§ 3. Вещественные нули и гомоморфизмы

Подобно тому как мы развили теорию продолжения гомоморфизмов в алгебраически замкнутое поле и получили теорему Гильберта нулях в алгебраически замкнутом поле, мы хотим теперь развить теорию для случая, когда принимаемые значения лежат в вещественно замкнутом поле. Одной из основных теорем будет следующая:

Теорема 5. Пусть k — поле, — конечно порожденное расширение. Предположим, что k упорядочено. Пусть — вещественное замыкание поля к, индуцирующее то же самое упорядочение на к, что и К. Тогда существует гомоморфизм

В качестве приложений теоремы S получаем

Следствие 1. Пусть обозначения те же, что и в теореме, и пусть причем

в заданном упорядочении поля К. Тогда гомоморфизм можно выбрать таким образом, что

Доказательство. Пусть где . Тогда поле обладает упорядочением, индуцирующим заданное упорядочение на К. Применяем теорему к кольцу

Следствие 2 (Артин). Пусть k — вещественное поле, допускающее только одно упорядочение, и это упорядочение архимедово. Пусть — рациональная функция, не принимающая отрицательных значений: 0 для всех в которых определено. Тогда f(X) есть сумма квадратов в k(X).

Доказательство. Предположим, что утверждение не верно. В силу следствия теоремы 1 § 2 существует упорядочение при котором отрицательна. Применим следствие 1 к кольцу

где h (X) — знаменатель . Мы можем найти гомоморфизм этого кольца в (тождественный на k), такой, что . Но . Так как в нет бесконечно малых элементов относительно k, то найдутся элементы близкие и в силу непрерывности — противоречие.

Следствие 2 было проблемой Гильберта. Доказательство теоремы S, которое мы приведем, отличается от артиновского доказательства этого следствия рядом технических моментов.

Сначала мы покажем, как можно свести теорему S к случаю, когда К имеет степень трансцендентности 1 над k, причем k вещественно замкнуто.

Лемма 1. Пусть R — вещественно замкнутое поле и — подполе, алгебраически замкнутое в R (т. е. такое, что всякий элемент из R, не лежащий в трансцендентен над ). Тогда вещественно замкнуто.

Доказательство. Пусть f (X) — неприводимый многочлен над Он разлагается в R на линейные и квадратные множители. Их коэффициенты лежат в R, алгебраичны над и, следовательно, лежат в Таким образом, сам f (X) либо линеен, либо является неприводимым квадратным трехчленом над . В силу теоремы о промежуточном значении мы можем во втором случае предполагать, что положительно определен, т. е. для всех Не теряя общности, мы можем считать, что для некоторого Любой корень этого многочлена приносит с собой , а потому единственным алгебраическим расширением является Это доказывает, что вещественно замкнуто.

Обозначим через вещественное замыкание поля К, индуцирующее заданный порядок на К, и через алгебраическое замыкание k в . В силу леммы вещественно замкнуто.

Рассмотрим поле Если мы сможем доказать нашу теорему для кольца и найдем гомоморфизм

то, рассмотрев изоморфизм о: над k (существующий согласно теореме 3) и положив мы получим решение нашей задачи над k. Тем самым теорема сводится к случаю, когда k вещественно замкнуто.

Пусть теперь F — промежуточное поле, над которым К имеет степень трансцендентности 1. Обозначим через RP вещественное замыкание F, содержащееся в . Если наша теорема верна для расширений размерности 1, то мы можем найти гомоморфизм

Заметим, что поле имеет степень трансцендентности и вещественно, так как содержится в . Таким образом, по индукции теорема сводится к случаю, когда К имеет размерность 1 и k, как мы видели выше, вещественно замкнуто.

Наше утверждение геометрически интерпретируется следующим образом. Можно считать, что , где трансцендентен над R и корень некоторого неприводимого многочлена из R [X, К], и мы хотим по существу доказать, что имеется бесконечно много точек на кривой с координатами, лежащими в R, т. е. бесконечно много вещественных точек.

Основная идея состоит в том, чтобы найти некоторую точку такую, что но . Тогда мы сможем применить теорему о промежуточном значении. Очевидно, меняет знак, когда малое положительное h заменяется на малый отрицательный элемент из R. Если взять элемент близкий к а, то также будет менять знак для малых h и, следовательно, имеет нуль в R для всех а, достаточно близких к а. Этим путем мы получим бесконечно много нулей.

Чтобы найти нашу точку, рассмотрим как многочлен от одной переменной Y с коэффициентами в При этом, не теряя общности, мы можем считать, что старший коэффициент равен 1. Построим последовательность Штурма для этого многочлена, скажем

Положим и обозначим через коэффициенты .

Из алгоритма Евклида видно, что коэффициенты многочленов в последовательности Штурма могут быть выражены в виде рациональных функций

от

Пусть

где - некоторое положительное целое число, а знаки выбраны таким образом, чтобы каждый член в этой сумме давал положительный вклад. Положим и выберем s так, чтобы ни и, ни v не были корнями никакого многочлена в последовательности Штурма для Для дальнейшего нам потребуется лемма.

Лемма 2. Пусть - вещественно замкнутое поле и — конечное множество рациональных функций от одной переменной с коэффициентами в R. Предположим, что поле рациональных функций каким-то образом упорядочено, так что каждой функции приписан некоторый знак. Тогда имеется бесконечно много таких значений а переменной в R, что при любом i величина определена и имеет тот же знак, что и

Доказательство. Рассматривая по отдельности числители и знаменатели наших рациональных функций, мы можем без потери общности предполагать, что — многочлены. Тогда

где первое произведение берется по всем корням X многочлена а второе — по положительно определенным квадратичным множителям над R. Для любого величина положительна. Достаточно поэтому показать, что для всех X могут быть сохранены знаки при подстановке вместо бесконечного множества значений а. Упорядочив все значения X и получим

где, возможно, или должно быть опущено, если меньше или больше, чем любое X. Произвольное значение а для в R, выбранное между будет удовлетворять требованиям нашей леммы.

Чтобы применить лемму к доказательству существования нашей точки, возьмем множество рациональных функций состоящее из всех коэффициентов всех рациональных функций и всех функций вариация знаков которых удовлетворяет теореме Штурма. Мы найдем бесконечно много значений а переменной в R, которые сохраняют знаки этих рациональных функций. Тогда многочлены имеют корни в R и для всех, кроме конечного числа, значений а эти корни будут кратности 1.

Теперь уже дело простой техники показать, что для всех, кроме конечного числа, точек на кривой элементы лежат в локальном кольце гомоморфизма переводящего в точку для которой но (см. пример в конце § 4 гл. XII и упражнение 12 той же главы). Можно было бы дать здесь и непосредственное доказательство. Таким образом, мы получаем гомоморфизм

что и доказывает теорему S.

Теорема S допускает обращение.

Теорема 6. Пусть -вещественное поле, -его конечно порожденное расширение, такое, что элементы алгебраически независимы над k, а у алгебраичен над . Пусть — неприводимый многочлен из , для которого Пусть, далее, R — вещественно замкнутое поле, содержащее k, причем существует набор такой, что , но . Тогда поле К вещественное.

Доказательство. Пусть алгебраически независимы над R. По индукции мы можем упорядочить таким образом, чтобы каждый был бесконечно малым относительно R Сем. пример из § 1). Пусть R — вещественное замыкание поля сохраняющее упорядочение. Положим для Тогда при малых положительных и отрицательных значениях h из R имеет разные знаки и, следовательно, имеет в R корень, скажем и. Так как многочлен неприводим, то изоморфизм на переводящий продолжается до вложения в R и, следовательно, поле К вещественно, что и требовалось показать.

На языке алгебраической геометрии теоремы 5 и 6 утверждают, что поле функций многообразия над вещественным полем k тогда и только тогда вещественно, когда многообразие имеет простую точку в некотором вещественном замыкании поля

На тех же идеях основано доказательство следующей теоремы.

Теорема 7. Пусть k — поле и К — его конечно порожденное расширение, причем К упорядочено. Пусть R — вещественно замкнутое поле, содержащее k и индуцирующее то же самое упорядочение на k, что и К. Предположим, что степень трансцендентности R над k не меньше, чем степень трансцендентности К над k. Тогда существует вложение К в R над

Мы предоставим доказательство читателю в качестве упражнения. Используя прием с извлечением квадратных корней, можно всегда выбрать указанное вложение так, чтобы сохранить конечное число неравенств в заданном упорядочении поля К.