Во введении и в предыдущем параграфе мы уже много раз упоминали характеристическую величину скорости, именно скорость эвука. Рассматривая распространение малых возмущений, покажем, как из уравнений газовой динамики получаются в пределе уравнения акустики и как в уравнениях газовой динамики заключена скорость звука.

Мы преобразуем уравнения газовой динамики, написанные выше, полагая скорость движения $и$ и изменение плотности малыми. Скорость движения полагается малой по сравнению со скоростью звука, $\frac{u}{c} \ll 1$, изменения плотности и давления малыми по сравнению со средними значениями плотности и давления, $\frac{\Delta g}{\varrho} \sim \frac{\Delta p}{p} \ll 1$. Того же порядка и колебания температуры в волне в газе.

Далее, в уравнениях движения мы пренебрегаем членами порлдка выше первого в разложении уравнения состояния вещества по степеням $\Delta \varrho$ или $\Delta p$ (они относятся к оставленным, как $\Delta p(p)$; мы также пренебрегаем $u^{2}$ по сравнению с $u c$ (отношение отброшенных членов к оставленным равно $u / c$ ).

Приведенные ниже значения амплитуды давления в звуке определенной мощности показывают безоговорочную допустимость этих пренебрежений в акустике.
Плотность мы разбиваем следующим образом:
\[
\varrho=\varrho_{0}+\varepsilon,
\]

где $\varrho_{0}$ – начальную плотность – мы будем полагать величиной постоянной, а изменение плотности $\varepsilon$, связанное с распространением звука или вообще возмущений по газу, мы будем считать величиной малой.

Уравнение сохранения вещества перепишется в следующем виде:
\[
\frac{\partial \varepsilon}{\partial \boldsymbol{t}}+u \frac{\partial \varepsilon}{\partial \boldsymbol{x}}+\left(\varrho_{0}+\varepsilon\right) \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{x}}=0 .
\]

Пренебрегая величинами высшего порядка малости, т. е. произведениями двух малых величин, мы получим:
\[
\frac{\partial \varepsilon}{\partial t}=-\varrho_{0} \frac{\partial u}{\partial x} .
\]

Пренебрегая таким же образом членами высшего порядка малости в уравнении движения, получим:
\[
\varrho_{0} \frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}=-\frac{\partial p}{\partial \varrho} \frac{\partial \rho}{\partial x}=-\frac{\partial p}{\partial \varrho} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x} .
\]

Дифференцируя уравнение сохранения вещества по времени, а уравнение движения по координате, получим окончательное основное уравнение акустики:
\[
\frac{\partial^{2} \varepsilon}{\partial t^{2}}=\frac{\partial p}{\partial g} \frac{\partial^{2} \varepsilon}{\partial x^{2}} .
\]

Обозначая
\[
\frac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial \varrho}=\boldsymbol{c}^{2},
\]

мы видим, что уравнение допускает две группы решений: первую группу
\[
\begin{aligned}
\varepsilon=\varepsilon(x-c t) ; \quad & \varrho=\varrho(x-c t) ; \quad u=u(x-c t) ; \\
& p=p(x-c t),
\end{aligned}
\]

и вторую группу
\[
\begin{aligned}
\varepsilon=\varepsilon(x+c t) ; & \varrho=\varrho(x+c t) ; \quad u=u(x+c t) ; \\
& p=p(x+c t),
\end{aligned}
\]

отличающуюся от первой тем, что под знаком функџии везде, вместо $x$-ct, стоит $x+c t$. Под $c$ мы везде понимаем положительный корень из $\frac{\partial p}{\partial Q}, c=+\sqrt{\frac{\partial p}{\partial g}}$.

Первая группа решений, в которой все величины зависят от комбинаџии $x$-ct, представляет собой возмущение, распространяющееся вправо, т. е. по направлению возрастающих значений координаты $x$. Действительно, если в момент $t_{1}$ некоторое состояние $\left(\varrho_{1}, p_{1}, u_{1}\right.$ ) осуществлялось в точке $x_{1}$, то в следуюший момент $t_{2}$ это состояние будет осушествлено в той точке $x_{2}$, где переменная $x$-ct (от которой только и зависят все величины $\varrho_{1}, p_{1}, u_{1}$ рзссматриваемого решения) имеет то же значение
\[
\begin{array}{l}
x_{2}-c t_{2}=x_{1}-c t_{1}, \\
x_{2}=x_{1}+c\left(t_{2}-t_{1}\right) .
\end{array}
\]

Заданное состояние распространяется в направлении возрастания $x$ со скоростью $c$, что и требовалось доказать.

Для этой волны нетрудно, подставляя найденный вид решеняя в основные уравнения, получить из (II-3): ${ }^{1}$
\[
-c \varepsilon^{\prime}=-\varrho_{0} u^{\prime},
\]

где штрихом обозначено дифференџирование функции (II-6) по переменной $x$-ct. Полагая при больших значениях $x$, т. е. далеко впереди в невозмущенном газе, $u=0, \varepsilon=0$ и $\varrho=\varrho_{0}$, мы найдем для волны, распространяющейся вправо:
\[
u=\varepsilon \frac{c}{\varrho_{0}}=\left(\varrho-\varrho_{0}\right) \frac{c}{\varrho_{0}} .
\]
${ }^{1} \mathrm{Mh}$ пользуемся преобразованиями
\[
\frac{\partial}{\partial x} f(x-c t)=f^{\prime} ; \quad \frac{\partial}{\partial t} f(x-c t)=-c f^{\prime} .
\]

Мгновенное значение давления также линейно свяяано с плотностью и скоростью:
\[
p-p_{0}=\frac{\partial p}{\partial \varrho}\left(\varrho-\varrho_{0}\right)=\varrho_{0} u c .
\]

Отметим особо, что давление пропорџионально первой степени скорости в звуке; в стадионарном течении, согласно теореме Бернулли, мы имели бы гораздо меньшее изменение давления:
\[
p=p_{0}-\frac{\varrho_{0} u^{2}}{2} \text {. }
\]

Важнейший вывод из формул (II-10) и (Il-11) заключается в том, что в волне, распространяюшейся вправо, в сторону растущих значений координаты $x$, массовая скорость движения и положительна там, где вешество сжато, и отрицательна там, где вещество разрежено и плотность вешества меньше нормальной.

Аналогично для второй волны, в которой все величины зависят от комбинации $x+c t$, т. е. для волны, распространяющейся влево, в сторону уменьшения $x$, мы получим:
\[
u=-\varepsilon \frac{c}{\varrho_{0}}=-\left(\varrho-\varrho_{0}\right) \frac{c}{\varrho_{0}} .
\]

В обоих случаях там, где вещество сжато, скорость движения направлена в сторону распространения волны.

Если в начальный момент задано некое произвольное распределение плотности и произвольное распределение скорости движения в пространстве
\[
t=0 ; \quad \varrho=\varrho(x) ; \quad \varepsilon=\varepsilon(x)=\varrho(x)-\varrho_{0} ; \quad u=u(x),
\]

то для искомых диух волн: первой $\varepsilon_{1}=\varepsilon_{1}(x-c t), u_{1}=u_{1}(x-c t)$ и второй $\varepsilon_{2}=\varepsilon_{2}(x+c t), u_{2}=u_{2}(x+c t)$, мы получим два уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon_{1}(x)+\varepsilon_{2}(x)=\varrho(x)-\varrho_{0}=\varepsilon(x), \\
u_{1}(x)+u_{2}(x)=\frac{\varepsilon_{1}(x) c}{\varrho_{0}}-\frac{\varepsilon_{2}(x) c}{\varrho_{0}}=u(x) .
\end{array}
\]

Второе уравнение: (II-16) получено применением (II-10) к $\varepsilon_{1}$ и $u_{1}$ и (II-13) к $\varepsilon_{2}$ и $u_{2}$. Далее сразу получим
\[
\left.\begin{array}{l}
\varepsilon_{1}(x-c t)=\frac{1}{2} \varepsilon(x-c t)+\frac{\varrho_{0}}{2 c} u(x-c t) ; \\
u_{1}(x-c t)=\frac{c}{2 \varrho_{0}} \varepsilon(x-c t)+\frac{1}{2} u(x-c t) ; \\
\varepsilon_{2}(x+c t)=-\frac{1}{2} \varepsilon(x+c t)-\frac{\varrho_{0}}{2 c} u(x+c t) ; \\
u_{2}(x+c t)=-\frac{c}{2 \varrho_{0}} \varepsilon(x+c t)+\frac{1}{2} u(x+c t) .
\end{array}\right\}
\]

Нетрудно рассмотреть также отражение произвольного возмущения от неподвижной стенки. Для нахождения решения к распространяющемуся возмущению $\varepsilon_{1}(x-c t), u_{1}(x-c t)$ мы добавляем волну, как-будто приходящую с другой стороны стенки и распространяющуюся в обратном направлении, т. е. встречную волну $\varepsilon_{2}(x+\tilde{c} t), u_{2}(x+c t)$.

Вид функџии $\varepsilon_{2}$ определяется из условия непрониџаемости отражаюџей стенки $u=0$ при $x=x_{\text {ст, }}$, откуда
\[
u_{1}\left(x_{\mathrm{cr}}, t\right)+u_{2}\left(x_{\mathrm{cr}}, t\right)=0,
\]

применяя (II-10) и (II-13), найдем
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon_{2}\left(x_{\mathrm{cr}}, t\right)=\varepsilon_{1}\left(x_{\mathrm{cr}}, t\right), \\
\varepsilon_{2}(x, t)=\varepsilon_{2}(x+c t)=\varepsilon_{2}\left(x_{\mathrm{cr},}\left[t-\frac{x_{\mathrm{cr}}-x}{c}\right]\right)= \\
=\varepsilon_{1}\left(x_{\mathrm{cr}},\left[t-\frac{x_{\mathrm{cr}}-x}{c}\right]\right)=\varepsilon_{1}(x-c t)= \\
=\varepsilon_{1}\left(x, t-2 \frac{x_{\mathrm{cr}}-x}{c}\right), \\
u_{2}(x, t)=-u_{1}\left(x, t-2 \frac{x_{\mathrm{cr}}-x}{c}\right) .
\end{array}
\]
(II-20a)

Как и следовало ожидать, плотность и скорость в отраженной волне (индекс 2) в данной точке в данный момент зависят от значений плотности и скорости в падающей волне в этой точке в момент времени более ранний, причем интервал равен времени, необходимому для пробега от данной точки до отражающей поверхности и обратно со скоростью звука.

Превращение заданного в начальный момент произвольного распределения плотности и скорости в две волны, движущиеся в противоположных направлениях, и отражение одной из них от неподвижной стенки показаны на рис. 1; для примера выбрано начальное состояние, в котором в некоторой области создано повышенное давление, но вещество везде покоится.

Последовательный ряд рисунков $a_{0} \vec{b}_{0}, a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \ldots$ отвечает моментам $t=0, t=t_{1}, \ldots$ На графиках $a$ представлено мгновенное распределение плотности (ось абсдисс $Q=\varrho_{0}$ ), на графиках $b$ – распределение скорости (ось абсџисс $u=0$ ).

Теория распространения сферических волн в трехмерном пространстве почти так же проста, как и одномерная теория, суммированная в уравнениях (II-1) – (II-20). Место координаты $\boldsymbol{x}$ заступит теперь $r$ – радиус, т. е. расстояние, отсчитанное от џентра симметрии движения. Мы рассматриваем только сферически-симметричные движения, в которых каждая величина (скорость, плотность, давление) зависит только от времени и от расстояния $r$ от центра симметрии и постоянна на сфере радиуса $r$, т. е. не зависит от угла радиус-вектора, проведенного из центра симметрии, с координатными осями. Движение частиц газа совершается лишь по радиусам, проведен-

Рис. 1. Распространение и отражение прямоугольного импульса давления по одной координате в линейной акустике.
ным из центра симметрии. Благодаря әтому нам нет надобности пользоваться векторными обозначениями.
Уравнение сохранения вещества имеет вид ${ }^{1}$
\[
\frac{\partial \varepsilon}{\partial t}=-\frac{g_{0}}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} r^{2} u .
\]

Уравнение движения не меняется:
\[
\begin{aligned}
\varrho_{0} \frac{\partial u}{\partial t} & =-\frac{\partial p}{\partial r}=-\frac{\partial p}{\partial \varrho} \cdot \frac{\partial \varepsilon}{\partial r}= \\
& =-c^{2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial r} .
\end{aligned}
\]

Простыми преобразованиями найдем
\[
\frac{\partial^{2} \varepsilon}{\partial t^{2}}=\frac{c^{2}}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} \cdot r^{2} \frac{\partial \varepsilon}{\partial r} .
\]

В таком виде уравнение отличается от простого уравнения (II.5). Подставим
\[
\varepsilon=\frac{\eta}{r} .
\]

Тогда для функции $\eta$ получим после сокращений волновое уравнение одномерного движения
\[
\frac{\partial^{2} \eta}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial^{2} \eta}{\partial r^{2}}
\]

решения которого нам уже известны
\[
\eta=\eta_{1}(r-c t)+\eta_{2}(r+c t) .
\]
1 Поток вещества через сферическую поверхность радиуса $r$ равен $4 \pi r^{2} u$. Разность потоков вещества, прошедших через сферм радиуса $r$ и $r+d r$, представляет собой колпчество вещества, оставшеося в щаровом слое, объем которого равен $4 \pi r^{2} d r$, и меняет плотность заключенного в этом слое вещества.

Таким образом, общее решение для амплитуды изменения плотности в сферической волне имеет следующий вид:
\[
\varepsilon=\frac{\eta_{1}(r-c t)}{r}+\frac{\eta_{2}(r+c t)}{r} .
\]

Легко убедиться подстановкой выражения (II-27) в уравнение (II-23) в том, что оно удовлетворяет уравнению при произвольных функциях $\eta_{1}, \eta_{2}$. Первое важнейшее отличие сферических волн от плоских (т. е. одномерных, в которых все величины зависят только от одной координаты $x$, см. выше) заключается в том, что амплитуда волны при распространении от џентра падает обратно пропорџионально расстоянию от центра – см. (II-27); амплитуда волны, сходяџейся к џентру, растет по тому же закону. Падение амплитуды при удалении волны от центра естественно; выберем функцию $\eta_{1}$ такую, чтобы она была отлична от нуля только внутри определенного интервала изменения величины $r-c t, a \leqslant r-c t \leqslant b$. Это значит, что возмушено, охвачено волновым движением в каждый момент только вещество, находящееся в щаровом слое постоянной толшины $b-a, a+c t<r<a+c t+(b-a)$. По мере того как с ростом времени увеличивается $r$, количество вещества, вовлеченного в движение, растет пропорционально объему слоя, т. е. пропорџионально $r^{2}$.

Звуковая әнергия единиџы объема пропорџиональна квадрату амплитуды. Таким образом, при отсутствии поглощения (превращения энергии звука в тепловую) закон сохранения энергии приводит к условию $\varepsilon^{2} r^{2}=$ const, $\varepsilon \sim r^{-1}$, т. е. к уменьшению амплитуды по найденному выше закону.

Второе отличие сферических волн заключается в том, что простое выражение (II-27) имеет место для амплитуды изменения плотности и давления, но не для скорости. Давление и плотность связаны уравнением адиабаты Пуассона, что при малых амплитудах дает
\[
p-p_{0}=\frac{\partial p}{\partial \varrho}\left(\varrho-\varrho_{0}\right)=k \frac{p_{0}}{\varrho_{0}} \varepsilon=c^{2} \varepsilon,
\]

точно так же, как в плоской волне. Однако простая пропорџиональность скорости движения и плотности или давления не имеет места в случае сферических волн [ср. ф-лу (II-10)].

Подставим в (II-22) выражение плотности в сферической волне, бегуџей от џентра
\[
\varepsilon=\eta_{1}(r-c t) r .
\]

Найдем
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{c^{2}}{\varrho_{0}}\left(\frac{\eta_{1}^{\prime}(r-c t)}{r}-\frac{\eta_{1}(r-c t)}{r^{2}}\right), \\
u=\frac{c}{\varrho_{0}}\left(\frac{\eta_{1}(r-c t)}{r}-\frac{\int \eta_{1}(\xi) d \xi}{r^{2}}\right)=\frac{c}{\varrho_{0}}\left(\varepsilon-\frac{\zeta(r-c t)}{r^{2}}\right) .
\end{array}
\]

В выражении скорости появляется дополнительный член, нарушаюший простую пропорџиональность (II-10), которая имеет место в распространении плоской волны. Это обстоятельство приводит к важным последствиям, отмеченным впервые Стоксом.

Рассмотрим волну конечной ширины, бегушую в одном определенном направлении – в сторону роста координаты; после прохождения такой волны вещество снова возвращается к начальному значению плотности и покоится.

В случае плоской волны зависимость плотности от координаты внутри волны (внутри области, охваченной возмущением) не подчинена никаким ограничениям; благодаря простой связи (II-10) там, где возврашается к начальному значению плотность, скорость тождественно обращается в нуль.

Между тем, в сферическом случае условия $\varepsilon=0$ недостаточно: для того чтобы скорость обратилась в нуль после прохождения волны, необходимо обращение в нуль также второго члена в (II-28)
\[
\frac{\zeta(r-c t)}{r^{2}}=0 ; \quad \int \eta_{1}(\xi) d \xi=\int r \varepsilon d r=0 .
\]

Интеграл в (II-29) берется по всей іирине волны, т. е. по всей области, в которой $\varepsilon
eq 0$. В формуле (II-29) мы усматриваем, что в сферической волне конечной ширины изменение плотности обязательно должно быть знакопеременным: интеграл в (II-29) обратится в нуль лишь в том случае, если в одной части области интегрирования $\varepsilon$ положительно, а в другой – отрицательно. То же самое относится и к изменению давления в волне благодаря линейной связи малых изменений плотности и давления.

Как элементарно представить себе причины невозможности сферической волны конечной ширины, на всем протяжении которой вещество было бы сжато? Дополнительное количество вещества, 1 эаключенное в волне, равно $\int \varepsilon r^{2} d r$. Амшлитуда $\varepsilon$ падает как $r^{-1}$; таким обравом, дополнительное количество вешества
1 Сверх того количества, которое заключено в данном объеме при шевозмущенном значении плотности.

乙 волне, на всем протяжении которой $8>0$, росло бы пропорџионально $r$ по мере распространения. Растушее в проџессе распространения количество вещества в волне повышенной плотности и вызывает появление следующей за ней волны пониженной плотности.

Более подробное рассмотрение показывает, что у краев волны, т. е. там, где весьма малы одновременно $и$ и $\varepsilon$, величина $\zeta$ высшего порядка малости, так что связь $и$ и в в пределе у краев волны такая же, как в плоской волне. Наконеш, можно показать, что не только изменение плотности, но и скорость движения $u$ должна менять знак внутри волны: невозможна сферическая волна конечной ширины, на всем
Рис. 2. Распределение плотности и скорости в сферической волне.

протяжении которой вещество двигалось бы в сторону увеличения радиуса. Однако внутри волны точка изменения знака скорости несколько сдвинута в сторону центра симметрии по отношению к точке изменения знака \& (рис. 2).

Эти обстоятельства весьма важны для теории распространения волн, вызванных взрывом, которой мы займемся в последнем параграфе́ книги.

Для характеристики абсолютных значений давлений и скоростей, с которыми приходится иметь дело в акустике, приведем несколько џифр. Громкость звука измеряется в логарифмической шкале, в деџибеллах (по имени изобретателя телефона Грахама Белла). Увеличение громкости на $n$ дешибелл (сокраценно дб) означает увеличение интенсивности звужа в $10^{n / 10}$ раз, чему отвечает увеличение амплитуды давления, плотности и скорости в $10^{n / 20}$ раз. Ноль отвечает порогу чувствительности уха среднего человека. Шелест листьев, шопот имеют громкость $~ 10$ дб, оркестр фортиссимо $\sim 80$ дб (интенсивность звука в 10000000 раз больше). Сильнейший звук 130 дб создает в воздухе изменения плотности до $0.4 \%$, чему отвечает амплитуда давления $p-p_{0}=0.4 \% \cdot 1.4 p_{0}=0.56 \%, p_{0}=56$ мм водяного столба. Амплитуда скорости движения частиц воздуха достигает $0.4 \%$ от скорости звука, т. е. 1.3 м/сек. Амплитуда смеџения частиш составляет $x-x_{n}=\frac{\mu}{2 \pi} \cdot 0.4 \%=0.06 \% \quad \mu$, т. е. $0.06 \%$ длины волны звука $\mu$, около 0.036 см для звука частоты 500 герџ. Излучаемая энергия равна 0.1 ватт $/ \mathrm{cm}^{2}$. За 1 сек. звук проходит $330 \mathrm{~m}$, так что звуковая энергия единиџы объема при громкости 130 дб составляет $\frac{0.1}{330 \cdot 100}$ ватт.сек $/ \mathrm{cm}^{2} \cdot \mathbf{c м}=3 \cdot 10^{-6}$
Для сравнения укажем, что тепловая әнергия воздуха в нор-
Таким образом, не только шопот, но и фортиссимо оркестра и рев льва физически представляют лишь очень малое перемещение и изменение состояния воздуха.

Воспринимаемые человеческим ухом звуки имеют частоту между 20 и 20000 герд (колебаний в секунду), т. е. длину волны от $15 \mathrm{~m}$ до $1.5 \mathrm{~cm}$.
Скорость звука определена формулой (II-5a).
Исаак Ньютон в 1687 г. первый вычислил абсолютное значение скорости звука по известным уже в то время упругости и плотности воздуха и показал независимость скорости звука от его амплитуды и частоты. Принимая закон Бойля-Мариотта для связи давления и плотности $p v=\mathrm{const}, p=\frac{\text { const }}{v}=$ const $\varrho$ при $T=$ const, Ньютон нашел:
\[
c=\sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \varrho}\right)_{T}}=\sqrt{\frac{p}{\varrho}}=916 \frac{\text { Футов }}{\text { сек }}=280 \frac{\mathrm{M}}{\text { сек }} .
\]

Вскоре прямые измерения показали, что в действительности скорость звука в воздухе почти на $20 \%$ больше вычисленного Ньютоном значения. Объяснение этого расхождения дано $\mathrm{\Lambda}_{\mathrm{a}}$ пласом: в эвуковой волне сжатие и разрежение происходят адиабатически, следуя адиабате Пуассона. Нагревание при сжатии и охлаждение при расширении усиливают изменение давления в эвуковой волне, увеличивают ее скорость
\[
c^{2}=\left.\frac{\partial p}{\partial \varrho}\right|_{s}=\frac{\partial\left(A \varrho^{k}\right)}{\partial \varrho}=k \frac{p}{\varrho},
\]

где $k=\frac{c_{p}}{c_{v}}$.
Приведем таблиџу, составленную Ричардсом в 1939 г. [80], в которой сопоставлены әксериментально измеренные и вычисленные по изотермической и по адиабатической сжимаемости значения скорости звука (в метрах в секунду) в различных средах.

Прекрасные совпадения с формулой Капласа доказывают строгую адиабатичность изменения состояния в волне. Лаплас нашел из скорости звука отношение теплоемкости воздуха при постоянном давлении и при постоянном объеме. Манер приписал разницу между $c_{p}$ и $c_{0}$ воздуха работе, которую воз-

Таблида 1

дух производит, расширяясь при нагревании при постоянном давлении. Из этих соображений, по очень неточным әкспериментальным данным, Майер впервые подошел к установлению соотношения между механической работой и теплотой, к нахождению „механического эквивалента тепла“- этой численной основы закона сохранения энергии. Лишь впоследствии, под влиянием Майера, Джоуль прямыми опытами подтвердил превращение работы в тепло и нашел более точное значение эквивалента. Основываясь на измерениях скорости звука, Ренкин вычислил теплоемкость воздуха в 1850 г., на 3 года раньше точных измерений Реньо.

Особо следует отметить значительную разниџу между ивотермической и адиабатической скоростями звука в ряде жидкостей. В этом случае разность $c_{p}$ и $\boldsymbol{c}_{v}$ связана уже не с совершением внешней работы, а с увеличением внутренней әнергии, с преодолением сил сџепления между молекулами жидкости при тепловом расширении при постоянном давлении. ${ }^{2}$
$14^{\circ} \mathrm{C}$ – максимум плотности воды.
2 Соотношение $\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{S}=\frac{c_{p}}{c_{v}}\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{T}$ может быть вывөдено в общем виде из основных термодинамических соотношений для любой системы, отнюдь не только для идеального газа, в котором $c_{p}$ и $c_{v}$ зависят только от $T$ (см. Ландау и Лифшиц [15], стр. 48, задача). Прямое иямерение $\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{S}$ или $c_{v}$ в случае жидкости восьма затруднительно. Для расчета иопользуют термодинамическ е соотношение
\[
c_{p}-c_{v}=-T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}^{2} /\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{T}
\]
(там же, задачх № 11), откуда вытекает
\[
\left(\frac{\partial p}{\dot{\partial} v}\right)_{S}=\frac{c_{p}\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{T}^{2}}{c_{p}\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{T}+T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}^{2}} .
\]

Методика измерения скорости звука в настоящее время совсем не та, что во времена Лапласа. Современники $\Lambda_{\text {ап- }}$ ласа измеряли хронографом (или секундомером) время, за которое звук проходит известное расстояние в несколько километров. В настояшее время работают на коротких волнах строго определенной частоты, производимых обычно пьезокварцевым или магнито-стрикџионным излучателем звука. Частоту $\omega$ измеряют в әлектросхеме. При известной частоте скорость звука мы найдем, определяя длину волны $\mu$ в испытуемом вешестве по формуле $c=\mu \omega$.

Длину волны находят, помещая против излучателя пластинку, отражающую звук, и постепенно, например микрометрическим винтом, отодвигая ее от излучателя. Интенсивность звука достигает максимума каждый раз, когда на расстоянии между излучателем и отражателем укладывается уелое число полуволн. Одновременно достигает максимума и потребление энергии излучателем, регистрируемое электрическими приборами.

Весьма любопытна и важна для физико-химика подробно исследованная в последние годы причина, вызывающая завксимость скорости звука от частоты. Если звук распространяется в газе, в котором часть степеней свободы возбуждается медленнее других, так что теплоемкость газа зависит от того, с какой скоростью происходит изменение температуры, то нам приходится различать две предельные области. В первой области, при малых частотах колебаний, при сравнительно медленном изменении температуры, за время изменения состояния в акустической волне успевает установиться полное равновесие, все степени свободы возбуждаются, теплоемкость достигает своего максимального значения. Напротив, при достаточно быстром возбуждении, т. е. при большой частоте

Наконец, величина $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{0}$ может быть выражена через изотермическую сжимаемость и коэффиџиент теплового расширения – соотношением, общим для любых трех величин, связанных одиим уравнением – уравнением состояния $p=p(v, T)$, в данном случае
\[
\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_{p}\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_{T}=-1 .
\]
(Макс Планк, Термодинамика, гл. I), так что
\[
\left(\frac{d p}{\partial T}\right)_{v}=-\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{T}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p} .
\]

Связь между производными по плотности в (II-30, II-31) и производнымв по объему элементарна:
\[
\varrho=\frac{1}{v} ; \quad \frac{\partial p}{\partial \rho}=-v^{2} \frac{\partial p}{\partial \partial} .
\]

звука, те или иные внутренние степени свободы не успевают возбуждаться. Изменение состояния газа происходит так, как если бы его теплоемкость была меньше.
Напомним выражение скорости звука в газе:
\[
c^{2}=k \frac{p}{\varrho} ; \quad k=\frac{c_{p}}{c_{v}}=1+\frac{R}{c_{v}} .
\]

Из этого уравнения мы видим, что при максимальном значении теплоемкости показатель адиабаты $k$ принимает минимальное значение и соответственно мы получаем, минимальное значение скорости звука.

Таким образом, замедленное возбуждение внутренних степеней свободы или вообще какой-то части теплоемкости приводит к зависимости скорости звука от частоты, т. е. к дисперсии звука [50].

В случае углекислоты, молекула которой линейна (тра атома $O, C, O$ расположены в равновесии на одной прямой), теплоемкость при комнатной температуре $c_{v}$ равна $3.3 R$. Эта теплоемкость складывается из теплоемкости поступательной $1.5 R$, теплоемкости вращательной $R$ и теплоемкости колебательной $0.8 R$, где $R$ есть газовая постоянная $(R=1.985$ кал/град.моль).

Как показали измерения Кнезера [62], при изменении частоты в интервале от $10^{4} \frac{1}{\text { сек. }}$ (10 килогерџ) до $10^{6} \frac{1}{\text { сек. }}(1000$ килогерџ) скорость звука меняется от значения 260 м/сек до значения 270 м/сек, приблизительно на $4 \%$ в соответствии с изменением теплоемкости $C_{0}$ от $3.3 R$ до $2.5 R$ и изменением $k$ от 1.3 до 1.4. Из этих измерений следует, что время установления равновесия возбуждения колебаний молекулы $\mathrm{CO}_{2}$ равно $10^{-5}$ сек. В среднем колебание возбуждается при одном из 600000 столкновений, колеблюшаяся молекула отдает свою энергию в одном из 50000 столкновений с другими молекулами. ${ }^{1}$

Совершенно аналогичные явления будут происходить в системе, в которой добавочная теплоемкость, возбуждаемая сравнительно медленно, обязана наличию тех или иных обратимых химических реакдий.

Примером такой системы является двуокись азота, находяшаяся при комнатной температуре в равновесии с четырехокисью азота
\[
2 \mathrm{NO}_{2} \rightleftarrows \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4} \text {. }
\]

В этом слугае, если время сжатия превышает время протекания обратимой реакџии, мы должны учитывать „химическую теплоемкость\”, возникающую от смещения равновесия и выделения или поглощения тетлоты реакџии с изменением давления и температуры. При большой частоте, наоборот, равно-
1 Позднейшие измерения Вальмана [126] дали втрое меньшее число ударов.

весие „замсрзает“, система ведет себя как смесь нереагирующих газов, если превращение $\mathrm{NO}_{2}$ в $\mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4}$ не успевает произойти за период колебания. Именно применительно к такого рода системам теория дисперсии звука была впервые развита Альбертом Эйнштейном в 1920 г. [50].

Рис. 3. Круговой проџесс в газе с замедленным возбуждением части теплоемкости. Плодадь $A B C A^{\prime}$ определяет потери энергии.
Одновременно с дисперсией звука, т. е. с зависимостью скорости звука от частоты, имеет место и значительное нарастание поглощения звука.
Механизм поглощения звука в этом случае легко уяснить, рассматривая поотекание расширения и сжатия в $p, v$ плоскости (рис. 3). Через исходную точку $A$ проводим две адиабаты: $B A B^{\prime}$ и $C A C^{\prime}$. Первая отвечает быстрым изменениям состояния при замороженной части теплоемкости, вторая – медленным равновесным проџессам. Если мы быстро сожмем газ, он перейдет в состояние $B$. Выдерживая при постоянном объеме время, достаточное для возбуждения всей теплоемкости, мы перейдем в точку C. При быстром расширении мы пройдем по линии $C A^{\prime}$, параллельной $B A$, и лишь при выдерживании в течение достаточного времени снова попадем в исходную точку. Описанная площадь $A B C A^{\prime}$ изображает работу, которая в таком цикле необратимо затрачена и перешла в тепло. ${ }^{\text {‘ }}$ абота эта пропорџиональна квадрату амплитуды. Мы рассматривали упрощенный џикл, составленный из быстрых изменений состояния с длительным выдерживанием в промежутке. Изменение со-
Рис. 4. Изменение состояния при колебаниях газа с замедленным возбуждением части теплоемкости.
Колебания различной частоты: 1 – низкая частота; 2-высокая частота; 3 – средняя частота, пернод колебаний порядка времени позбуждения гепхоемкости. Плоџады эллипса и потери ва один динисл максимельня цри средней частоте.
1 Для того чтобы вернуться в точности в точку $A$, это тепло следует отобрать на отрезке $B C$ или $A^{\prime} A$. Однако отобранное ва цивл тепло и соответственно смещение начальной точки при отсутствии отбора теплавысщего порядка малости по сравнению со смещениями $A B, A A^{\prime}, A C, B C$ на рис. 3. В тексте и на рис. 3 мы пренебрегли им. стояния в синусоидальной звуковой волне при замедленном возбуждении внутренних степеней свободы описывается әллипсами в $p, v$ плоскости. Џентр эллипсов находится в точке, описывающей невозмущенное состояние. На рис. 4 представлены 3 таких эллипса. Эллипс 1 отвечает малой частоте, медленным колебаниям. Авижение близко в адиабате $C A C^{\prime}$ (ср. с рис. 3). Ширина эллипса, характеризующая максимальное отклонение от равновееия, пропорџиональна скорости изменения состояния, т. е. пропорџиональна частоте $\omega$. Следовательно, пропорџиональна $\omega$ и плоџадь эллипса; а также доля энергии, необратимо переходящая в тепло ва одно колебание, так что пропорџионально $\omega$ и поглощение звука на расстоянии, равном длине волны $\mu$. Здесь поведение вешества может быть описано вторым коэффиџиентом вязкости (§ I, Приложение). При этом поглощение звука, отнесенное к единиџе времени или единиџе длины, оказывается пропорџиональным $\omega^{2}$, так как время колебания и длина волны пропоруиональны $1 / \omega$.

Во втором предельном случае весьма быстрых колебаний мы получаем әллипс 2; энергия внутренних степеней свободы успевает измениться лишь на очень малую величину, весь эллипс очень близок к адиабате $B A B^{\prime}$. Ширина әллипса пропорџиональна амплитуде изменения энергии внутренних степеней свободы, которая в свою очередь пропорџиональна времени, в течение которого происходит накопление этой энергии, т. е. пропорциональна периоду колебаний, пропорџиональна $\omega^{-1}$.

Наибольшее поглощение энергии за время одного колебания достигается при колебаниях, период которых близок к времени установления равновесия, т. е. там, где наиболее велика дисперсия скорости звука. На рис. 4 өтот случай изображен эллипсом 3 , ширина которого – порядка расстояния между адиабатами $B A B^{\prime}$ и $C A C^{\prime}$ при максимальной амплитуде давления. При более медленных колебаниях изменение состояния приближается к равновесному, и потери за џикл падают, как $\omega$. При более быстрых колебания система почти все время находится вдали от равновесия, возбуждение внутренней әнергии происходит весьма необратимо, но вследствие быстроты џикла оно проходит за цикл лишь в малой мере, потери за пикл $\sim \omega^{-1}$.

Отнесенные к единице времени потери во второй области (при больших частотах) стремятся $\mathrm{k}$ постоянной величине. Если теплоемкость внутренних степеней свободы того же порядка величины, что и полная теплоемкость, интенсивность звука затухнет до $1 / e$ за время порядка времени возбуждения внутренних степеней свободы $\tau$.

Максимум поглощения и поведение вешества при этих больших частотах во второй области, где $\omega>\frac{1}{t}$, не могут быть описаны вторым коәффиџиентом вязкости и требуют конкретных представлений о наличии и свойствах внутренних степеней свободы. В последние годы накоплен обширный материал по вопросам дисперсии и поглощения звука; здесь мы можем только сослаться на упомянутый выше подробный обзор Ричардса [80].

В системе, в которой нет явления замедленного возбуждения внутренних степеней свободы, основными причинами поглошения звука являются вязкость и теплопроводность вещества. Коэффиџиент поглощения на одной длине волны (за время одного колебания) пропорџионален частоте и обратно пропорџионален длине волны $\mu$. В случае газа он приближается по порядку величины к 1 , когда длина волны приближается к длине пробега молекулы в газе $l$, так что его можно выразить как $l / \mu$. Последнее выражение может быть получено из точных формул, выведенных Стоксом [90,91] и Кирхгоффом [61], если подставить в них молекулярно-кинетическое выражение вязкости (I-9) и теплопроводности газа. Невозможность распоостранения звука с длиной волны, меньшей длины свободного пробега, очевидна.

Действие теплопроводности на распространение звука можно уяснить, рассматривая в $p, v$ плоскости адиабату и изотерму так же, как мы рассматривали только что две адиабаты (с возбуждением и без возбуждения внутренних степеней свободы). Если сжатие происходит быстро, так что теплообмен не успевает произойти, изменение состояния происходит адиабатически; при медленных колебаниях мы можем ожидать изотермического изменения состояния; переход будет сопровождаться дисперсией (завнсимостью скорости от частоты) и поглошением звука.

Сказанное относится к случаю теплообмена с внешней средой, наприме $\rho$, при распространении звука по стержню или по газу, заключенному в трубку с теплопроводными стенками. Если речь идет о теплообмене в синусогдальной волне, распространяющейся в неограниченной среде, между участками, где вещество сжато и нагрето, и местами разрежения, сопровождающегося охлаждением, то следует учесть, что с временем сжатия и расширения (периодом колебания) связана тождественно длина волны.

Время выравнивания синусоидального распределения температуры пропоруионально квадрату расстояния, квадрату длины волны, т. е. квадрату времени сжатия. Отсюда получается кажущийся парадоксальным вывод, что роль теплообмена тем больше, чем быстрее происходит сжатие, так как при ускорении сжатия в $n$ раз теплообмен ускоряется еше сильнее, в $n^{2}$ раз, и становится более существенным, чем при медленном сжатии.
В газах невозможно наблюдать переход к изотермическому распространению звука; этот переход произошел бы при длине волны порядка длины свободного пробега, где распространение звука уже невозможно; к тому же в газах вязкость всегда оказывает влияние более сильное, нежели теплопроводность.

Согласно последним работам Зинера (100), выравнивание термоэластических разностей температур и переход к изотермическому распространению представляет важнейший механизм поглощения звука в металлах, обладающих очень большой электронной теплопроводностью. Вследствие зависимости термоәластических свойств от ориентации кристалла, в поликристаллическом материале возникают дополнительные потери.

Любопытно, что при отражении звука, распространяющегося по газу, от твердой стенки, возникаюџие градиенты температуры и скорости значительно больше, чем в синусоидальной волне, распространяющейся в безграничном пространстве, отношение тем больше, чем меньше вязкость и теплопроводность, так как при уменьшении $\eta$ и $\lambda$ уменьшается глубина проникновения в газ созданного стенкой возмущения. Развивая эти представления, Б. П. Константинов показал, что поглощение звука при однократном отражении от стенки порядка $\sqrt{l / \mu}$ (напоминаем, что $l$ – длина пробега молекул, $\mu$-длина волны звука), т. е. на порядки величины больше поглощения на длине волиы при распространении в безграничном пространстве [13].

Отметим, наконед, своеобразные трудности, возникающие в теории звука при попытке рассмотреть второе приближение и не пренебрегать сжатием в волне по сравнению с начальной плотностью, не пренебрегать массовой скоростью движения вещества по сравнению со скоростью распространения звука.

В этом случае оказывается, что гребни волн, т. е. места, где плотность максимальна, распространяются быстрее впадин, т. е. мест, где имеется разрежение. Более быстрое распространение происходит по двум причинам. Во-первых, в сжатом газе скорость звука больше, так как выше температура сжатого газа. Во-вторых, сжатый газ имеет еше и массовое движение, направленное в ту же сторону, в которую направлено распространение; скорость этого движения нужно прибавить к скорости распространения звука. Эта трудность, которая в неявном виде содержится еще у Пуассона [75], впервые была отмечена в применении к вопросу о распространении звука Стоксом [92].

Нетрудно видеть (рис. 5), что распространяющаяся синусоидальная звуковая волна (a) должна будет в результате непрерывно менять свою форму.

Участки подъема давления будут становиться все короче и круче, а области паденя давления, наоборот, будут растягиваться (б). ${ }^{1}$ Формулы акустики второго приближения приводят с течением времени к бессмысленной форме волны (в), при которой в одной точке одновременно имеют место три значения плотности и павхения.
Рис. 5. Деформауия синусоидальной звуковой волны по меро распространения.
а – синусоидамьная волна; 6 – деформированная волна, содержит обертоны; в – уравнения или скорости в одной точке; в действительности в но волниквет, образуютея ударвые волим, необходим учет диесипатияных сил.
Анализ этой трудности привел $\rho_{\text {имана [81] и }}$ ренкина [78] к далеко идущим выводам (см. § VII и дальше).