Выше, в § IV, мы выяснили некоторые свойства обтекания тела сверхзвуковым потоком, относящиеся к характеру потока на большом расстоянии от тела. Прежде всего был установлен тот факт, что возмушение, вывванное наличием тела в сверхзвуковом потоке, охватывает не весь поток, а лишь конус с осью, параллельной направлению движения потока, и углом раскрытия, синус которого равен отношению скорости звука к скорости потока (так называемый угол Маха). Однако эти высказывания относились только $\boldsymbol{K}$ потоку на большом расстоянии от тела. В частности, только на большом расстоянии от тела, там, где мы можем считать возмущение малым, можно утверждать, что скорость распространения возмущения будет равна скорости звука. В непосредственной близости к самому телу, там, где возмущение потока, вызванное наличием тела, нельзя больше считать малым, это возмущение может стауионарно распространяться относительно потока в виде ударной волны, со скоростью, превышающей скорость звука в невозмущенном газе. Знакомство с теорней ударных волн позволит нам установить некоторые свойства обтекания сверхзвуковым потоком, относящиеся уже к непосредственной близости обтекаемого тела и, следовательно, имеющие значение для вопроса о сопротивлении тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью, 一 важнейшего вопроса внешней баллистики.

В дальнейшем мы рассмотрим отдельно два случая. Первый случай – обтекание тела с тупым профилем. Нетрудно представить себе обџий характер движения (рис. 42).

На большом расстоянии, как уже говорилось, возмущение мало. Сплошной линией показано положение стаџионарной ударной волны, пунктиром – линии тока. На большом расстоянии от тела – там, где амплитуда ударной волны мала, скорость ее не отличается от скорости звука, угол наклона сплошной линии равен углу Маха. Однако несомненно, что в некоторой точке – и эту точку нетрудно найти для любого симметричного профиля – поверхность ударной волны должна быть расположена нормально к направлению потока (рис. 42 , точка $a_{1}$ ). В этоћ точке скорость движения газа. относительно ударной волны максимальна, амплитуда изменения давления в ударной волне наиболее велика и может быть легко вычислена, если нам известна скорость потока (или, напротив, скорость движения нашего снаряда, или другого рассматриваемого тела относительно неподвижного газа). При сжатии в ударной волне скорость газа меняется от сверхзвуковой к подзвуковой величине. Таким образом, в непосредственной близости от тела, вблизи его тупой передней части, мы имеем дело с дозвуковым потоком; дальнейшее торможение газа на отрезке пути от ударной волны до поверхности тела $a_{1}-a_{2}$ (рис. 42) происходит адиабатически, и повышение давления может быть вычислено по теореме Бернулли.

Весьма существенно отме ченное Рейләем [79] обстоятельство, что такое последовательное сжатие сперва ударной волной, а потом адиабатическое в получающемся подзвуковом потоке, приводит при больших скоростях к значительно меньшему давлению, нежели чисто адиабатическое (изэнтропическое) сжатие от сверхзвуковой скорости до состояния покоя, осуществляемого в
Рис. 42. Схема сверхзвукового обтекания тела с тупым профилем. точке разветвления линий тока в передней части обтекаемого тупого профиля. То,что давление при полном торможении будет ниже при наличии ударной волны, нетрудно показать термодинамически. Как при наличии, так и при отсутствии ударной волны, вдоль линии тока имеет место закон сохранения энергии, т. е. теорема Бернулли в интегральной форме $I+\frac{u^{2}}{2}=$ const, которая вполне определяет теплосодержание газа в точке, где он полностью будет заторможен, так называемое теплосодержание покоя $I_{0}=I+\frac{u^{2}}{2}$. Если сжатие происходит адиабатически, то к этому добавляется условие $S=$ const. Значение теплосодержания $I$ и энтропии $S$ полностью определяет состояние вещества. Если имеет место ударная волна, то энтропия больше не сохраняется.

Расчет точного значения давления и расчет состояния вещества в результате торможения в том случае, если әто торможение частично происходит в ударной волне, более сложен. Однако во всяком случае мы можем утзерждать, что әнтропия в ударной волне растет, а рост әнтропии при заданном теплосодержании всегда означает падение давления. ${ }^{1}$ Таким
\[
{ }^{1} d I=v d p+T d S ; \text { при } I=\text { const, } \frac{d p}{d S}=-\frac{T}{v} \text {. }
\]

образом, наличие ударной волны спереди движущегося со сверхзвуковой скоростью тела приводит к уменьшению давления на передней части тупого профиля тела, к уменьшению величины сопротивления движению тела, и тем устраняет, как показал $\rho_{\text {ейлэй, существовавше }}$ ранее значительное расхождение между экспериментальными данными по сопротивлению снарядов и величиной сопротивления, вычисленной по формулам, предполагаюџим адиабатическое (изэнтропическое) сжатие. Это обстоятельство весьма суџественно также при измерении сверхзвуковой скорости трубкой Пито. В этом случае при расчете скорости движения по измеренному трубкой Пито давлению также необходимо учитывать возникновение ударной волны перед носиком трубки.

Представим себе резервуар, наполненный сжатым газом, истекаюшим со сверхзвуковой скоростью, и помешенное в поток обтекаемое тело (рис. 43).
Рис. 43. В резервуаре газ покоится, в сопле он приобретает скорость, а подходя к точке $a_{2}$ разветвления потока на поверхности обтекаемого теласнова тормозится. Поучительно сравнение состояния газа в резервуаре и в точке $a_{2}$. Если бы изменение газа в ходе торможения следовало тому же закону, что и в ходе ускорения, в точке $a_{2}$ газ должен был бы вернуться к тому же состоянию, в котором он находился в резервуаре, давление и температура газа в точке $a_{2}$ не должны были бы отличаться от давления и температуры в резервуаре. Именно так обстоит дело в действительности в случае дозвукового потока. Однако в случае сверхзвукового потока ускорение и расширение в сопле происходит изәнтропически, тогда как торможение и сжатие г аза в ударной волне сопровождается увеличением әнтропии. Прилагая к движению отдельного элемента объема газа закон сохранения энергии, придем к уравнению (III-5) § III
\[
l+\frac{u^{2}}{2}=\text { const. }
\]

Уравнение это остается верным, и значение константы сохраняется также при ударном сжатии газа, т. е. тогда, когда линия тока пересекает поверхность ударной волны в стаџионарном движении. В резервуаре и в точке $a_{2}$ ско-
1 Формула (IIl-5) правильна только в той системе координат, в которой тело и ударная волна покоятся. В системе координат, в которой покодтся невозмущенный газ, а тело движетея, при приближении тела частиды газа додвергаютея сжатию (причем растет энтальпия газа) и вступают в движение, причем приобретают кинетическую энергию, так что растет и сумма $I+\frac{u^{2}}{2}$. Уравнение (III-5) неприменимо в этой системе координат.

рость $u=0$, поэтому (III-5) приводит к выводу о равенстве энтальпии газа в точке разветвления и в резервуаре. У газов әнтальпия зависит только от температуры; следовательно, в опыте рис. 43 газ, находяшийся в резервуаре, в поодессе истечения охлаждается, а затем снова нагревается при торможении и доходит при этом до той же температуры, которую имел в резервуаре, так же как это было в дозвуковом потоке. Однако необратимый рост энтропии в фазе торможения приводит к тому, что плотность и да ление газа в точке $a_{2}$ оказываются ниже, чем плотность и давление в резервуаре, давление полностью не восстанавливается в противоположность дозвуковому потоку. Это обстоятельство, существенное для сопротивления воздуха движению тел, летяџих со сверхзвуковой скоростью, подробно рассмотрено $\rho_{\text {эйлеем }}$ (табл. 4).

В первой строке таблиџы дана (для движения в воздухе) скорость тела, во второй – отношение скорости к скорости звука, в третьей – давление, развивающееся при движении в точке $a_{2}$, в четвертой – температура газа в этой точке ( $p_{0}=1$ ата, $T_{0}=20^{\circ}$ ), в пятой строке приведено давление, которое было бы развито при изәнтропическом торможении газа или, иначе говоря, давление, которое нужно было бы создать в резервуаре для того, чтобы достичь заданной скорости истечения газа. Наконед, в последней строке дано давление в точке $a_{1}$ рис. 42 , после сжатия в ударной волне, но до торможения в дозвуковом потоке

Любопытно, что при обтекании тела с тупым профилем потоком газа, скорость которого меньше скорости звука, у поверхности тела может появиться область сверхзвуковой скорости. Так, при поперечном обтекании круглого џилиндра сверхзвуковая скорость сбоку достигается, начиная с числа Барстоу Ва-0.45 (Тәйлор [25]).

В случае сверхзвукового обтекания тела с заостренной вершиной образующиеся после сжатия в ударной волне подзвуковые струи газа будут легко обтекать острие, стационарная ударная волна будет ближе к острию, чем в случае обтекания тупого профиля. При достаточно малом угле раствора острия мы можем ожидать картины рис. $44 a$, при которой ударная волна соприкасается в вершине с самим острием. Если имеет место такая картина движения, то при изменении масштаба (например, при переходе к снаряду, все линейные размеры которого в определенное число раз больше показанной на рис. $44 a$ пули) мы мало меняем условия у самой вершины. Переходя к предельному случаю бесконечно большого тела, мы убеждаемся, что для нахождения движения вблизи вершины мы не имеем в этом случае ни характеристической длины, ни характеристического времени, и вся картина движения может зависеть лишь от угла между радиусом-вектором, проведенным в данную точку из вершины конуса, и ооью конуса. Мы ищем решения, в котором все величины зависят от одного этого угла, т. е. постоянны вдоль каждой конической поверхности с общей осью и общей вершиной, причем сам обтекаемый конус принадлежит к этому же семейству конусов.

Стајионарная ударная волна вблизи вершины также принимает форму одного из таких конусов, вершина которого совпадает с вершиной тела, а угол раствора зависит от угла раствора конической вершины тела. В каком случае этот результат, относящийся первоначально к окрестности острия безгранично протяженного конуса, можно будет применить к реальному снаряду, в котором коническая головка соединена (в простейшем случае, рис. $44 a$ ) с џилиндрической частью и дном снаряда?

При достаточно остром обтекаемом конусе и достаточно большой скорости движения можно ожидать, что и после сжатия в ударной волне скорость движения газа относительно поверхности конуса останется больше скорости звука. В этом случае, если скорость движения газа в области GFABCD (рис. 44a) больше скорости звука, изменение характера движения, происходяџее в точках $D, C$ и далее (вследствие того, что в этих точках поверхность снаряда заметно отличается от продолжения конической поверхности $A B$ ), не сможет сказаться на характере движения вблизи $A B$, не сможет передаться навстречу потоку. Таким образом, мы сможем частное решение для безграничного конуса, зависяџее только от одного угла и сравнительно легко рассчитываемое, – применить для построения движения на всем коническом участке у вершины снаряда, с одним условием, чтобы өта вершина была достаточно острой, так, чтобы скорость после сжатия в ударной волне все еше превышала скорость звука.

На самой поверхности ударной волны мы имеем при этом преломление линий тока. В так называемом сильном разрыве, т. е. в ударной волне, претерпевает внезапное изменение только нормальная составляюшая скорости, между тем как тангенциальные к поверхности ударной волны составляюцие скорости остаются без изменения. Отсюда вытекает показанное на рис. $44 a, 6$, преломление линии тока в ударной волне. Сам центральный угол конуса, образованного поверхностью
$\rho_{\text {ис. }} 44 a$.
$\rho_{\text {ис. }} 446$.

ударной волны, вычисляется из условия, чтобы после преломления в ударной волне и последующего изгиба, согласно уравнениям движения, линии тока у поверхности снаряда были параллельны образуюшим обтекаемого конуса.

Мы не останавливаемся на деталях расчета и приводим картину движения и схему расчета главным образом не в связи с численными результатами, далекими от интересующей нас области применения, а как пример тех математических упрощений, которые совершенно спеџифичны именно для сверхзвукового потока и тесно связаны с применением теории подобия [42]. В настояшее время Франклем развиты методы расчета распределения давления на поверхности остроконечных тел врашения также и в той области, где они отличаются от конуса $[26,27]$.

Еще проще случай обтекания сверхзвуковым потоком тонкой пластинки, слабо наклоненной к потоку (рис. 44б).

На передней кромке образуются две волны: ударная волна под пластинкой, в которой линии тока внезапно преломляются и после волны движутся параллельно пластинке, и волна разрежения над пластинкой, в которой постепенно происходит такое же искривление линий тока.

Вблгзи передней кромки все состояние также зависит от одного отношения $y / x$ (если начало координат поместить в эту точку), как в задаче о движении поршня с постоянной скоростью движение зависело только от $\boldsymbol{x} / \boldsymbol{t}$.

Явления у задней кромки аналогичны распространению произвольного разрыва, так как в этой точке соединяются два потока, давления в которых различаются. При әтом за кромкой возникают ударная волна, волна разрежения и разрыв особого рода (пунктир), на котором теперь терпит разрыв также тангенциальная составляюџая скорости (вихревая поверхность). Однако при достаточной скорости потока и малом наклоне пластинки поток вдоль пластинки остается сверхзвуковым, явления у задней кромки не оказывают обратного влияния на свойства потока у поверхности пластинки. Давление на верхнюю поверхность пластинки меньше, а давление на нижнюю поверхность 6 ольше давления в невозмущенном потоке, что обусловливает появление силы, действующей нормально поверхности пластинки в направлении в ве $\rho$ и назад. Для расчета сопротивления и подъемной силы достаточно рассчйтать волны, примыкаюџие к передней кромке.

Весьма характерно, что в газодинамике сверхзвукового потока парадокс д’Аламбера (отсутствие сопротивления при безвихревом обтекании тела идеальной жидкостью) не имеет места. Появляется так называемое волновое сопротивление, связанное с наличием стационарных волн, уносяших работу, совершаемую движущимся телом против сил сопротивления.

Наряду с этим при больших скоростях становится существенным необратимое нагревание подвергшегося ударному сжатию вещества, сохраняющееся в виде \”следа“ после пролета тела.

Обтекание крыла строится, таким образом, из решения вадачи об обтекании угла, образованного крылом и линией тока, попадающей на переднюю кромку. Обтекание угла рассмотрено было Прандтлем [77] и Майером [71]. Графические методы решения уравнений, определяющих параметры косых ударных волн, см. в общих руководствах $[27,23,35,39]$.

Сжатие газа при обтекании тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью, представляет способ осуществления быстрого нагрева газа до весьма высокой температуры. В опытах Лейтунского и автора алюминиевая пуля, скорость которой достигала $3300 \mathrm{~m} / \mathrm{ceк}$, пролетая через ртутный пар, создавала повышение температуры до нескольких десятков тысяч градусов (расчет в предположении постоянной теплоемкости дает $45000^{\circ}$ ). При этом наблюдалось сильнейшее термическое свечение ртутного пара на пути пули. [125]

Простреливая газы и газовые смеси, способные к химической реакдии, мы можем исследовать скорость реакции при температуре до $4000^{\circ}$ и времени воздействия около $10^{-5}$ сек. [104]