§ 6. Матрицы и билинейные формы

Мы исследуем связь между понятиями, введенными выше, и матрицами. Пусть — билинейное отображение, где Е, F — свободные модули над R с базисами соответственно. Положим Если

и

— элементы из E и F соответственно с координатами , то

Пусть столбцы координат для х и у относительно наших базисов. Тогда

где G — матрица Мы могли бы записать Будем называть G матрицей, ассоциированной с формой относительно базисов

Обратно, если дана матрица G (размера ), то из отображения

мы получаем билинейную форму. Таким образом, мы приходим к соответствию между билинейными формами и матрицами и ясно, что это соответствие индуцирует изоморфизм (-модулей)

задаваемый правилом

Два отображения между этими двумя модулями, описанные нами выше, очевидно, обратны друг другу.

Если базисы таковы, что то будем говорить, что эти базисы дуальны друг другу. В этом случае билинейное отображение имеет на (X, Y) значение

задаваемое обычным скалярным произведением.

Легко найти общее правило, по которому изменяется матрица О, когда мы меняем базисы в Е и F. Однако мы выпишем явную формулу только в том случае, когда Итак, имеем билинейную форму . Пусть — другой базис в Е. Будем писать для столбцов, соответствующих элементу из Е относительно этих двух базисов. Обозначим через С обратимую матрицу для которой

Тогда наша форма задается формулой

Мы видим, что

Другими словами, матрица билинейной формы преобразуется при помощи матрицы С перехода от одного базиса к другому и транспонированной к ней матрицы

Если F — свободный модуль над R с базисом , то также свободный модуль и имеется дуальный базис

Это проверяется точно так же, как для векторных пространств над полями.

Предложение 12. Пусть Е, F — свободные модули размерности над R и — некоторая билинейная форма. Следующие условия эквивалентны.

Форма — неособая слева.

Форма — неособая справа.

Форма — неособая.

Определитель матрицы относительно любых базисов обратим в

Доказательство. Предположим, что — неособая слева. Фиксируем некоторый базис в Е, относительно которого будем записывать элементы из в виде столбцов и рассмотрим матрицу О для . Тогда наша форма будет задаваться отображением

где X, Y — столбцы с коэффициентами в R. По предположению отображение

задает изоморфизм между модулем столбцов и модулем строк длины над R. Следовательно, матрица G обратима, так что ее определитель есть единица в R. Обратное столь же очевидно, и мы видим, что если есть единица, то отображение

должно быть изоморфизмом модуля столбцов на себя. Это доказывает наше утверждение.

Исследуем теперь, как ведет себя в терминах матриц отображение, сопряженное к данному. Пусть Е, F — свободные модули над R размерности п.

Пусть — неособая билинейная форма, и предположим, что заданы базисы в F. Пусть G — матрица относительно этих базисов и - линейное отображение с матрицей М относительно Если и X, Y — их столбцы относительно , то

Пусть N — матрица отображения относительно базиса Тогда есть столбец элемента относительно . Следовательно,

Отсюда заключаем, что , и так как матрица О обратима, то мы можем выразить N через М. Получаем

Предложение 13. Пусть - свободные модули размерности над — неособая билинейная форма, — базисы над R в Е и F соответственно и - матрица относительно этих базисов. Пусть — линейное отображение и М — его матрица относительно Тогда матрицей относительно сопряженного к А отображения будет

Следствие 1. Если G — единичная матрица, то матрица сопряженного отображения М получается из матрицы отображения А переходом к транспонированной матрице.

В терминах матриц и базисов мы получаем следующую характеризацию того факта, что матрица индуцирует автоморфизм формы:

Следствие 2. Сохраняя обозначения предложения 13, положим Матрица М размера тогда и только тогда является матрицей автоморфизма формы (относительно нашего базиса), когда

В частности, если это условие удовлетворяется, то матрица М обратима.

Доказательство. Используем определения и формулу, доказанную в предложении 13. Отметим, что М обратима хотя бы потому, что ее определитель есть единица в

Матрица М над R называется симметрической (соответственно кососимметрической), если (соответственно если и диагональные элементы в М равны 0).

Предложение 14. Пусть Е — свободный модуль размерности над R и — фиксированный базис. Отображение

индуцирует изоморфизм между модулем симметрических билинейных форм на (соответственно модулем знакопеременных форм на и модулем симметрических матриц размера над R (соответственно модулем кососимметрических матриц размера над ).

Доказательство. Рассмотрим сначала симметрический случай. Предположим, что форма симметрическая. Пусть в терминах коор динат Наша форма задается произведением которое должно быть равно в силу симметричности. Однако можно рассматривать как матрицу размера . совпадающую со своей транспонированной матрицей, а именно с Таким образом,

для всех векторов X, Y. Отсюда следует, что Обратно, очевидно, что любая симметрическая матрица определяет симметрическую форму.

Что касается знакопеременных форм, то, заменяя на в соотношении получим

В терминах координатных векторов X, Y и матрицы G это дает

Перейдя, скажем, от второй из матриц размера входящих в это соотношение, к транспонированной, получим (для всех X, Y)

Следовательно, Кроме того, беря в качестве X любой из единичных векторов

и используя соотношение находим, что диагональные элементы в О должны быть равны 0. Обратно, если матрица G размера такова, что для , то непосредственно проверяется, что отображение

определяет знакопеременную форму. Это доказывает наше предложение.

Разумеется, если, как это обычно бывает, элемент 2 не является делителем нуля в R, то из условия следует, что диагональные элементы в М должны быть равны 0. Таким образом, в этом случае прямо из вытекает, что форма знакопеременная.