§ 3. Поля разложения и нормальные расширения

Пусть k — поле, — многочлен из степени -1. Под полем разложения К многочлена мы будем понимать расширение К поля k, в котором разлагается на линейные множители, т. е.

где причем порождается всеми корнями

Теорема 3. Пусть К — поле разложения многочлена Если Е — какое-нибудь другое поле разложения то существует изоморфизм индуцирующий тождественное отображение на k.

Если , где k — алгебраическое замыкание k, то любое вложение поля Е в k, индуцирующее тождественное отображение на k, — обязательно изоморфизм Е на К.

Доказательство. Пусть К — алгебраическое замыкание поля К. Тогда К алгебраично над k и, следовательно, является его алгебраическим замыканием. В силу теоремы 2 существует вложение

индуцирующее тождественное отображение на k. Имеем разложение на множители

где . Старший коэффициент с лежит в k. Получаем

Но в разложение на множители однозначно. Так как имеет в разложение

то набор ) отличается от только перестановкой. Отсюда заключаем, что для и что, следовательно, . Но и, значит, поскольку Это доказывает нашу теорему.

Отметим, что всякий многочлен имеет поле разложения, а именно поле, порожденное всеми его корнями в данном алгебраическом замыкании k поля

Пусть — некоторое множество индексов и — семейство многочленов из степеней 1. Под полем разложения для этого семейства мы будем понимать расширение К поля k, такое, что всякий разлагается в на линейные множители, причем К порождается всеми корнями всех многочленов . В большинстве приложений мы будем иметь дело с конечным множеством индексов но рассмотрение бесконечных алгебраических расширений приобретает все большее значение, и мы с ними систематически будем сталкиваться. Следует также заметить, что доказательства различных утверждений, которые мы будем приводить, не стали бы проще, если бы мы ограничились конечными расширениями.

Пусть k — алгебраическое замыкание поля — поле разложения многочлена в k. Композит полей будет полем разложения для нашего семейства, так как оба условия, определяющие поле разложения, очевидно, выполняются.

Кроме того, теорема 3 немедленно распространяется на бесконечный случай.

Следствие. Пусть К — поле разложения для семейства и Е — какое-нибудь другое поле разложения. Любое вложение Е в К, индуцирующее тождественное отображение на k, определяет изоморфизм Е на К.

Доказательство. Мы сохраняем предыдущие обозначения. Заметим, что Е содержит однозначно определенное поле разложения многочлена и К содержит однозначно определенное поле разложения ; многочлена Любое вложение о поля Е в К должно отображать на в силу теоремы 3 и, следовательно, переводить Е в К. Так как К есть композит полей наше отображение должно переводить Е на и, следовательно, оно индуцирует изоморфизм Е на К.

Замечание. Если конечно и — наши многочлены, то поле разложения для них — это поле разложения для одного многочлена , являющегося их произведением. Однако, даже если ограничиться только конечными расширениями, удобнее иметь дело сразу с множествами многочленов, а не с одним многочленом.

Теорема 4. Пусть К — алгебраическое расширение поля содержащееся в некотором его алгебраическом замыкании k. Тогда следующие условия эквивалентны.

НОР 1. Всякое вложение поля К в k над k является автоморфизмом поля К.

НОР 2. К — поле разложения некоторого семейства многочленов в

НОР 3. Всякий неприводимый в k [X] многочлен, имеющий корень в К, разлагается в К на линейные множители.

Доказательство. Предположим, что выполняется НОР 1. Пусть а — элемент из — его неприводимый многочлен над k и — корень многочлена в k. Тогда существует изоморфизм поля на над k, отображающий а в . Продолжим этот изоморфизм до вложения К в k. Это продолжение есть по предположению автоморфизм а поля К, и, следовательно, лежит в К.

Значит, всякий корень многочлена лежит в К и разлагается на линейные множители в Следовательно, К есть поле разложения для семейства где а пробегает все элементы поля R, и тем самым выполняется НОР 2.

Обратно, предположим, что выполняется НОР 2, и пусть — семейство многочленов, для которых К служит полем разложения. Если а — корень некоторого в К, то мы знаем, что также будет его корнем для любого вложения поля К в k над к. Так как К порождается корнями всех многочленов то о отображает К в себя. Теперь, чтобы заключить, что — автоморфизм, применяем лемму 1.

Доказательство того факта, что НОР 1 влечет НОР 2, показывает также, что при этом выполняется и НОР 3. Обратно, предположим, что выполняется НОР 3. Пусть — вложение К в k над k. Пусть ( - неприводимый многочлен элемента а над k. Так как а — вложение К в k над k, то отображает а в корень многочлена ), а по предположению лежит в К. Следовательно, лежит в К и а отображает К в себя. Из леммы 1 вытекает, что автоморфизм.

Расширение К поля k, удовлетворяющее условиям НОР 1, НОР 2, НОР 3, будет называться нормальным. Не верно, что класс нормальных расширений является отмеченным. Например, легко показать, что всякое расширение степени 2 нормально, но расширение ) поля рациональных чисел не является нормальным (комплексные корни многочлена в нем не содержатся). Тем не менее это расширение получается последовательными расширениями степени 2, а именно

где

Таким образом, башня нормальных расширений не обязательно нормальна. Однако некоторые свойства отмеченного класса все же имеют место.

Теорема S. Нормальные расширения остаются нормальными при подъеме. Если и К нормально над k, то К нормально над Е. Если нормальны над k и содержатся в некотором поле L, то нормально над k и то же самое справедливо для

Доказательство. Для доказательства нашего первого утверждения предположим, что К нормально над k и F — произвольное расширение поля k. Допустим, что К, F содержатся в некотором большем поле L. Пусть — вложение KF над F (в L). Тогда отображение тождественно на F и, следовательно, на k и по предположению его ограничение на К отображает К в себя. Получаем т. е. KF нормально над

Предположим, что и что К нормально над k. Пусть а — некоторое вложение К над Е. Тогда есть также вложение К над k, и наше утверждение справедливо по определению.

Наконец, если нормальны над k, то для любого вложения поля над k имеем

и наше утверждение снова вытекает из сделанных предположений. Утверждение, касающееся пересечения, справедливо потому, что

Заметим, что если К — конечно порожденное нормальное расширение над k, скажем — соответствующие неприводимые многочлены для над k, то К есть уже поле разложения для конечного семейства Позже мы исследуем, когда К будет полем разложения для одного неприводимого многочлена.