§ 5. Простейшие дроби

В этом параграфе мы займемся анализом поля частных кольца главных идеалов, используя факториальность такого кольца.

Теорема 7. Пусть А — целостное кольцо главных идеалов и Р — множество представителей для его неприводимых элементов. Пусть К — поле частных кольца А и а — некоторый элемент из К. Тогда для каждого найдутся элемент и целое число такие, что для почти всех взаимно просты и

Если имеется другое такое представление

то .

Доказательство. Докажем сначала существование такого представления. Пусть а, b — взаимно простые ненулевые элементы из А. Тогда существуют для которых Следовательно,

так что любая дробь с может быть разложена в сумму двух дробей (а именно, ), знаменатели которых делят b и а соответственно. По индукции отсюда вытекает, что любой элемент имеет требуемое представление, за тем возможным исключением, что может делить Сокращение на наибольший общий делитель приводит к представлению, удовлетворяющему всем нужным условиям.

Что касается единственности, то предположим, что а имеет два представления, указанных в теореме. Пусть q — фиксированный простой элемент из Р. Тогда

Если то для q наши условия удовлетворяются. Предположим, что одно из чисел отлично от нуля, скажем Пусть d — наименьшее общее кратное для всех степеней таких, что . Умножим предыдущее равенство на Получим

для некоторого . Кроме того, d не делится на q. Если делит что невозможно. Следовательно, . Но тогда делится на и доказывает теорему.

Применим теорему 7 к кольцу многочленов над полем k. Пусть Р — множество неприводимых многочленов, нормированных так, чтобы старший коэффициент у них был равен 1.- Тогда Р будет множеством представителей для всех неприводимых элементов из . В представлении для а, указанном в теореме 7, мы можем теперь разделить на , т. е. применить алгоритм Евклида, если . Мы обозначаем поле частных кольца через k (X) и называем его элементы рациональными функциями.

Теорема 8. Пусть - кольцо многочленов от одной переменной над полем k. Пусть Р — множество неприводимых многочленов в со старшим коэффициентом 1. Тогда любой элемент из имеет единственное представление в виде

где — многочлены, при взаимно прост с при при .

Доказательство. Существование немедленно вытекает из предшествующих замечаний. Единственность следует из того факта, что если имеются два представления с элементами и соответственно и с многочленами g, h, то делит откуда а потому

Можно и дальше разложить член выразив через суммы степеней . При этом мы добьемся того, что в выражении многочлена указанном в теореме 8, будут содержаться лишь так называемые простейшие дроби в которых . В действительности это можно сделать в несколько более общей форме.

Теорема 9. Пусть k — поле, — кольцо многочленов от одной переменной, Предположим, что Тогда существуют однозначно определенные многочлены

такие, что и

Доказательство. Сначала докажем существование. Если , то возьмем для . Предположим, что Можно найти многочлены , такие, что

и так как , то . По индукции существуют многочлены , для которых

и, следовательно,

что и доказывает существование.

Что касается единственности, то пусть

— два разложения, удовлетворяющие условиям теоремы.

Добавляя члены, равные 0, к одной из сторон, мы можем считать, что Вычитая, получим

Следовательно, g делит а поскольку то Возьмем наименьшее , для которого (если такое i существует). Разделив наше равенство на , мы найдем, что g делит и что, следовательно, такого i не может существовать. Это доказывает единственность.

Полученное в теореме 9 разложение по степеням g мы будем называть -адическим разложением многочлена . Если , то - адическое разложение совпадает с обычной записью как многочлена.