Предварительные сведения

Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием множества и символами Если А, В — множества, то запись . В обозначает, что А содержится в В, но может и совпадать с В. То же самое относится к записи .

Если — отображение одного множества в другое, то мы пишем

для обозначения действия на элемент из . Мы различаем стрелки .

Пусть — некоторое отображение. Мы говорим, что инъективно, если из следует . Мы говорим, что сюръективно, если для каждого существует элемент такой, что Мы говорим, что биективно, если оно одновременно сюръективно и инъективно

Подмножество А множества В называется собственным, если .

Пусть — отображение и А — подмножество в А.

Ограничение на А есть отображение А в В, обозначаемое символом .

Если - отображения, то их композиция определяется соотношением для всех .

Пусть — отображение и В — подмножество в В. Через мы обозначаем подмножество в А, состоящее из всех тех , для которых . Мы называем его прообразом множества В. Соответственно f(А) мы называем образом отображения

Диаграмма

называется коммутативной, если

Аналогично диаграмма

называется коммутативной, если . Мы будем иногда иметь дело с более сложными диаграммами, состоящими из стрелок между различными объектами. Такие диаграммы называются коммутативными, если в любом случае, когда можно пройти от одного объекта к другому по двум различным последовательностям стрелок, скажем

и

соответствующие композиции совпадают:

Большинство наших диаграмм будет состоять из указанных выше треугольников или квадратов, и для проверки коммутативности таких диаграмм достаточно убедиться, что каждый треугольник и квадрат в них коммутативен.

Мы предполагаем, что читатель знаком с целыми и рациональными числами, множества которых обозначаются соответственно через Z и Q. Во многих примерах мы предполагаем также, что читателю известны вещественные и комплексные числа, множества которых обозначаются через R и С.

Пусть - два множества. Под семейством элементов в А, занумерованных посредством I, понимают отображение . Таким образом, для каждого задан элемент . Хотя семейство есть не что иное как отображение, мы часто мыслим его как совокупность объектов из A и записываем его так:

или

употребляя символ вместо . Мы называем I множеством индексов.

Мы предполагаем, что читатель знает, что такое отношение эквивалентности. Пусть А — множество с заданным на нем отношением эквивалентности, Е — некоторый класс эквивалентности элементов из А. Иногда мы будем определять отображение классов эквивалентности в некоторое множество В.

Чтобы определить такое отображение на классе Е, мы будем зачастую сначала задавать его значение на некотором элементе (называемом представителем класса Е), а затем показывать, что оно не зависит от выбора представителя . В таком случае говорят, что правильно определено.

Нам будут встречаться произведения множеств, скажем конечные произведения или и произведения семейств множеств.

Мы будем пользоваться леммой Цорна, которую мы сейчас сформулируем.

Множество А называется (частично) упорядоченным, если между некоторыми парами элементов задано отношение удовлетворяющее следующим условиям. Для всех

Подмножество Т в А называется совершенно (или линейно) упорядоченным, если для всякой пары элементов будет или .

Пусть -подмножество в А. Любой элемент удовлетворяющий условию для всех , будем называть верхней гранью подмножества S в множестве А.

Упорядоченное множество А называется индуктивно упорядоченным, если всякое его совершенно упорядоченное подмножество имеет верхнюю грань в А.

Элемент для которого из следует называется максимальным элементом множества А. (Таким образом, максимальный означает „относительно максимальный", а не „абсолютно максимальный".)

Лемма Цорна утверждает: если А — упорядоченное множество и если оно индуктивно упорядочено и не пусто, то в А существует по крайней мере один максимальный элемент.

Мы будем также использовать утверждения о мощностях, наподобие следующих.

Пусть А — бесконечное множество. Тогда множество всех конечных подмножеств в А имеет ту же мощность, что и А. Если D счетно, то имеет ту же мощность, что и А. Мощность мы будем иногда сокращенно обозначать символом card. Имеем