§ 3. Степенные ряды

Пусть X — некоторый символ, и пусть G — моноид функций на множестве со значениями в множестве натуральных чисел. Для всякого обозначим через функцию, значение которой в X равно v. Тогда G — мультипликативный моноид, с которым мы уже сталкивались при рассмотрении многочленов. Его элементами будут

Пусть А — коммутативное кольцо, и пусть — множество функций из G в А, причем на эти функции не накладывается никаких ограничений. Тогда всякий элемент из можно рассматривать как элемент, сопоставляющий каждому одночлену некоторый коэффициент Обозначим этот элемент через

Символ суммирования здесь, разумеется, только символ, но мы будем тем не менее записывать предыдущее выражение также в виде

и называть его формальным степенным рядом от одной переменной с коэффициентами в А. Мы называем коэффициентами этого ряда.

Если даны два элемента из , скажем

то мы определяем их произведение

полагая

Их суммой, как и в случае многочленов, будет по определению

Тогда видно, что степенные ряды образуют кольцо, причем доказательство этого факта то же самое, что и для многочленов.

Можно также построить кольцо степенных рядов от нескольких переменных в котором каждый элемент может быть представлен в виде

Коэффициенты выбираемые без всяких ограничений, находятся во взаимно однозначном соответствии с наборами из целых чисел в которых для всех I. Легко показать, что существует изоморфизм между и кольцом повторных степенных рядов Мы предоставляем это в качестве упражнения читателю.

Теорема 2. Если А нётерово, то также нётерово.

Доказательство. Наше рассуждение будет представлять собой видоизменение рассуждения, использованного при доказательстве теоремы Гильберта для многочленов. Мы будем рассматривать элементы наименьшей степени вместо элементов наибольшей степени.

Пусть — идеал в Обозначим через множество элементов таких, что а служит коэффициентом при в некотором степенном ряде

лежащем в . Тогда -идеал в (доказательство этого утверждения такое же, как для многочленов). Возрастающая цепочка идеалов стабилизируется:

Как и прежде, пусть — образующие для идеалов и пусть — степенные ряды, имеющие в качестве начальных коэффициентов. Если дан ряд начинающийся с члена степени , скажем , то мы можем найти элементы

такие, что ряд

начинается с члена степени

Действуя по индукции, мы можем предполагать, что Тогда, чтобы получить ряд, начинающийся с члена степени используем линейную комбинацию

Таким образом, если ряд начинается с члена степени то он может быть представлен как линейная комбинация степенных рядов

с коэффициентами

и мы видим, что , порождают наш идеал , что и требовалось показать.

Следствие. Если А — поле или нётерово коммутативное кольцо, то кольцо нётерово.