Выведенное выше уравнение адиабаты Гюгонио обладает рядом чрезвычайно интересных особенностей. Прежде всего, нетрудно видеть, что при беспредельном повышении давления схатия $p_{2}$ плотность идеального газа постоянной теплоемкости не будет расти беспредельно, а стремится к определенному пределу, равному $\varrho_{2}=\frac{k+1}{k-1} \varrho_{1}$. Для двухатомных газов с невозбужденными колебаниями внутри молекулы $c_{v}=5$ кал/моль $\cdot$ град; $c_{p}=7$ кал/моль $\cdot$ град; $k=1.4$ и предельное значение плотности не превышает начальной плотности, умноженной на 6. Для одноатомного газа предельное объемное сжатие равно 4.

Таким образом, мы видим, что по крайней мере при сильных сжатиях, т. е. при больших давлениях сжатия, плотность растет сравнительно медленно, чему отвечает медленное падение объема и соответственно быстрый рост произведения $p v$, определяющего температуру газа.

Численные расчеты вполне подтверждают этот вывод – быстром росте температуры газа с ростом давления сжатия в ударной волне.

Приводим составленные О. И. Лейпунским графики (рис. 25 и 26), даюџие, в зависимости от отношения давлений $p_{2} / p_{1}$, все интересующие нас величины: плотность после сжатия, все скорости $u_{1}, u_{2}, u_{1}-u_{2}$ и скорость звука в сжатом газе, причем все скорости отнесены к скорости звука в исходном невозмушенном газе. Темгературу сжатого газа легко найдзм по кривой скорости звука $T_{2} / T_{1}=\left(c_{2} / c_{1}\right)^{2}$. Расчеты проведены в предположении постоянной, не зависящей от температу-
Рис. 25. Зависимость скорости распространения волны $D$, скорости движения сжатого вещества $\boldsymbol{u}$ и скорости волны относительно сжатого вещества $D-u$ от амплитуды давления в ударной волне в двухатомном газе с постоянной теплоемкостью. ры, теплоемкости $c_{v}=5$ кал/моль – град, $\quad c_{p}=7$ кал/моль-град. У Беккера [38] мы находим таблицу состояния воздуха, сжатого ударной волной.
Расчет Беккера проведен в предположении линейной зависимости теплоемкости от температуры; средняя теплоемкость в интервале от $273^{\circ}$ до $T$ выражена формулой:
\[
\begin{array}{c}
c_{v(273-T)}=4.78+ \\
+0.45 \cdot 10^{-3} T . \quad(\mathrm{IX}-1 \text { ) }
\end{array}
\]

Поверочные расчеты показывают, что в интервале от комнатной температуры до $3000^{\circ} \mathrm{K}$ эта простая формула с точностью до $3 \%$ совпадает с современным точным значением теплоемкости воздуха, рассчитанным на основании спектроскопических данных. В таблиџе Беккер приводит для
сравнения температуру, достигаемую при адиабатическом сжатии (вдоль адиабаты Пуассона, при постоянной энтропии) до того же давления.

Как видно из таблиџы, сжатие ударной волной приводит при равном повышении давления к значительно более высокой температуре сжатия.

Непосредственный расчет для идеального газа с постоянной теплоемкостью показывает, что при сжати и ударной волне, т. е. если $\varrho_{2}>\varrho_{1} ; \quad p_{2}>p_{1} ; \quad v_{2}<v_{1} ; \quad u_{1}>0 ; \quad u_{2}>0$, имеют место следуюшие соотношения:
\[
u_{1}>c_{1} ; \quad u_{2}<c_{2} ; \quad S_{2}>S_{1} .
\]

В волне разрежения, если бы она распространялась в виде разрыва, в идеальном газе $u_{1}>0 ; \quad u_{2}>0 ;{ }_{2}<\varrho_{1} ; \quad p_{2}<p_{1}$; $v_{2}>v_{1}$ соотношения были бы обратными:
\[
u_{1}<c_{1} ; \quad u_{2}>c_{2} ; \quad S_{1}<S_{2} .
\]

При отсутствии отбора тепла наружу падение энтропии невозможно, откуда следует невояможность распространения
волны разрежения в виде раврыва (так называемая теоретма Цемплена $[99,55])$. Ниже, углубляя теорию ударной волны, мы покажем механизм роста энтропии в волне сжатия и связь его с неравенствами, относящимися к скорости волны $u_{1}, u_{2}$ и скорости звука $c_{1}, c_{2}$.
Для идеального газа постоянной теплоемкости при большой амплитуде ударной волны $p_{2} \gg p_{1}$, формулы значительно упрощаются: мы уже отмечали, что плотность после сжатия находится в опреде-
Рис. 26. Зависимость плотности $\varrho_{2}$ и скорости звука $c_{2}$ в сжатом веществе от давления, в тех же уеловиях, что и на рис. 25 .
ленном отношении $\left(\frac{k+1}{k-1}\right)$
к плотности до сжатия. Отношения между величинами, характеризующими достигнутое после сдатия состояние, стремигся к определенному пределу при $\frac{p_{1}}{p_{1}} \rightarrow \infty$
\[
D: u: c_{\mathbf{2}}=k+1: 2: \sqrt{2 k(k-1)} .
\]

В предельные формулы входит начальная плотность, но не начальное давление или температура, от которых конечное состояние не зависит в пределе, при большой амплитуде.
\[
D=\sqrt{\frac{k+1}{2} p_{2} v_{1}}=\sqrt{\frac{k+1}{2} \frac{p_{2}}{\varrho_{1}}} ; T=\frac{k-1 p_{2} v_{1}}{k+1 R}=\frac{k-1}{k+1} \frac{p_{2}}{R \varrho_{1}} .
\]

распространение ударных волн в жидкостях в малой степени являлось предметом исследования. Беккер в своей работе об ударных волнах приводит данные об ударных волнах в спирте и әфире. При вычислении он пользовался приближенным уравнением состояния Таммана.

Принимая во внимание важность изучения ударных волн в воде, в связи с действием подводных взрывов мин и торпед, представляет илтерес ојенка основных параметров ударной волны в зависимости от давления.

В следуюшей таблиџе даны результаты расчета распространения ударной волны в воде, проделанного Лейпунским и автором [125].

В отличие от Беккера, при вычислении мы пользуемся непосредственно табличными данными для сжимаемости, коэффиџиента расширения и теплоемкости воды, не прибегая к мало надежным уравнениям состояния.

Измерения Бриджмена довєдены до весьма высоких давлений, поэтому в расчете не приходится пользоваться экстраполяцией. Для удобства расчета выбраны были такие начальные условия, чтобы конечная температура сжатой в волне воды равнялась $40^{\circ} \mathrm{C}$ : при этой температуре, согласно Бриджмену, коэффиџиент теплового расширения воды $\alpha$ не зависит от давления, что облегчает расчет.

В уравнение энергии (VII.6) входит әнергия воды при высоком давлении. Ее мы вычисляем с помощью термодинамических соотношений
\[
\begin{array}{c}
d E=T d S-p d v=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p} d T+T\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_{T} d p-p d v, \\
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p}=\frac{c_{p}}{T} ;\left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}=-a v, \\
d E=c_{p} d T-a T v d p-p d v .
\end{array}
\]

Интегрируя последнее выражение по пути, ведущему из состояния с известной энергией в состояние, энергию которого мы определяем, найдем $E$.

В первых четырех столбџах табл. 3 приведены величины, характеризующие начальное, до сжатия, состояние вещества, в следующих четырех – состояние вещества после сжатия, далее следует скорость распространения ударной волны относительно несжатой воды, $D=u_{1}$, и скорость движения, приобретаемая водой при сжатии, $u=u_{1}-u_{2}$ (ср. обозначения § VIII).

В последнем столбџе приведена величина, характеризующая диссипативные продессы и затухание ударной волны в воде; величина $T_{1 s}^{\prime}$ представляет ту начальную температуру, которая необходима, чтобы изэнтропическим сжатием от $p_{1}$ до $p_{2}$ достичь показанного в таблиџе состояния $p_{2}, T_{2}, v_{2}$. Раз ность $T_{1 s}^{\prime}$ и величины $T_{1}$, приведенной во втором столбуе, представляет собой ту часть повышения температуры, которая достигается за счет необратимых продессов во фронте ударной водны. Представим себе ударное сжатие с $p_{1}$ до $p_{2}$, за которым следует изэнтропическое расширение до давления $p_{1}$; в результате после прохождения ударной волны заданной амплитуды давления ( $p_{2}$, пятый столбед таблиџы) п следующей за ней волны разрежения температура воды повысится с $T_{1}$ до $T^{\prime}{ }_{1 s}$.

Такое повышение температуры воды произошло за счет необратимого расходования механической (кинетической и потенџиальной) энергии ударной волны и, следовательно, непосредственно связано с затуханием волны. Мерой затухания может служить отношение $\frac{T_{1 s}^{\prime}-T_{1}}{T_{2}-T_{1}}$.

Легко убедиться в том, что и в данном конкретном случае выполняются общие соотношения: скорость распространения волны больше скорости звука в невозмущенной воде, $D>c_{1}$; скорость распространения волны относительно сжатой воды меньше скорости звука в сжатой воде, $D-u<c_{2}$.

Остановимся здесь на некоторых формальных свойствах адиабаты Гюгонио.

Весьма любопытен и имеет глубокий смысл тот факт, что уравнение адиабаты Гюгонио нельзя записать в виде:
\[
f\left(p_{1}, \varrho_{1}\right)=f\left(p_{2}, Q_{2}\right) .
\]

В этом отношении адиабата Гюгонио, очевидно, отличается от таких простейших кривых, как изотерма или адиабата Пуассона. Уравнение последней гласит:
\[
S=S(p, \varrho)=\mathrm{const},
\]

что, например, для идеального газа даст
\[
S=c_{p} \ln p-c_{v} \ln \varrho+\mathrm{const} ; p \varrho^{-k}=\mathrm{const} \cdot e^{-\frac{S}{c_{v}}} . \quad \text { (IX-8) }
\]

Для того чтобы исчерпать все кривые Пуассона, нам достаточно пройти одномерный ряд значений әнтропии $S$. Для того чтобы исчерпать все кривые адиабаты Гюгонио, нам необходимо построить „бесконечность в квадрате“ кривых, отвечаюцих всем возможным эначениям $p_{1}$ и $\varrho_{1}$.

Тот факт, что уравнение адиабаты Гюгонио не может быть представлено в виде $f(p, \varrho)=$ const, виден хотя бы из того, что, сжимая, например, двухатомный газ два раза двумя удар ными волнами, одна из которых распространяется по второй, мы можем достичь сжатия до 36 раз, тогда как при однократном сжатии мы не можем увеличить плотность больше, чем в 6 раз. Таким образом, при двукратном или вообще многократном сжатии ударными волнами мы приходим к состоянию, к которому нельзя притти однократным сжатием. Между тем, при изэнтропическом сжатии конечное давление полностью определяет конечную плотность вещества, независимо от того, на сколько әтапов мы разбили достижение данного конечного давления, что следует из возможности представления адиабаты Пуассона в форме (IX-6).

В плоскости $p$, @ или в плоскости $p, v$ адиабата Пуассона представляет собой кривую, все точки которой әквивалентны. Ни одна из точек не представляет какой-либо особенности. $\mathrm{C}$ адиабатой Гюгонио әто не так. Начальная точка $\varrho_{1}, p_{1}$ (или $v_{1}, p_{1}$ ) является особой точкой адиабаты Гюгонио. Мы выявим характер особенности в следуюшем параграфе, рассматривая окрестность точки $p_{1}, v_{1}$, описывающей исходное состояние вешества до сжатия.
Уравнение адиабаты Гюгонио запишем так:
\[
p=H\left(\varrho ; p_{1}, \varrho_{1}\right) .
\]

Из симметрии уравнений сохранения, из которых пслучено уравнение адиабаты Гюгонио, следует, что если
\[
p_{2}=H\left(\varrho_{2} ; p_{1}, \varrho_{1}\right),
\]

то и обратно
\[
p_{1}=H\left(\varrho_{1} ; p_{2}, \varrho_{2}\right)
\]
(ср. ниже стр. 80 , рис. 28 ).