§ 10. Конечно порожденные абелевы группы

Группы, названные в заглавии этого параграфа, встречаются так часто, что стоит установить теорему, полностью описывающую их структуру. В этом параграфе мы записываем наши абелевы группы аддитивно.

Пусть А — абелева группа. Элемент называется периодическим, если он имеет конечный период. Подмножество всех периодических элементов из А является подгруппой в А, называемой подгруппой кручения группы А (если а имеет период m и b имеет период , то а ± b имеет период, делящий ).

Конечно порожденная периодическая абелева группа (группа, совпадающая со своей подгруппой кручения), очевидно, конечна. Мы начнем с изучения конечных абелевых групп. Пусть А — абелева группа и — простое число.

Мы обозначаем через подгруппу всех элементов , период которых есть степень . Тогда — периодическая группа, являющаяся -группой, если она конечна.

Теорема S. Пусть А — конечная абелева группа. Тогда А является прямым произведением своих подгрупп по всем простым , таким, что

Доказательство. Сначала рассмотрим случай абелевой группы А, показатель которой может быть записан в виде произведения где — взаимно простые целые числа Существуют целые числа , s, такие, что

Поэтому

откуда следует, что все символы включения нужно заменить равенства. Если , то , откуда Следовательно, А — прямое произведение подгрупп .

Пусть обозначает подгруппу в А, состоящую из всех для которых Тогда так как Обратно, если то так что Следовательно, и аналогично так что окончательно

По индукции заключаем, что А есть прямое произведение своих подгрупп , что и утверждается в теореме.

Наша следующая задача — описать структуру конечных абелевых -групп. Пусть , — целые числа 1. Конечная -группа А называется группой типа если она изоморфна прямому произведению циклических групп порядков

Теорема 6. Всякая конечная абелева -группа изоморфна прямому произведению циклических -групп. Если она есть типа причем

то последовательность определена однозначно.

Доказательство. Пусть А — конечная абелева -группа. Нам потребуется следующее замечание. Пусть b — элемент из — целое число 0, такое, что , и пусть — период элемента Тогда b имеет период

Доказательство: разумеется, а если то, во-первых, а, во-вторых, , так как иначе период элемента был бы меньше, чем .

Теперь докажем существование искомого прямого произведения по индукции. Пусть — некоторый элемент максимального периода. Не теряя общности, мы можем предполагать, что группа А — не циклическая. Пусть — циклическая подгруппа, порожденная элементом периода, скажем, Нам нужна лемма.

Лемма. Пусть - некоторый элемент из периода Тогда в А существует представитель а класса b, также имеющий период

Доказательство. Пусть b — произвольный представитель класса b в А. Тогда лежит в скажем, пах, где — некоторое целое число. Заметим, что период b периода b. Запишем где , взаимно просто с . Тогда также является образующей подгруппы А, и, следовательно, имеет период Мы можем предполагать, что Тогда имеет период . В силу нашего предыдущего замечания элемент b имеет период

откуда по предположению Это доказывает, что существует элемент , такой, что Пусть Тогда а есть представитель для b в А и Так как период то заключаем, что а имеет период, равный

Возвращаемся к основному доказательству. По индукции факторгруппа допускает представление в виде произведения

циклических подгрупп порядков соответственно; мы мэжем предполагать, что Пусть — образующая для — ее представитель в А, имеющий тот же период, что и Пусть — циклическая подгруппа, порожденная элементом Мы утверждаем, что А есть прямое произведение подгрупп

Для заданного элемента обозначим через его класс вычетов в Существуют целые числа для которых

Следовательно, лежит в А, и существует целое число такое, что

откуда .

Предположим далее, что -целые числа G, такие, что

Так как имеет период то мы можем считать, что Проводя черту над членами этого уравнения, получаем

Так как прямое произведение подгрупп то заключаем, что каждое для Но тогда также и и, следовательно, все Отсюда вытекает немедленно, что

для каждого и, следовательно, А — прямое произведение подгрупп что и требовалось установить.

Единственность доказываем по индукции. Предположим, что группа А записана двумя способами в виде произведения циклических групп, т. е. имеет одновременно типы, скажем,

где Тогда — также -группа порядка, строго меньшего, чем порядок А, и типов

причем подразумевается, что если некоторый показатель или равен 1, то множитель, соответствующий

, будет просто тривиальной группой 0. По индукции подпоследовательность в

состоящая из тех целых чисел, которые -1, однозначно определена, и то же самое справедливо для соответствующей подпоследовательности в

Другими словами, мы имеем для всех таких номеров I, что или Следовательно, для всех этих номеров и две последовательности

могут отличаться только своими последними членами, равными . Эти члены, соответствующие множителям типа встречаются, скажем, v раз в первой последовательности и , раз во второй последовательности. Тогда для некоторого целого группа А имеет типы

Таким образом, ее порядок равен

откуда и наша теорема доказана.

Группа G называется группой, свободной от кручения, или группой без кручения, если единичный элемент является единственным элементом в G, имеющим конечный период.

Теорема 7. Пусть А — конечно порожденная абелева группа без кручения. Тогда А — свободная.

Доказательство. Предположим, что Пусть -конечное множество образующих и — максимальное подмножество в S, обладающее тем свойством, что, каковы бы ни были целые числа из

вытекают равенства для всех j (заметим, что так как ). Пусть В — подгруппа, порожденная элементами Тогда В свободна. В силу предположения о максимальности для заданного существуют целые числа , не все равные нулю, такие, что

При этом иначе все . Следовательно, ту лежит в В. Это справедливо для каждого элемента у из конечного множества образующих группы А, откуда вытекает, что существует целое число для которого Отображение

группы А в себя — гомоморфизм, имеющий тривиальное ядро, поскольку А без кручения.

Следовательно, это изоморфизм группы А на подгруппу в В. В силу теоремы 4 предыдущего параграфа заключаем, что свободна, откуда и А свободна.

Теорема 8. Пусть А — конечно порожденная абелева группа и — ее подгруппа, состоящая из всех элементов, имеющих конечный период. Тогда конечна и свободна. При этом в А существует свободная подгруппа В, такая, что А есть прямая сумма и В.

Доказательство. Напомним, что конечно порожденная периодическая абелева группа очевидным образом конечна. Пусть А порождается элементами, и пусть F — свободная абелева группа с образующими. В силу свойства универсальности существует сюръективный гомоморфизм

группы F на А. Подгруппа в F конечно порождена в силу теоремы 4. Следовательно, сама конечно порождена и потому конечна.

Далее, докажем, что не имеет кручения. Пусть — некоторый элемент в такой, что для некоторого целого Тогда для любого представителя класса в А имеем откуда для некоторого целого Следовательно, так что свободна от кручения. Значит, в силу теоремы свободна. Для завершения доказательства используем лемму к теореме 4.

Ранг факторгруппы называется также рангом группы А.