§ 8. Алгебра Клиффорда

Пусть Е — векторное пространство над полем и g — симметрическая форма на Е. Было бы желательно найти универсальную алгебру над в которую можно вложить Е, и такую, что квадрат в этой алгебре соответствует значению квадратичной формы на Е. Более точно, под алгеброй Клиффорда формы g мы будем понимать пару — алгебру и линейное отображение , — обладающую следующими свойствами: (1) для всех имеем если — линейное отображение Е в -алгебру L, такое, что

( - единичный элемент в L) для всех X то существует однозначно определенный гомоморфизм алгебр

для которого коммутативна следующая диаграмма:

Согласно абстрактной чепухе алгебра Клиффорда формы g однозначно определена с точностью до единственного изоморфизма. Кроме того, ясно, что если существует, то как алгебра над порождается образом отображения .

Мы будем писать если необходимо явно указать, о какой, форме g идет речь.

Заменяя в соотношении

X на , находим

Теорема 5. Пусть g — симметрическая билинейная форма на векторном пространстве Е над Тогда алгебра Клиффорда существует. Отображение инъективно, и имеет размерность над где .

Для того чтобы доказать теорему S, мы сначала найдем соотношения, которым должны удовлетворять алгебра L и линейное отображение такое, что . Мы будем следовать рассуждениям Артина в „Геометрической алгебре”.

Пусть — подмножества заданного множества М. Определим их сумму (которая не будет объединением) как множество элементов из М, содержащихся в нечетном числе множеств .

Легко проверяются следующие правила:

для любого подмножества T в М.

Пустое множество обозначается, как обычно, через 0.

Пусть — ортогональный базис для Е над k. Положим Тогда по предположению

Пусть S — подмножество множества — элементы S, упорядоченные так, что Положим Индукцией легко показать, что для любых подмножеств S, Т в

где символ по определению равен 1 при при . Таким образом, правило вычисления произведения двух „одночленов" от определяется чисто комбинаторно в терминах S и Т и заданных нам квадратов Кроме того, алгебра, порожденная , порождается элементами

Покажем теперь, как предыдущее комбинаторное правило позволяет нам определить универсальную алгебру.

Каждому подмножеству S из сопоставим символ

Пусть — свободный модуль над k, порожденный этими символами пробегает все подмножества в Тогда имеет размерность над k. Определим умножение в С (g). Для подмножеств S, Т множества положим

Если элементы из с коэффициентами , то определим их произведение следующим образом:

Мы должны показать, что это произведение ассоциативно. Для этого, очевидно, достаточно будет доказать, что для любых подмножеств множества

это последнее соотношение будет проверяться в лоб.

По определению

Приступая к доказательству, сделаем подстановку

и перепишем правую часть в более симметричной форме.

Правая часть состоит из произведений некоторых знаков и некоторых квадратов. Сначала рассмотрим знаки.

Если j будет пробегать S, а затем Т, то любое появится дважды. Таким образом, второе произведение совпадает с произведением, взятым по другими словами, произведение, дающее знак, может быть записано в виде

Теперь займемся произведением квадратов. Имеем

Если v принадлежит всем трем множествам S, Т, R, то v лежит в , но не в Если v принадлежит S и Т, но не R, то v лежит в но не в Если v лежит в S и R, но не в Т, или в Т и R, но не в S, то v не лежит в но лежит в Наконец, если v лежит лишь в одном из множеств S, Т, R или не лежит ни в одном из них, то v не лежит ни в , ни в Таким образом, последние два произведения могут быть записаны в виде произведения

по тем V, которые встречаются более чем в одном из множеств S, Т, R.

Это произвеление симметрично по S, Т, R. Из того, что мы показали, сразу же следует равенство

Это и означает, что произведение, которое мы определили в ассоциативно. Другие аксиомы кольца проверяются тривиально, и элементы образуют базис алгебры которая имеет поэтому размерность

Линейное отображение

для которого очевидно, инъективно. Будем писать

ТО

где — единичный элемент алгебры С(g), поскольку для . Таким образом, наши требования, касающиеся квадратов, удовлетворяются.

Если любое такое линейное отображение в алгебру над k, что то мы можем определить кольцевой гомоморфизм в L, для которого требуемая диаграмма коммутативна. Действительно, пусть Положим

где - элементы множества S. Определим

положив

Так как элементы образуют базис С(g), то это отображение однозначно определено и является линейным отображением. Замечания в начале доказательства показывают, что это отображение является также гомоморфизмом колец, и диаграмма

коммутативна. Это доказывает все, что требовалось.