Очень удобным подспорьем для простого и наглядного разбора теории ударных волн является представление процессов и состояний на диаграмме, в которой по оси абсдисс отложен удельный объем $v$, по оси ординат-давление $p$. Уже указывалось, что каждому заданию начальной точки (точка $A, p_{1}, v_{1}$ на рис. 27) отвечает одна определенная кривая Гюгонио. Покажем на рис. 27 , как на графике найти скорость распространения ударной волны. Используем формулу, которая давала нам скорость ударной волны в функџии давлений, и удельных объемов до и после сжатия:
\[
D^{2}=u_{1}^{2}=v_{1}^{2} \frac{p_{2}-p_{1}}{v_{1}-v_{2}} .
\]

Для данного исходного состояния вещества $p_{1}, v_{1}$, множитель перед дробью $v_{1}{ }^{2}$ есть постоянная величина, и скорости распространения ударных волн, отвечающих различным степеням сжатия, различным конечным состояниям, зависят от отношения $p_{2}-p_{1} / v_{2}-v_{1}$, т. е. от тангенса угла наклона соответствуюших прямых, соединяющих начальную точку $p_{1}, v_{1}$ с точками, изображаюшими состояние после сжатия $p_{2}, v_{2}$. Так, из рисунка непосредственно ясно, что точка $C$, отвечающая большему давлению, чем точка $B$, отвечает ударной волне, распространяющейся с большей скоростью, ибо угол наклона
Рис, 27. Скорость распространения ударной волны определяетея наклоном хорды, например, $A C, A B, A E ;$ скорость звука – наклоном касательной. прямой $A C$ больше угла наклона прямой $A B$. Весьма сушественно, что выражение (X[-1) выведено нами как следствие только первых двух уравнений – уравнения сохранения вещества и уравнения сохранения количества движения, независимо от уравнения сохранения энергии. Поәтому оно будет верным во всех случаях, когда не нарушается уравнение сохранения количества движения, т. е. когда нет внешних сил типа трения газа о стенки. Во всех атих случаях, в частности и при наличии химической реакџии или при наличии внешних источников тепла и подачи энергии извне, меняющих только уравнение энергии, но не уравнение количества движения, соотношение между плотностью и давлением в начальном и конечным состояниях и скоростью распространения остается в силе. В частности, выражение (XI-1) относится и к скорости распространения детонаџии по взрывчатым газовым смесям $[8,59,60]$.

Особенно следует отметить, что уравнение XI-I получается в результате составления уравнений сохранения вещества и количества движения только для начального и конечного состояния газа в волне. Использование прямых $A C$ или $A B$ для расчета скорости вовсе не обозначает предположения жаются точками этих прямых.

В случае, если нас интересует промежуточное состояние, через которое проходит сжатие внутри тонкого фронта ударной волны или внутри фронта детонајионной волны или иной волны, распространяющейся стадионарно по газу, то наряду с внешними силами, могущими нарушить закон сохранения количества движения, – необходимо учитывать также возможные действия внутренних сил вязкости газа, выпадающие при сопоставлении начального и конечного состояний. Если по тем или иным причинам можно пренебречь действием вязкости, действием внутреннего трения, наше уравнение ( $\mathrm{XI}-1$ ) может быть применено ко всем промежуточным состояниям, которые проходит вешество на пути от начального состояния к своему конечному состоянию. Именно так обстоит дело в детонаџионной волне, где ширина волны зависит от скорости химической реакции и, вообще говоря, довольно значительна, вследствие чего действие сил вязкости невелико. Подробное обсуждение вопроса и полная библиография находятся в работе автора [8] [103].

На рис. 27 легко найти также графическое изображение скорости звука. Мы получим распространение звука как предельный случай распространения весьма слабых ударных волн. Таким образом, скорость распространения звука на диаграмме рис. 27 будет дана предельным положением наклона секущей, когда вторая точка, изображающая конечное состояние вещества, подойдет на бесконечно малое расстояние $к$ первой точке, т. е. наклоном касательной к адиабате Гюгонио в точке, изображающей начальное состояние рассматриваемого вещества.

Сопоставляя выражение (XI-1) при малом $p_{2}$ – $p_{1}$ с выражением скорости звука $c^{2}=-\left.v^{2} \frac{\partial p}{\partial v}\right|_{s}$, мы заключаем, что в начальной точке $A$ адиабата Гюгонио касается линии постоянной өнтропии (адиабаты Пуассонс).

Из рисунка непосредственно видно, что для идеального газа с постоянной теплоемкостью, для которого адиабата Гюгонио имеет вид, изображенный на рис. 27 , скорость распространения ударной волны больше скорости распространения звука в исходном газе $D=u_{1}>c_{1}$. В пределе, неограниченно увеличивая давление ударной волны, мы можем получить сколь угодно большую скорость распространения ударной волны. Напротив, для волны разрежения, в которой конечное состояние $E$ на рис. 27 лежит ниже начального состояния, мы получили бы скорость распространения, меньшую скорости ввука. Проводя в конечном состоянии сжатого газа в ударной волне, например в точке $B$, адиабату Пуассона или же касаюшуюся ее в этой точке адиабату Гюгонио, мы можем таким же способом разобрать соотношение между скоростью ударной волны и скоростью звука в сжатом газе. Для скорости распространения волны относительно сжатого газа имеем:
\[
u_{2}^{2}=(D-u)^{2}=v_{2}^{2} \frac{p_{1}-p_{2}}{v_{2}-v_{1}},
\]

выражение совершенно симметричное выражению для скорости волны относительно исходного газа. На рис. 28 через точку $B$
проведена адиабата Гюгонио $H_{B}$, для которой состояние $B$ принято за начальное; по симметрии уравнений, если $B$ лежит на $H_{A}$, то $H_{B}$ проходит через точку $A$ (см. Ф-лы IX-10, 11). ${ }^{1}$ В точке $B$ кривая $H_{B}$ касается адиабаты Пуассона. Из расположения на рис. 28 линий $H_{B}$ и прямой $B A$ следует, что $c_{2}>u_{2}=D-u$, сксрость звука в газе, сжатом волной, превышает скорость волны относительно сжатого газа.

Рис. 28. Соотношение скорости распространения водны относительно исходного состояния $A$ и скорости звука в состоянии $A$ даютея отношением наклона хорды $A B$ и касат ельной к кривой $H_{A}$ в точке $A$. Соотношение скорости волны относительно сжатого вощества в состоянии $B$ и скорости звука в состоянии $B$ дается отношением наклона $A B$ и касательной к кривой $H_{B}$ в точке $B$. Прямое сравнение скоростей относитольно разных состояний недопустимо, так как коөффипиент, входящий при переходе от наклона к скорости, зависит от удельного объема $v$.
Рис. 29. Рост энтропии при сжатии в ударной водне $A B$ sависит от внака и величииы площади $A F B C P A$; $A H B$ – адиабата Гюгонио; $A P C-$ адиабата Пуассона.
В $p v$-диаграмме может быть разобран вопрос о росте энтропии в ударной волне. Сопоставим выражение для изменения внутренней әнергии газа в ударной волне с общим термодинамическим выражением дифференциала энергии. В ударной волне
\[
\begin{aligned}
& \Delta E=E_{2}-E_{1}= \\
= & \frac{p_{1}+p_{2}}{2}\left(v_{1}-v_{2}\right) . \quad(\mathrm{XI}-3)^{2}
\end{aligned}
\]

Между тем в общем виде $d E=T d S-p d v$. Вдоль адиабаты Пуассона (изэнтропы) мы имели бы при изменении объема
${ }^{1} H_{A}$ и $H_{B}$ сокращенные наименования кривых – адиабат Гюгонио (Hugoniot), для которых указанная индексом точка ( $A, B$; является начальной. 2 Уравевие (XI-3) получается из (VIII-6), если от плотности перейти к удельному объему.

в тех же предомах
\[
\left\{\begin{array}{l}
d S=0 \\
E_{2}{ }^{\prime \prime}-E_{1}=\Delta^{\prime} E=-\int_{t_{1}}^{v_{2}} p d v .
\end{array}\right.
\]
(XI-4)

Сопоставляя выражение для изменения энергии вдоль адиабаты Пуассона ( $P$ ) с выражением для изменения әнергии при ударном сжатии по адиабате Гюгонио $(H)$, мы получим уравнение для величины $\Delta S$ изменения энтропии при ударном сжатии:
\[
\bar{T} \Delta S=\frac{p_{1}+p_{2}}{2}\left(v_{1}-v_{2}\right)-\int_{v_{2}}^{v_{1}} p d v . \quad \text { (XI-5) }
\]

Интегралы (XI-4) и (XI-5) берутся вдоль адиабаты Пуассонарассмотрим соотношение двух членов последней формулы на подробном рис. 29.
$\mathrm{Ha}$ этом рисунке $A P C$ есть адиабата (изәнтропа) Пуассона, $A H B$ – адиабата Гюгонио, изменение энтропии при сжатии ударной волной равно $S_{B}-S_{A}=S_{B}-S_{C}$ и, согласно формуле (XI-5), зависит от разности площади трапеџии $A F B N M$ и плоџади, ограниченной адиабатой Пуассона $A P C N M$. Произведение абсолютной температуры ${ }^{1}$ на приращение энтропии равно разности этих площадей, т. е. плоџади фигуры $A P C B F$.

Разобьем эту площадь на две части прямой $A C$. Первая часть-сегмент, крайние точки которого $A$ и $C$ замкнуты отрезком $A P C$ адиабаты Пуассона и хордой $A C$, вторая часть-треугольник $A B C$.

Запишем уравнение в следующем виде, обозначая $F$ площадь фигур:
\[
\bar{T} \Delta S=F_{\text {ceru }}^{A P C}+F_{\mathrm{rpeyr}} \Delta B C .
\]

Площадь треугольника легко найти: примем отрезок $B C$ за основание, тогда высота равна $v_{1}-v_{2}$. Длина отрезка $B C$ в $p, \boldsymbol{v}$ плоскости равна $\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{0} \Delta S$, и площадь треугольника
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{0}\left(v_{1}-v_{2}\right) \Delta S .
\]
${ }^{1}$ Значение $\bar{T}$ в формуле (XI-5) заключено между $T_{C}$ и $T_{B}$. Для доказательства перейдем из состояния $A$ в $B$ (рис. 29) изэнтропическим сжатием $(A C)$ и последующим нагреванием сжатого газа в постоянном объеме (CB).

Подставляя в исходное уравнение, найдем:
\[
\begin{array}{c}
\bar{T} \Delta S=F_{\text {cer }}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{v}\left(v_{1}-v_{2}\right) \Delta S, \\
\Delta S=\frac{F_{\text {cer }}}{\bar{T}-a},
\end{array}
\]

где $a=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_{0}\left(v_{1}-v_{2}\right)$.
При малых изменениях объема практически $T \Delta S=F_{\text {сетм }}$, поправка на плошадь треугольника мала. Если $\Delta S \sim\left(v_{1}-v_{2}\right)^{n}$, то площадь треугольника $\sim \Delta S\left(v_{1}-v_{2}\right) \sim\left(v_{1}-v_{2}\right)^{n+1}$ высшего порядка малости по сравнению с $\Delta S$ и, следовательно, высшего порядка малости по сравнению с площадью сегмента.

Следовательно, знак изменения энтропии полностью определяется знаком площади сегмента, т. е. взаимным расположением адиабаты Пуассона и ее секущей, которое, в свою очередь, зависит от выпуклости или вогнутости адиабаты Пуассона, т. е. от знака второй производной $\left(\frac{\partial^{2} p}{\partial v^{2}}\right)_{S}$. Если а приближается к $\overparen{T}$, то $\Delta S \rightarrow \infty$, что действительно имеет место в идеальном газе при $v_{2} \rightarrow \frac{k-1}{k+1} v_{1}$, когда на адиабате Гюгонио $p \rightarrow \infty ; \bar{T}<a$ отвечает отрицательному давлению и тому подобным, не имеющим в данном случае никакого физического смысла, условиям.

Для слабых волн легко найти теперь предельные яаконы изменения энтропии в ударной волне. Произведем расчет, разлагая все выражения в ряд по степеням $\Delta v=v-v_{1}$ и оставляя везде только старший член, дающий отличный от нуля конечный результат.
Уравнек ие адиабаты Пуассона
\[
p=p_{1}+\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{s, 1} \cdot \Delta v+\left(\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} p}{\partial v^{2}}\right)_{S, 1} \cdot(\Delta v)^{2} .
\]

Второй индекс указывает, что значения производных взяты в состоянии 7 (точке $A$ рис. 29).

Обозначая $\Delta v_{2}=v_{2}-v_{1}=\omega$, найдем ${ }^{1}$ давление $p_{2}^{\prime}$ в точке $C$ (рис. 29), опуская индексы у производных:
\[
p_{2}{ }^{\prime}=p_{1}+\frac{\partial p}{\partial v} \omega+\frac{1}{2}{ }_{\partial 2}^{\partial v^{2}} \omega^{2} .
\]

Составим выражение изменения энтропии, пренебрегая площадью треугольника $A B C$ в (XI-5, 6, 7):
${ }^{1}$ Отметим, что $v_{2}<v_{1}$, так что $\omega<0$.

\[
\begin{array}{c}
\bar{T} \Delta S=\frac{p_{1}+p_{2}^{\prime}}{2}(-\omega)-\int_{\omega}^{0} p d \Delta v=-\frac{1}{12}\left(\frac{\partial^{2} p}{\partial v^{2}}\right)_{S} \omega^{3}= \\
=\frac{1}{12} \frac{\partial^{2} p}{\partial v^{2}}\left(v_{1}-\boldsymbol{v}_{2}\right)^{3} .
\end{array}
\]

Сопоставляя уравнение адиабаты Гюгонио в форме
\[
I_{2}-I_{1}=\left(\frac{v_{2}+v_{1}}{2}\right)\left(p_{2}-p_{1}\right)
\]
(XI-12)
с выражением $d I=T d S+v d p$, мы можем во всех предыдуших рассуждениях переставить $p$ и $v$. При этом мы получим результат: ${ }^{1}$
\[
\bar{T} \Delta S=\frac{1}{12} \frac{\partial^{2} v}{\partial p^{2}}\left(p_{2}-p_{1}\right)^{3}=\frac{1}{12} \frac{\partial^{2} p}{\partial v^{2}}\left(-\frac{\partial p}{\partial v}\right)^{3}\left(p_{2}-p_{1}\right)^{3} .
\]

В слабой ударной волне изменение энтропии пропорџионально кубу амплитуды. В начальной точке адиабата Гюгонио касается адиабаты Пуассона; в этой точке кривые имеют обшую касательную и общий центр кривизны (касание второго порядка); касание сопровождается пересечением (см. продолжение кривых при $v>v_{1}$ на рис. 29).

Более сложным путем, не прибегая к геометрической трактовке, эти результаты впервые получил Жуге [58]. Так как более полная работа Жуге опубликована ранее сообщения Џемплена [99] (во второй эаметке в 142-м томе Џемплен отмечает, что ему следовало бы џитировать Жуге), принятый обычай называть доказательство невоэможности разрывных волн разрежения \”теоремой Џемплена“ совершенно несправедлив. Рассматривая (XI-11), мы устанавливаем, что для идеального газа адиабата Пуассона, везде выпуклая ${ }^{2}$ к оси абсдисс, приводит к тому, что энтропия растет в ударной волне сжатия; напротив, в резкой волне разрежения, к которой были бы применимы уравнения сохранения, әнтропия падала бы, откуда сразу видна невозможность распространения в идеальном газе волны разрежения с тонким фронтом, подобной ударной волне сжатия.
${ }^{1}$ Может быть, стоит еше раз отметить, что расчет площади трапедии, ограниченной прямой $A F \vec{B}$ (рис. 29), основан ва выражении адиабаты Гюгонио, следуюшем из законов сохранения, приложенных к состоянию до и после волны. Этот расчет ни в какой связи не находится с вопросом о форме линни, по которой в действительности меняется состояние в волне (cм. § XII).
2 Нузен невероятно быстрый рост теплоөмкости для того, чтобы за счет падения $k=c_{p} / c_{v}$ абсолютная величина $\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{S}=-k \frac{p}{v}$ падала с ростом температуры.

Для слабых волн из рис. 29 мы можем в совершенно общем виде, т.е. дхя произвольного уравнения состояния вещества, сделать заключение о соотношении между скоростью распространения ударной волны и скоростью звука в вешестве до и после сжатия. Для того чтобы сжатие распространялось по газу в форме ударной волны с весьма крутым фронтом, необходимо, чтобы адиабата Пуассона имела выпуклость книву, т. е. имела вид, изображенный на рис. 29. Однако в этом случае геометрически ясно, что наклон касательной к адиа-

Рис. 30. Адиабата Пуассона с отрезком с аномальной выпуклостью вверх. На этом отрезке возможны ударные волны разрежения. бате в точке $A$ должен быть меньше наклона секущей $A B$. Напротив, наклон касательной в точке $B$, изображающей конечное состояние, или наклон касательной в весьма близкой к $B$ (с точностью до величин третьего порядка) точке $C$ больше наклона секушей. ${ }^{1} \mathrm{Ta}$ ким образом, мы получаем элементарный вывод найденного впервые Жуге соотношения, согласно которому сжатие распространяется в виде ударной волны, если скорость звука до сжатия меньше скорости распространения ударной волны, найденной из законов сохранения, а скорость звука в веществе после сжатия больше скорости ударной волны относительно сжатого вещества. ${ }^{2} \mathrm{~B}$ случае адиабаты Пуассона, имеющей обратную вогнутость (рис. 30, участок $A B$ ) сжатие в ударной волне сопровождалось бы падением әнтропии, ибо ограниченная адиабатой Пуассона площадь больше площади, ограниченной секущей, вертикалями и осью абсцисс. В веществе, в котором адиабаты Пуассона имеют обратный знак вогну-
1 Иэменение величивы $\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{S}$, от которой зависит скорость звука при переходе от $A$ к $C$ или от $A$ к $B$, – первого порядка в $v_{1}-v_{2}$; изменение $\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{S}$ при переходе от $C$ к $B$-третьего порядка.
2 Величины $D, c_{1}$ и с $c_{2}$ при малой амплитуде отличаются на величину, пропордиональную амплитуде. Скорость двихения и также провордиональна амплитуде. С точностью до величин, пропорџиональных квадрату амплитуды, скорость ударной волны равна сееднему арифметическому скорости эвука в начальном состоянии $c_{1}$ и скорости распространения воямущения в паправлении волны в сжатом, движущемся газе $c_{2}-u$ :
\[
D=\frac{c_{1}+c_{2}+u}{2} .
\]

тости, волны сжатия не будут более резкими. Вызванное в какой-нибудь части вещества, например, движением поршня, сжатие будет распространяться волной, постепенно расширяющейся наподобие волн разрежения в идеальном газе, разобранных нами ранее. Напротив, в таком веществе волна разрежения будет распространяться с чрезвычайно крутым фронтом, крутизна которого не будет уменьшаться со временем и будет определяться малыми значениями теплопроводности и вявкости. Этому соответствует обратное соотношение между скоростью ударной волны и скоростью звука. Действительно, в распространяющейся волне разрежения, в которой исходное состояние представлено точкой $A$, а конечное состояние вещества представлено точкой $B$ (рис. 30), скорость распространения волны разрежения $A B$ относительно вешества в состоянии $A$ определяется наклоном прямой $A B$ и превышает скорость звука в состоянии $A$, что видно из характера пересечения адиабаты и секушей в точке $A$, где касательная к адиабате Пуассона идет более полого, чем прямая $A B$. Напротив, в точке $B$, описывающей состояние вещества после прохождения крутой волны разрежения, скорость звука превышает скорость распространения конечного возмущения.

Сушествуют ли в природе вешества, у которых, хотя бы в какой-нибудь части $p$, $v$ плоскости, адиабаты Пуассона имеют выпуклость, направленную вверх? Мы можем ожидать появления таких состояний вблизи критической точки жидкость – газ. Действительно, еще эадолго до критической точки изотермы имеют перегиб (в самой критической точке перегиб изотермы становится к тому же горизонтальным); для вещества с достаточно большой молекулярной теплоемкостью, у которого изотермы и адиабаты отличаются достаточно мало, мы можем ожидать, что вне области двухфазных систем, в состоянии, в котором вещество совершенно устойчиво находится в виде одной фазы, у адиабаты также получится обратный знак второй производной. Соотношение между структурой волны сжатия и волны разрежения станет обратным по сравнению с соотношением между резкой ударной волной сжатия и размытой волной разрежения в обычных газах вдали от критической точки.

На рис. 31 в плоскости $p, v$ для случая $c_{\circ}=40$ кал./град. моль проведена линия II, отделяющая область с $\left(\frac{\partial^{2} p}{\partial v^{2}}\right)_{s}<0$, адиабата, проходящая через әту область, и линия I, отделяющая заштрихованную область двухфазных систем (последняя не зависит от величины $c_{\vartheta}$ ). Вычисления проделаны при участии инж. Ф. Е. Юдина (лаборатория горения ИХФ).

В уравнении Ван-дер-Ваальса теплоемкость при постоянном объеме зависит только от температуры, во всей области однофазных свстем; энергия однородного вещества, подчиняющегося уравнению ван-дер-Ваальса, может быть представлена в виде суммы двух членов:
\[
E=E_{1}(T)+E_{2}(v)=\int c_{v} d T-\frac{a}{v} .
\]

Это обстоятельство существенно облегчает расчеты, так как энтропию ван-дер-ваальсовского газа также удается пред-
Рис. 31. Адиабаты с аномальной выдуклостью в ван-дер-ваальсовом газе с топлоемкостью $c_{a}=40$. Заштрихована область двухфазных систем; крпвая II ограннчивает область состояний с аномальной выпуклостъю адиабат. Под кривой $I I\left(\frac{\partial^{2} p}{\partial v^{2}}\right)_{S}<0$.

ставить в виде суммы функции температуры и функции удельного объема. Весьма интересно было бы исследовать экспериментально удармые волны и волны разрежения в газе с большой теплоемкостью в той области, где можно ожидать указанных выше аномалий. Дяя этой уели можно взять вџсокомолекулярное органическое соединение, при том такое, которое еше не разлагается при критической температуре.

Установление в общем виде связи между скоростью звука в веществе до и после прохождения ударной волны и изменением энтропии в ударной волне существенно и доставляет большое удовлетворение, так как ясно (см. замечание Томсона, џитированное в статье Ренкина [78]), что соотноление между скоростью ударной волны и скоростью звука определяет механическую устойчивость волны. Необходимо, чтобы ударная волна распространялась со скоростью, превышающей скорость звука в газе, подвергающемся ее действию, для того чтобы вызываемое ударной волной возмушение не ушло вперед со скоростью, равной скорости звука. Необходимо, чтобы ударная волна распространялась относительно сжатого газа со скоростью, меньшей скорости звука в сжатом газе, ибо только в этом случае можно представить себе причинную связь между движением поршня, вызывающего ударную волну, и распространением ударной волны, так как перенос возмушения от поршня фронту ударной волны совершается через слой сжатого газа. С теми же критериями $c_{1}<u_{1}, c_{2}>u_{2}$ мы встретимся, исследуя возникновение ударной волны. Глубоко удовлетворителен тот факт, что әти непосредственно офутимые критерии механической устойчивости ударной волны удается совершенно строго связать со знаком изменения энтропии в ударной волне, который в обџем виде говорит о возможности или невозможности распространения ударной волны, удовлетворяющей законам сохранения вещества, количества движения и энергии.

Связь знака $\Delta S$ и неравенств, касающихся скоростей звука, нарушится только в том случае, если в рассматриваемом интервале изменения давления осуществляются оба энака $\partial^{2} p / \partial v^{2}$, так что адиабата Пуассона имеет больше двух точек пересечений с прямой. Рассмотрение возникающих сложных режимов, в которых одновременно имеют место и разрывы и примыкающие к ним размытые волны, выходит за рамки настоящей книги.