Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Пространство функций классовПусть k — некоторое поле, Под функцией классов на G (над k или
Мы всегда будем по линейности расширять область определения функции классов до группового кольца. Если
Пусть
будет также называться классом сопряженных элементов. Предложение 3. Пусть k — произвольное поле. Элемент из Доказательство. Пусть
Следовательно,
где сумма берется по всем классам сопряженных элементов у. Замечание. Отметим, что классы сопряженных элементов на самом деле образуют базис центра группового кольца Отметим также, что классы сопряженных элементов линейно независимы над k и образуют базис для центра алгебры Будем отныне предполагать, что k алгебраически замкнуто. Тогда
— прямое произведение простых колец и каждое
где
которое Пусть
Положим
Тогда
Имеем также разложение
Введенные выше обозначения будут далее оставаться фиксированными. Мы можем суммировать некоторые из наших результатов следующим образом. Предложение 4. Пусть поле k алгебраически замкнуто. Тогда число классов сопряженных элементов группы G равно числу ее простых характеров и оба эти числа равны размерности s центра групповой алгебры Число элементов в будет обозначаться через Мы можем рассматривать
Вычислим значения регулярного характера. Предложение 5. Пусть
Доказательство. Пусть Они образуют базис Отметим, что мы имеем два естественных базиса для центра Предложение 6. Мы снова предполагаем, что поле к алгебраически замкнуто. Пусть
Тогда
Доказательство. Для всех
В силу предложения 5
С другой стороны,
Следовательно,
для всех Следствие 1. Каждый элемент Следствие 2. Размерности Доказательство. Иначе было бы Следствие 3. Простые характеры Доказательство. Можно применить доказательство следствия 1 теоремы 3, поскольку мы теперь знаем, что характеристика не делит Следствие 4. Предположим дополнительно, что k имеет характеристику 0. Тогда Доказательство. Умножая наше выражение для
Пусть Теорема S. Пусть поле k алгебраически замкнуто. Пусть
Простые характеры и идемпотентные элементы
Доказательство. Формула уже была получена в ходе доказательства теоремы 3. Оба пространства, о которых идет речь, имеют размерность s и
|
1 |
Оглавление
|