Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Примарное разложениеМы продолжаем предполагать, что А — коммутативное кольцо и что модули (соответственно гомоморфизмы) — это А-модули (соответственно А-гомоморфизмы), если не оговорено противное. Пусть М — модуль. Подмодуль Q в М называется примарным, если
Пусть Q — примарный подмодуль и Предложение 12. Пусть М — модуль, Доказательство. Положим Пусть N — подмодуль в М. Если N представлен в виде конечного пересечения примарных подмодулей, скажем
то мы будем называть это представление примарным разложением подмодуля N. Используя предложение 12, мы видим, что, сгруппировав Вычеркивая некоторые из примарных модулей, участвующих в данном разложении, мы находим, что если подмодуль N обладает каким-то примарным разложением, то он обладает и несократимым разложением. Мы докажем сейчас результат, дающий некоторое свойство единственности несократимого примарного разложения. Пусть Теорема 3. Пусть N — подмодуль в М, и пусть
— два его несократимых примарных разложения. Тогда Доказательство. Предположим, что, после возможной перестановки индексов, Пусть
Обратно, если
вопреки предположению, что наше представление N в виде пересечения примарных модулей несократимо. Это доказывает, что
Остается доказать единственность примарного модуля, принадлежащего изолированному простому идеалу, скажем
Мы утверждаем, что Теорема 4. Всякий подмодуль N нётерова модуля М обладает примарным разложением. Доказательство. Рассмотрим множество подмодулей в М, не обладающих примарным разложением. Если это множество не пусто, то ввиду нбтеровости М оно имеет максимальный элемент, который мы обозначим через N. Подмодуль N не примарен, т. е. существует
стабилизируется, скажем, на
через Мы закончим наше рассмотрение установлением связи между простыми идеалами, принадлежащими примарному разложению, и ассоциированными простыми идеалами, обсуждавшимися в предыдущем параграфе. Предложение 13. Пусть А и М. нётеровы. Подмодуль Q в М примарен тогда и только тогда, когда с Доказательство. Это непосредственное следствие определений и следствия предложения 10. Теорема 5. Пусть А и М нётеровы. Ассоциированные с модулем М простые идеалы — это в точности простые идеалы, соответствующие примарным модулям в несократимом примарном разложении 0 в М. В частности, множество ассоциированных с модулем М простых идеалов конечно. Докамтельство. Пусть
— несократимое примарное разложение 0 в
В силу предложения 11 из § 4 и предложения 13 мы заключаем, что всякий ассоциированный с М простой идеал соответствует некоторому
Итак, N изоморфен подмодулю в
|
1 |
Оглавление
|