УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть Т — верхняя треугольная квадратная матрица над коммутативным кольцом (т. е. все элементы под диагональю и на ней равны 0). Показать, что Т нильпотентна.

2. Провести непосредственно доказательство того факта, что определитель матрицы

где каждая — квадратная матрица, равен произведению определителей матриц

3. Пусть к — коммутативное кольцо и М, М — квадратные матрицы размера и над k. Показать, что характеристические многочлены матриц ММ и ММ равны.

4. Показать, что собственные значения матрицы

в поле комплексных чисел равны .

S. Пусть М, М — квадратные матрицы над полем к. Пусть соответственно q, q — их минимальные многочлены. Показать, что минимальный многочлен матрицы

равен наименьшему общему кратному

6. Пусть А — нильпотентный эндоморфизм конечномерного векторного пространства Е над полем к. Показать, что

7. Пусть R — целостное кольцо главных идеалов, Е — свободный модуль размерности над R и Нош — его дуальный модуль. Тогда Е — свободный модуль размерности Пусть F — подмодуль в Е. Показать, что можно рассматривать как подмодуль в F и что его инварианты те же самые, что и инварианты F в Е

8. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над полем к и Показать, что следующие условия эквивалентны:

(i) , где N — нильпотентный эндоморфизм

(ii) Существует базис для Е, такой, что у матрицы эндоморфизма А относительно этого базиса все диагональные элементы равны 1, а все элементы над диагональю равны 0.

(iii) Все корни характеристического многочлена эндоморфизма А (в алгебраическом замыкании поля к) равны 1.

9. Пусть k — поле характеристики 0 и М — матрица размера над к. Показать, что М нильпотентна в том и только в том случае, если для

10. Обобщить теорему 14 на рациональные функции (вместо многочленов), предполагая, что k — поле.

11. Пусть — конечномерное пространство над полем k, а — подпространство в Е, порожденное всеми собственными векторами данного эндоморфизма А пространства Е, имеющими а в качестве собственного значения. Показать, что всякий ненулевой элемент из является собственным вектором эндоморфизма А с собственным значением а.

12. Пусть Е — конечномерное пространство над полем собственный вектор для А. Пусть элемент таков, что Показать, что — также собственный вектор для А (если с тем же собственным значением и что в случае алгебраически замкнутого поля k эндоморфизмы А и В имеют общий собственный вектор.

Диагонализируемые эндоморфизмы. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над полем к, Мы говорим, что эндоморфизм S — диагонализируемый, если существует базис для Е, состоящий из собственных векторов S. Матрица эндоморфизма S относительно этого базиса является диагональной матрицей.

13. (а) Если эндоморфизм S диагонализируем, то его минимальный многочлен над к имеет вид где — различные элементы из к.

(б) Обратно, если минимальный многочлен для S имеет предыдущий вид, то эндоморфизм S диагонализируем. [Указание: пространство может быть разложено в прямую сумму подпространств аннулируемых эндоморфизмами

(в) Показать, что если эндоморфизм S диагонализируем и F — такое подпространство в , что то S диагонализируем также как эндоморфизм F, т. е. что F имеет базис, состоящий из собственных векторов Пусть S, Т — эндоморфизмы Е. Предположим, что S, Т коммутируют. Предположим также, что и S, и Г оба диагонализируемы. Показать, что они одновременно диагонализируемы, т. е. что существует базис для Е, состоящий из векторов, собственных как для S, так и для Т. [Указание: если А — собственное значение эндоморфизма — подпространство в Е, состоящее из всех векторов v, таких, что то

14. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем . Показать, что эндоморфизм А может быть единственным образом записан в виде суммы

где S диагонализируем, N нильпотентен и Показать, что S, N могут быть представлены в виде многочленов от А. [Указание: пусть — разложение с различными — ядро Тогда Е — прямая сумма Определить S на Е так, что на всяком будет для всех Положить . Показать, что S, N удовлетворяют нашим требованиям. Чтобы представить S в виде многочлена от А, рассмотреть многочлен где многочлены ) выбраны так, что для всякого i компонента в Е. любого элемента равна Тогда

15. После того как вы прочитаете параграф о тензорных произведениях векторных пространств, вы легко сможете сделать следующее упражнение. Пусть Е, F — конечномерные векторные пространства над алгабраически замкнутым полем пространств Е, F соответственно.

Пусть

— разложения их характеристических многочленов на различные линейные множители. Тогда

[Указание, разложить Е в прямую сумму подпространств где подпространство, аннулируемое некоторой степенью То же самое сделать с F и получить разложение в прямую сумму подпространств . Затем показать, что некоторая степень эндоморфизма аннулирует Использовать факт, что есть прямая сумма подпространств и что

16. Пусть Г — свободная абелева группа размерности подгруппа, имеющая также размерность . Пусть - базис - базис Г. Запишем

Показать, что индекс равен абсолютной величине определителя матрицы

17. Доказать теорему о нормальном базисе для конечного расширения конечного поля.

18. Пусть — квадратная матрица размера над коммутативным кольцом — матрица, полученная вычеркиванием строки и столбца из А. Пусть и В — матрица Показать, что сведя задачу к случаю, когда А — матрица с переменными коэффициентами над кольцом целых чисел. Использовать тот же метод для получения другого доказательства теоремы Гамильтона — Кэли о том, что

19. Пусть — пары, состоящие из конечномерного векторного пространства над некоторым полем - эндоморфизма. Показать, что эти пары изоморфны в том и только в том случае, если их инварианты равны.