§ 7. Полуторалинейная двойственность

Существуют формы „почти" билинейные, для которых описанные выше результаты остаются верными почти без изменений; их нужно рассмотреть отдельно для сохранения ясности в используемых обозначениях.

Пусть R имеет автоморфизм периода 2. Мы будем записывать этот автоморфизм так: (имея в виду аналогию с комплексным сопряжением).

Следуя Бурбаки, будем говорить, что отображение

является полуторалинейной формой, если оно Z-билинейно и если для мы имеем

и

Пусть — модули. Отображение называется антилинейным (или полулинейным), если оно Z-линейно и для всех . Таким образом, мы можем сказать, что полуторалинейная форма линейна по своему первому аргументу и антилинейна по второму аргументу. Пусть обозначает модуль антилинейных отображений Е в Е.

Теперь мы последовательно повторим все те замечания, которые раньше были сделаны для билинейных форм.

Для полуторалинейной формы определяем, как и прежде, перпендикулярность, а также ядра справа и слева. Эти ядра являются подмодулями, скажем, и мы получаем индуцированную полуторалинейную форму

которая невырождена с обеих сторон.

Пусть -модуль. Назовем его антимодулем модуль Е, аддитивная группа которого та же, что и у F, а операция задается отображением

Имеем естественный изоморфизм -модулей

Полуторалинейная форма индуцирует линейное отображение

Мы говорим, что — неособая слева, если —изоморфизм. Аналогично имеем соответствующее линейное отображение

модуля F в модуль, дуальный к Е, и мы говорим, что — неособая справа, если — изоморфизм. Мы говорим, что форма неособая, если она неособая слева и справа.

Заметим, что наша полуторалинейная форма может рассматриваться как билинейная форма

и наши понятия неособости совместимы с соответствующими понятиями, определенными раньше для билинейных форм.

Имея фиксированную неособую полуторалинейную форму на мы получаем зависящий от этой формы изоморфизм между модулем полуторалинейных форм на и модулем эндоморфизмов модуля Е. Мы также получаем антиизоморфизм между этими модулями и модулем эндоморфизмов модуля F. В частности, мы можем ввести понятие сопряженного эндоморфизма, обозначаемого в случае полуторалинейных форм звездочкой. Именно, пусть — неособая полуторалинейная форма, - некоторое линейное отображение. Существует однозначно определенное линейное отображение

такое, что

для всех . Отметим, что А линейно, а не антилинейно. Мы называем А сопряженным с А относительно нашей формы Имеют место правила

для линейных отображений А, В модуля Е в себя и

Предположим, что Пусть — полуторалинейная форма. Под автоморфизмом формы мы будем понимать линейное отображение А: для которого

в полной аналогии с автоморфизмами для билинейных форм.

Предложение 11П. Пусть неособая полуторалинейная форма, — некоторое линейное отображение. Тогда А является автоморфизмом в том и только в том случае, если и А обратимо.

Доказательства этого, а также всех последующих предложений, полностью аналогичные соответствующим доказательствам из билинейного случая, опускаются.

Полуторалинейная форма называется эрмитовой, если

для всех Множество эрмитовых форм на Е будет обозначаться через Пусть подкольцо в R, состоящее из всех элементов, неподвижных относительно нашего автоморфизма (т. е. состоящее из всех элементов , таких, что . Тогда (Е) есть -модуль.

Фиксируем некоторую эрмитову неособую форму на Е, Эндоморфизм А: называется эрмитовым относительно , если Ясно, что множество эрмитовых эндоморфизмов является - модулем, который мы будем обозначать символом . Имеет место - изоморфизм, зависящий от нашей фиксированной эрмитовой неособой формы

Этот изоморфизм описывается следующим образом. Эрмитова форма g тогда и только тогда соответствует эрмитову отображению А, когда

Опишем теперь связи между нашими понятиями и матрицами, так же как это мы сделали для билинейных форм.

Начнем с полуторалинейной формы

Если Е, F — свободные модули и мы, как и прежде, выбрали в них базисы, то снова можно сопоставить нашей форме матрицу О, и в терминах координатных векторов X, Y эта полуторалинейная форма будет задаваться отображением

где Y — вектор, полученный из Y применением нашего автоморфизма к каждой компоненте

Если и мы используем один и тот же базис и справа, и слева, то в тех же обозначениях, которые использованы в формуле (1), последняя для полуторалинейных форм принимает вид

Таким образом, в формуле появляется автоморфизм сопряжения.

Предложение 12 П. Пусть Е, F — свободные модули, размерности над R и полуторалинейная форма. Тогда следующие условия эквивалентны.

Форма неособая слева.

Форма — неособая справа.

Форма — неособая.

Определитель матрицы относительно любых базисов обратим в

Предложение 13 П. Пусть Е, F — свободные модули размерности над полуторалинейная форма. Пусть — базисы над R для Е и F соответственно и О — матрица относительно этих базисов. Пусть, наконец, — линейное отображение и М — его матрица относительно Тогда матрицей относительно 38 сопряженного к А отображения А будет

Следствие 1. Если О — единичная матрица, то матрица «отображения А равна

Следствие 2. Сохраняя обозначения предложения, положим Матрица М размера пуп тогда и только тогда является матрицей автоморфизма формы (относительно нашего базиса), когда

Матрица М называется эрмитовой, если

Пусть, как и прежде, -подкольцо в R, состоящее из всех элементов, неподвижных относительно нашего автоморфизма (т. е. состоящее из всех элементов таких, что

Предложение 14 П. Пусть Е — свободный модуль размерности над R и 38 — его базис. Отображение

индуцирует - изоморфизм между -модулем эрмитовых форм на Е и -модулем эрмитовых матриц размера над

Замечание. Если бы мы предположили с самого начала, что наш автоморфизм - заимеет период 2 или 1 (т. е. если бы мы позволили ему быть тождественным), то результаты о билинейных и симметрических формах стали бы частными случаями результатов этого параграфа. Однако неудобства, которые причинила бы путаница в обозначениях, вполне оправдывают сделанное нами повторение.