подгруппа в G принадлежит некоторому подполю F, такому, что Доказательство. Пусть Н — подгруппа в Замечание, Для бесконечных расширений Галуа К поля k предыдущее следствие уже перестает быть справедливым. Это показывает, что использование того или иного вычислительного соображения действительно необходимо в доказательстве для конечного случая. В настоящем изложении использовано старомодное рассуждение. Читатель может посмотреть собственное доказательство Артина в его книге «Теория Галуа». В бесконечном случае на группе Галуа G вводится топология Крулля (см. упражнения) и G превращается в компактную вполне несвязную группу. Подгруппы, принадлежащие промежуточным полям, — это замкнутые подгруппы. Если читатель желает полностью игнорировать бесконечный случай во всех наших рассмотрениях, он может это сделать без какого-либо ущерба для понимания. Доказательства для бесконечного случая обычно тождественны с доказательствами для конечного случая. Понятия расширения Галуа и группы Галуа определяются чисто, алгебраически. Следовательно, их формальное поведение при изоморфизмах точно такое же, какого можно ожидать от объектов в любой категории. Мы опишем это поведение для рассматриваемого случая в более ясном виде. Пусть К — расширение Галуа поля k и
— изоморфизм. Тогда К — расширение Галуа поля
Пусть G — группа Галуа поля К над k. Тогда отображение
определяет гомоморфизм G в группу Галуа поля
Следовательно, группа
или
где показатель X означает «сопряжение»
Контравариантности никак нельзя избежать, если мы хотим сохранить правило
для композиции отображений X и Пусть, в частности,
и
Теорема 3. Пусть К — расширение Галуа поля k с группой G. Пусть F — подполе, Таким образом Доказательство. Пусть F нормально над k и G — его группа Галуа. Отображение ограничения Расширение Галуа К (к называется абелевым (соответственно циклическим), если его группа Галуа G абелева (соответственно циклическая). Следствие. Пусть Доказательство. Это вытекает немедленно из того факта, что всякая подгруппа абелевой группы нормальна и всякая факторгруппа абелевой (соответственно циклической) группы абелева (соответственно циклическая). Теорема 4. Пусть К — расширение Галуа поля k, a F — произвольное расширение, причем К,
дает изоморфизм Н на группу Галуа поля К над Доказательство. Пусть Тогда Н оставляет (В бесконечном случае нужно еще добавить замечание, что наше отображение Следующая диаграмма иллюстрирует теорему 4:
Полезно мыслить себе противоположные стороны параллелограмма равными. Следствие. Пусть К — конечное расширение Галуа и F — произвольное расширение поля k. Тогда Доказательство. Пусть обозначения те же, что и выше. Как мы знаем, порядок группы Н делит порядок группы G, откуда и вытекает наше утверждение. Предостережение. Утверждение следствия, как правило, неверно, если К не является расширением Галуа над k. Например, пусть — вещественный кубический корень из
и пусть
Следовательно, Теорема 5. Пусть
Это отображение инъективно. Если Доказательство. Нормальность и сепарабельность сохраняются при взятии композита двух полей, так что
Следствие 1. Пусть Доказательство. Индукция. Следствие 2. Пусть К — конечное расширение Галуа поля k с группой G, причем G может быть представлена в виде прямого произведения
где группа из одного элемента стоит на Тогда Доказательство. В силу следствия 1 теоремы 1 композит всех
|
1 |
Оглавление
|