Для современной военной техники характерен интерес к реактивным снарядам. Џеной усложнения снаряда п уменьшения коәффиџиента полезного действия пороха по сравнению с артиллерийскими системами достигается замена тяжелого ствола орудия легкой направляющей и отсутствие отдачи. Әти свойс ва реактивных снарядов, согласно выпущенному еше до начало войны курсу Серебря-

Рис. 45. кова [112], могут пригодиться, например, в условиях горной войны или при десантных операџиях, при установке на самолетах, автомобилях, мелких судах.

Схематический чертеж реактивного снаряда ( $и с .45$ ) заимствован у М. Руа. [111] Порох заключен в камере, продукты горения под высоким давлением (Руа приводит расчеты для давления до 500 атм) вытекают через сопло Лаваля. Расчет реактивной силы в этих условиях основан на газодинамической теории истечения (§ III). Однако для того чтобы лучше усвоить методику рассмотрения вопроса и особенности сверхзвукового истечения, начнем с рассмотрения более простого случая несжимаемой жидкости.

Представим себе аппарат (рис. 46), состоящий из камеры с простым сужающимся соплом. Давление в камере обозначим $p$, давление в окружающей среде (атмосфере) $p_{1}$, плошадь выходного сечения сопла $\stackrel{\widetilde{F}}{ }$.

Теория и опыт показывают, что в коротком сопле с плавными очертаниями с большой точностью скорость истечения удовлетворяет закону Бернулли и струя заполняет все сечение; таким образом,
\[
\frac{\varrho u^{2}}{2}+p_{1}=p ; \quad G=F \varrho u, \quad \text { (XVIII-1) }
\]

где $G$ – весовой расход жидкости.
Давление в выходном сечении струи не отличается от $p_{1}$. Окружим аппарат контрольной поверхностью. Количество движения, приобретаемое жидкостью за время $t$, равно произведению вытекшего количества жидкости на скорость; по второму закону Ньютона, приобретенное количество движения равно гмпульсу силы, действующей на жидкость; по третьему закону Ньютона, сила, действующая со стороны аппарата на жидкость, тождественно равна реактивной силе $R$, испытываемой аппаратом.
Считая за положительное на$\rho_{\text {ис. }} 46$. правление силы влево (рис. 46), а положительное направление скорости вправо, получаем уравнение для импульса реактивной силы $l$
\[
\begin{array}{rlrl}
l=R t & =G t u=F \varrho u t u, & & (\mathrm{XVIII}-2) \\
R & =F \varrho u^{2} . & (\mathrm{XVIII}-3)
\end{array}
\]

Подставляя выражение скорости, следующее из закона Бернулли, найдем
\[
R=2 F\left(p-p_{1}\right) .
\]
(XVIII-4)
Результат замечателен тем, что из формулы выпали величины, характеризуюшие свойства жидкости; реактивная сила поопорџиональна разности давлений, вызывающей истечение.

Подойдем к вычислению $R$ другим способом, определяя результирующую сил давления на внутреннюю и внешнюю поверхности аппарата. Представим себе, что сопло закрыто пробкой. На внутреннюю поверхность аппарата и поверхность пообки действует давление $p$, на внешнюю поверхность- давление $p_{1}$. Результирующая сила для закрытого аппарата (т. е. совокупности аппарата с соплом и пробки) равна нулю. Сила, действующая на пробку $R_{3}$, равна $R_{3}=-F\left(p-p_{1}\right)$. Очевидно, что результируюшая сила, действующая на всю поверхность аппарата без пробки, равна $R_{1}=F\left(p-p_{1}\right)$, так как $R_{3}+R_{1}=0$.

Между тем приведенное выше выражение $R$ вдвое больше. Парадокс заключается в том, что при удалении пробки из сопла сила $R$, действуюшая на аппарат, увеличится вдвое по сравнению с силой $R_{1}$ в тот момент, когда пробка уже отъединена от аппарата, но еще находится в сопле. При удалении пробки начнется истечение жидкости; жидкость набирает скорость постепенно в сужающемся сопле; по закону Бернулли, движение жидкости сопровождается падением давления; падение давления на примыкаюшие к отверстию участки поверхности $(A B, C D)$ дает результируюшую $R_{2}$, равную $R_{1}$, так что
\[
R=R_{1}+R_{2}=2 R_{1}
\]

Мы не станем здесь приводить расчета $R_{2}$; результат $R_{2}=R_{1}$, $R=2 R_{1}$ имеет место для любого гладкого профиля сопла, обеспечиваюшего коәффиџиент расхода, равный 1.

При оценке качества работы реактивного аппарата было бы неделесообразно пользоваться энергетическим коэффиџиентом полезного действия, т. е. отношением работы реактивной силы к тепловой әнергии сожженного топлива или пороха. Дело в том, что от конструкции аппарата и сопла и режима процессов, происходящих в аппарате, зависит реактивная сила, тогда как работа этой силы зависит от скорости перемешения аппарата как џелого; энергетический к. п. д. поэтому также зависит от скорости движения аппарата; при заданной постоянной степени совершенства всех внутренних проџессов к. п. д. будет меняться по мере изменения скорости движения аппарата, так что энергетичєский к.п.д. в данном случае не является мерилом совершенства аппарата.

Важнейшим показателем качества работы реактивного аппарата является так называемый единичный импульс $l_{1}$, т. е. импульс реактивной силы, развиваемый при истечении единиџы массы; единичный импульс равен отношению силы к расходу
\[
I_{1}=\frac{I}{M}=\frac{R t}{G t}=\frac{R}{G} .
\]
(XVIII-5)

Из приведенных выше формул следует для несжимаемой жидкости
\[
l_{1}=u=\sqrt{2\left(p-p_{1}\right) / \varrho} .
\]
(XVIII-6)
Единичный импульс равен скорости истечения при измерении всех величин в абсолютной (физической) системе CGS. В технической системе размерность $I_{1}$ – кг сила $\times$ сек/кг масса и численно $I=u / g$, где $g$ – ускорение силы тяжести.

Для несжимаемой жидкости скорость истечения и единичный импульс пропордиональны корню квадратному разности давлений в камере и в окружающей среде. Для достижения наибольшего әффекта желательно увеличение скорости истечения путем увеличения перепада давления. При истечении газообразных продуктов горения пороха при увеличении давления мы сталкиваемся с влиянием сжимаемости, с необходимостью применения расширяюшегося сопла Лаваля и с явлениями критического и сверхзвукового истечения.

Сопло Лаваля характеризуется заданием двух сечений: наименьшего (критического) $F_{k}$ и выходного $F_{a}$, причем $F_{a}>F_{k} ;$ мы обозначим в дальнейшем $F_{a} / F_{l}=\theta$. В критическом сечении достигается критическое давление, составляющее определенную долю давления в камере (около $55 \%$ ). Давление $p_{a}$, достигаемое в выходном сечении $F_{a}$, зависит от отношения $\theta$. Ниже мы рассматриваем идеальный газ постоянной теплоемкости; в әтом случае
\[
\frac{p_{a}}{p}=\Pi_{a}(\theta) .
\]
(XVIII-7)

Скорость истечения, достигаемая на выходе из сопла, по формуле Сен-Венана-Вентцеля зависит от давления. Так же как это было сделано в § III (см. рис. 6, стр. 36), отнесем скорость истечени і к скорости звука в начальном состоянии
\[
\frac{u_{a}}{c_{0}}=\varphi=\varphi\left(\Pi_{a}\right)=\varphi(\theta) \text {. }
\]
(XVIII-8)

Если сопло подобрано в полном соответствии с давлением $p$, которое имеется в камере, то давление в струе в выходном сечении $p_{a}$ не отличается от атмосферного давления $p_{1}$
\[
p_{a}=p_{1} ; \theta=\theta\left(\frac{p_{1}}{p}\right) .
\]
(XVIII-9)

В этом случае по выходе из сопла струя находится в механическом равновесии с окружающей средой, скорость струи по выходе из сопла не изменяется ( $u_{a}=u_{1}$, обозначение $u_{1}$ см. ниже).

Окружим аппарат контрольной поверхностью подобно тому, как это было сделано на рис. 46. Давление на контрольной поверхности равно атмосферному везде, в том числе и там, где поверхность пересекает выходное сечение струи, так как по условию $p_{a}=p_{1}$. В этом случае результируюдая силы давления на контрольную поверхность равна нулю. Реактивная сила равна произведению расхода на скорость в выходном сечении сопла
\[
R=G u_{u},
\]

единичный импульс равен выходной скорости совершенно так же, как в случае истечения несжимаемой жидкости. Отличия от несжимаемой жидкости закхючаются: 1) в другом, более сложном виде зависимости скорости истечения от давления и 2) в том, что для осушествления рассматриваемого режима, при котором $p_{a}=p_{1}$, необходимо вполне определенное, зависящее от отношения $p_{1} / p$, расширение сопла $\mathcal{\Lambda}^{2}$ аваля; в несжимаемой жидкости равенство $p_{a}=p_{1}$ осуществлялось автоматически, при истечении из любого сопла, в том числе и из
Рис. 47a.

простейшего сужающегося сопла, дающего наименьшие потери на трение и вихреобразование.

Результаты расчета по формуле Сен-Венана-Вентуеля для идеального газа с показателем адиабаты 1.25 суммированы в графике (рис. $47 a$ и 476). Значение $K=1.25$ получено $
ot{A}$. А. Франк-Каменедким для продуктов горения бездымного пороха. По оси ординат рис. $47 a$ и 47 б отложена величина $\varphi=\frac{u}{c_{0}}$, по оси абсцисс – отношение давлений $p_{1} / p$. Вдоль оси абсцисс дана также разметка соответствующих значений $\theta$ и $\frac{p}{p_{1}}$.

При заданном $p_{1}$ (атмосферном давлении) и давлении в камөре $p$ мы составляем отношение $p_{1} / p$, находим по верхней шкале соответствуюдую абсциссу и по нижней шкале $\theta$. Скорость истечения и единичный импульс отсчитываем по жирной хинии $\varphi$; при этом
\[
l=u_{1}=u_{a}=\varphi c_{0} .
\]

Во внутренней баллистике принято характеризовать состояние продуктов горения пороха силой пороха $f=\frac{p}{\varrho}$; прене-
Рис. 47б.

брегая отступлениями от законов идеального газа, найдем
\[
c_{0}=\sqrt{k f}
\]

так что
\[
l_{1}=u_{1}=\varphi \sqrt{k f} .
\]

Переходя к техническим единицам:
\[
l_{1}-\frac{\mathrm{kr} \cdot \mathrm{ce \kappa}}{\mathrm{Kr}},
\]

\[
f-\frac{\mathrm{Kr}}{A \mathrm{M}^{2}} / \frac{\mathrm{Kr}}{A \mathrm{M}^{3}}
\]

и, подставляя $k=1.25, g=981$ см/сек, ${ }^{2}$ найдем
\[
l_{1}=0.113 \varphi \sqrt{f} .
\]
(XVIII-14)
Так, для бездымного пороха с $f=1000000 \frac{\mathrm{\kappa г} / \text { дм }^{2}}{\mathrm{\kappa г} / \text { мм }^{3}}$ при давлении в камере $p=100 \mathrm{\kappa г} / \mathrm{cm}^{2}$ и атмосферном $p_{1}=1 \mathrm{\kappa г} / \mathrm{cm}^{2}$, найдем

При этом значение $\varphi$ мы отсчитываем по графику 476, на котором наиболее практически интересная область $p_{1} / p$ от 0 до 0.05 ( $p$ от $20 \mathrm{kг} / \mathrm{cm}^{2}$ и выше) дана в увеличенном масштабе.

Подставляя выражение расхода при критическом истечении, мы выразим реактивную силу черея критическое сечение и давление в камере (индекс $k$ относится к величинам в критическом сечении)
\[
\begin{array}{c}
R=G u_{a}=F_{k} \varrho_{k} u_{k} u_{i}=F_{k} \varrho_{0} \frac{\varrho_{k}}{\varrho_{0}} \cdot c_{0}{ }^{2} \cdot \frac{u_{k}}{c_{0}} \frac{u_{a}}{c_{0}}= \\
=F_{k} p \cdot \frac{\varrho_{0} c_{0}^{2}}{p} \frac{u_{a}}{c_{0}} \frac{u_{k}}{c_{0}}, \\
R=\operatorname{const} \varphi \cdot F_{k} p=0.74 \varphi F_{k} p .
\end{array}
\]
(XVIII-16)
Численный коэффиџиент найден для показателя адиабаты 1.25, для которого построены рис. 47 a, б. Так же как в случае несжинаемой жидкости, в последнее выражение не входят плотность газа, его температура и тому подобные величины. Безразмерное отношение $R / F_{k} p$ во французской литературе называется \”coéfficient de propulsion\” \”коэффиуиент подталкивания\” (Серебряков, Гретен, Оппоков [112]).
В приведенном примере
\[
\left(\varphi=2.2, R=0.74 \cdot 2.2 \cdot F_{k} p=1.63 F_{k} p\right)
\]

коэффиџиент этот достигает 1.63 ; в случае истечения несжимаемой жидкости отнесенный $к$ разности давлений $p-p_{1}$ козффиџиент был равен 2.
1 В реактивном снаряде порох горит при постоянном давлении, развивая тємпературу более низкую, чем при горении в замкнутом объеме. Поэтому и сила пороха $f$, входящая в формулы (XVII-12) – (XVII-14), должна быть уменьшена в отношении топлоемкостей, т. е. в $K \cong 1.25$ раз по сравнению с силой того же пороха, иямеренной в замкнутом объеме.

Каков характер движения и как рассчитать реактивную силу в том случае, если расширение сопла $\theta$ не соответствует отношению давлений? Струя газа, движущегося со сверхзвуковой скоростью, вытекает в окружающую среду при давлении в струе в выходном сечении $p_{a}$, отличаюшемся от атмосферного давления $p_{1}$; в месте соприкосновения, на краю выходного сечения, возникает возмущение потока: его расширение, сопровождающееся увеличением скорости в случае $p_{a}>p_{1}$, или сжатие потока и уменьшение скорости движения в случае $p_{a}<p_{1}$. На распространение возмущения от края
Рис. 48.

сечения к оси струи накладывается поступательное движение газа в струе; благодаря этому поверхность, на которой испытывают возмушение отдельные линии тока, приобретает форму конуса, опираюшегося на выходное сечение и вытянутого в направлении движения струи (см. ниже, рис. 49). В самом выходном сечении поток невозмущен, давление везде равно $p_{a}$ и скорость истечения $u_{a}$; состояние потока в выходном сечении зависит от состояния газа в камере и расширения сопла $\theta$, согласно формулам. От атмосферного давления $p_{1}$ состояние потока, в частности величины $p_{a}$ и $u_{a}$, совершенно не зависят; независимость явствует из того, что возмущение, вызванное различием $p_{a}$ и $p_{1}$, не распространяется в выходное сечение.

Проведем снова контрольную поверхность, окружающую аппарат и проходящую через выходное сечение (поверхность 2, рис. 48). Везде, кроме выходного сечения сопла $F_{a}$, давление равно $p_{1}$, в сечении $F_{a}$ давление равно $p_{a}$. Результирующая сила давления равна $F_{a}^{a}\left(p_{a}-p_{1}\right)$; при расчете реактивной силы мы должны добавить эту величину
\[
R=G u_{a}+F_{a}\left(p_{a}-p_{1}\right) .
\]
(XVIII-17)
Подставляя
\[
G=F_{a} \varrho_{a} u_{a},
\]
(XVIII-18)
преобразуем
\[
R=G\left(u_{n}+\frac{p_{a}-p_{1}}{\varrho_{a} u_{a}}\right)=G u_{1},
\]

При этом мы вводим величину $u_{1}$, определяя ее так:
\[
l_{1}=u_{1}=u_{a}+\frac{p_{a}-p_{1}}{\varrho_{a} u_{a}} .
\]
(XVIII-20)

Введенная величина $u_{1}$ представляет собой среднее значение осевой скорости струи там, где давление в струе сравнялось с окружающим атмосферным давлением: в әтом мы убедимся, составляя уравнение количества движения для контрольной поверхности 7 рис. 48 , в которую струя входит с давлением $p_{a}$ и скоростью $u_{a}$, а покидает при давлении $p_{1}$ с искомой скоростью $u_{1}$.

Из уравнения следует, что единичный импульс при $p_{a}
eq p_{1}$ определяется именно скоростью $u_{1}$, а не выходной скоростью $u_{a}$.

Можно показать в общем виде, что при данном исходном состоянии газа в камере и данном $p_{1}$ вехичина $u_{1}$ имеет максимум при $p_{a}=p_{1}$; другими словами, выгоднее всего именно рассмотренный нами ранее случай полного расширения в сопле до атмосферного давления.
Для доказательства составим производную от (XVIII-20)
\[
\frac{d u_{1}}{d p_{a}}=\frac{d u_{a}}{d p_{a}}+\frac{1}{\varrho_{a} u_{a}}-\frac{p_{a}-p_{1}}{\left(\varrho_{a} u_{a}\right)^{2}} \frac{d\left(\varrho_{a} u_{a}\right)}{d p_{a}} . \quad \text { (XVIII-21) }
\]

Согласно закону Бернулли (ср. § III), дифференџируя II-9, найдем
\[
\frac{d u_{a}}{d p_{a}}=-\frac{1}{\varrho_{a} u_{a}} .
\]
(XVIII-22)

При $p_{a}=p_{1}, \frac{d u_{1}}{d p_{a}}=0$; легко показать, определяя знак
\[
\left.\frac{d^{2} \boldsymbol{u}_{1}}{d p_{a}^{2}}\right|_{p=p_{1}}=-\left(\varrho_{a} u_{a}\right)^{-2} \frac{d \varrho_{a} u_{a}}{d p_{a}}<0,
\]

что мы имеем дело именно с максимумом $u_{i}$.
Этот результат вполне естественен. Рассматривая давление на коническую поверхность расширяющейся части сопла Лаваля, мы убеждаемся в том, что при $p_{a}>p_{1}$ удлинение конуса (сопряженное с увеличением $F_{a}$ и уменьшением $p_{a}$ ) дает добаво?ное слагаемое, увеличивающее реактивную силу; при $p_{a}<p_{1}$ удлинение конуса даст слагаемое, уменьшающее реактивную силу. Напомним замечание § III: во всех случаях струя рано или поздно по выходе приобретает давление $p_{1}$. Однако в случае $p_{a}
eq p_{1}$ часть перепа да давления тратится на радиальные составляющие скорости, не создающие реактивной силы.

Практически тщательная регулировка сопла, особенно в проџессе с переменным давлением в камере, с целью постоянного поддержания $p_{a}=p_{1}$ весьма сложна. Практический кнтерес представляет задача исследования работы реактивного аппарата с заданным постоянным соплом, т. е. заданным $\theta$ при переменных давлениях $p$ и $p_{1}$.

Выведенные ранее формулы (XVIII-13) и (XVIII-16) сохранят силу, если, вместо скорости истечения на выходе струи $u_{a}$, подставить әффективную скорость $u_{1}$, заданную формулой (XVIII-20). Вместо безразмерной скорости $\varphi=u_{a} / c_{0}$ надлежит пользоваться $\varphi_{1}=u_{1} / c_{0}$. Величина $\varphi_{1}$ есть функдия двух переменных $\theta$ и $\Pi_{1}$, где $\Pi_{1}=p_{1} / p$
\[
\varphi_{1}=\varphi_{1}\left(\theta, \Pi_{1}\right) .
\]
(XVIII-23)
Функџия $\varphi_{1}$ тесно связана с функцией $\varphi$. Из предыдущего видны следующие свойства $\varphi_{1}$ :
1) при постоянном $\theta$ функция $\varphi_{1}$ линейно зависит от $\Pi_{1}$;
2) при $\theta=\theta\left(\Pi_{1}\right)$, т. е. при расширении сопла, соответствующем отношению атмосферного давления к давлению в камере, тождественно, по определению $\varphi_{1} \equiv \varphi$;
3) при $\theta
eq \theta\left(\Pi_{1}\right), \varphi_{1}\left(\theta, \Pi_{1}\right)<\varphi\left(\Pi_{1}\right)$.
Ив этих свойств вытекает, что в плоскости рис. 47 a, 6 (см. выше стр. 131, 132) линия зависимости $\varphi_{1}$ от $\Pi_{1}$ при заданном постоянном $\theta$ представляет собой прямую, касающуюся кривой $\varphi$ при том значении $\Pi_{1}$, которое отвечает данному $\theta$. при $\theta=1,2,4$ и 10. Для того чтобы найти, например, $\varphi_{1}(2 ; 0.05)$, мы отыскиваем значение $\theta=2$ на ннжней шкале $\theta$, под осью абсџисс: пкала $\theta$ построена в соответствии с теорией сопла Лаваля, так что каждое $\theta$ расположено под соответствующим $\Pi_{1} ; \Pi_{1}(\theta=2)=0.115$. На кривой $\varphi$ находим соответствуюшую точку $N$ и проводим касательную $M R N Q$ (подпись под касательной $\theta=2$ ).

Эта касательная представляет зависимость $\varphi_{1}\left(2, \Pi_{1}\right)$. При $\Pi_{1}=0.05$ находим точку $R, \varphi_{1}(2 ; 0.05)=1.84$. Значение это любопытно сравнить с значением $\varphi$ при оптимальном подбсре расширения сопла для данного $\Pi_{1}: \theta_{1}(0.05)=3.5 ; \varphi(0.05)=1.91$. Оптимальное сопло дает выигрыш $3.7 \%$. Напротив, взяв сопло без диффузора, $\theta=1$, мы получили бы при $\Pi_{1}=0.05$, $\varphi_{1}(1 ; 0.05)=1.63$ (точка $S$ ), величину на $15 \%$ меньше оптимальной. Как видно из предыдущего, импульс реактивной силы пропоруионален величинам $\mathscr{f}_{1}[$ [XVIII-13), (XVIII-16)].

Для удобства пользования на графиках даны также шкалы $\frac{1}{\Pi_{1}}=\frac{p}{p_{1}}$. Әта велпчина представляет собой давление в камере в том случае, если $p_{1}=1$ ата.

Рассмотрим подробнее истечение из сопла при $p_{q}
eq p_{1}$.
Еслит $p_{a}>p_{1}$, коническая волна разрежения (рис. 49, линии $a, b$ ) у края сопла подобна волне разрежения у края помещенной в сверхзвуковой поток тонкой пластинки (ср. рис. 446 , верхняя левая или нижняя правая часть). Поверхность $a$, на которой начинается падение давления, распространяется со скоростью звука $c_{a}$ по газу движушемуся со скоростью $u_{a}$. Поэтому образующая конуса $a$ составляет с направлөнием потока угол Маха, $\sin \alpha=\frac{c_{a}}{u_{a}}$. Скорость звука и направление движения после начала разрежения таковы, что последующие характеристики образуют более вытянутый внешний конус ( $b$, рис. 49). Падение давления и изменение скорости происходят в слое между поверхностями $a$ и $b$. Если $p_{a}<p_{1}$, газ, выходящий из сопла, подвергается сжатию ударной волной, также расподагаюшейся в виде конуса. По скольку скорость ударной волны больше скорости звука и зависит от амплитуды, „угол Маха“ волны тем больше и конус тем ниже, чем выше давление $p_{1}$. Наконед, при некотором $p_{1}$ скорость

рис. 49. волны сравнивается со скоростью истечения $D=u_{a}$; в выходном сечении сопла образуется плоская ударная волна. При еше более высоком давлении на выходе $p_{1}$ ударная волна прячется внутрь диффузора (расширяющейся части) сопла Даваля. В ударной волне сверхзвуковой поток превращается в дозвуковой; давление в дозвуковом потоке в расширяющемся сопле растет по ходу движения газа, так как уменьшается скорость движения и динамический напор преобразуется в давление, по терминологии гидравликов. Начиная с того значения $p_{1}$, при котором ударная волна заходит внутрь сопла и меняет распределение давления на поверхности сопла, более не правильны выведенные выше выражения и номограммы для определения реактивной силы. 1

На рис. 50 представлены әкспериментальные кривые распределения давления на оси сопла $\mathcal{\lambda}^{2}$ авля, продуваемого водяным паром при различных значениях противодавления на выходе из сопла.

Әти кривые заимствованы у турбостроителя Стодоли, которому принадлежит также трактовка резкого повышения давления как ударной волны Римана – Гюгонио – Ренкина.
1 По замечанию Ландау, резкое повшшение давления в ударной волне вызынает одновременно срыв граничного слоя.

Сочетая законы адиабатического потока (§ III) с представлением об ударной волне внутри или на выходе из сопла, мы получили возможность сконструировать режим истечения при любом давлении на выходе из сопла между $p_{4}$ и $p_{5}$ (рис. 11, § III стр. 39).
Рис. 50.