В предыдушем параграфе мы рассмотрели теорию сопла Лаваля, позволяющего получить стаџионарный параллельный поток газа, движущегося со сверхзвуковой скоростью.

Со времени изобретения сопла Лаваля было проведено значительное количество исследований свойств сверхзвуковых потоков, которые во мнслих отношения резко отличаются от струй газа, движущихся со скоростью меньшей скорости звука.

По образному выражению Прандтля, сверхзвуковой поток слепо натыкается на препятствие. Это значит, что возмущение от препятствия не успевает распространиться вперед, не успевает предупредить частиџы жидкости, движуџиеся навстречу препятствию, о том, что их ожидает; в результате характер обтекания препятствий, характер движения сверхзвукового потока оказывается совершенно отличным от обычных картин движения несжимаемой жидкости. ${ }^{1}$

Для пояснения рассмотрим сначала простейший әксперимент: в некотором потоке, начиная с определенного момента
Рис. 12. Распространение возмущения от источника в потоке, Авпушемея со скоростью, меньшей скорости явука (а) или большей скорости звука (б).

времени, мы будем периодически, через равные промежутки, создавать в определенной точке то или иное малое воямушение; в покоящемся газе от вызванных нами возмущений распространились бы шаровые волны со скоростью, равной скорости звука; в движущемся потоке на распространение шаровых волн наложится движение потока как целого, другими словами, шаровые поверхности воямущения будут сноситься потоком; однако, в зависимости от того, больше или меньше скорость потока скорости звука, возникнут две совершенно различные картины.

На рис. 12 (а и б) возмушение производится через равные интервалы времени $\tau$ в точках 0 каждого рисунка. За время $\tau$ на рис. 126 поток проходит расстояние $u \tau=2.5$ см; на рис. $12 a$, где скорость движения меньше, расстояние $\boldsymbol{u} \tau=$
1 Из формул \& II видно, что у несжимаомой жидкости $\frac{\partial \varrho}{\partial p}=0, \frac{d p}{d \varrho}=\infty$, $c=\infty$, скорость звука бесконочна, движение остается „подзвуковым“ при любой скорости.

$=1.5$ см. Скорость звука $c$ в обоих случаях одинакова и такова, что $c \tau=2$ см. $^{1}$ В покоящемся газе мы получили бы ряд концентрических шаров $R_{1}, R_{2}, R_{3}$; радиус каждого следующего шара на 2 см больше радиуса предыдушего. На рис. $12 a$ и 6 показано, как эти шаровые поверхности сносятся потоком.

В потоке, движущемся со скоростью, меньшей скорости звука, возмущение сможет пройти навстречу потоку, и постепенно, с течением времени, весь поток окажется возмущенным. Возмущение заполнит всю область, в которой движется жидкость (рис. 12a).

В сверхзвуковом потоке, как видно из рис. 126 , возмущение охватит лишь часть пространства, заключенного внутри конуса вращения. Угол этого конуса нетрудно найти. Как видно из рисунка, $\sin \alpha$ (где $\alpha$ есть центральный угол конуса) равняется c/u. Если источником возмущений является то или иное препятствие, помещенное в поток газа, то в подзвуковом потоке мы получим обычную картину обтекания препятствия, при которой скорость движения во всей области течения жидкости отличается от той скорости движения, которая была бы в отсутствии препятствия. Вызванное препятствием возмущение с течением времени охватывает весь объем, пілавно спадая к нулю на значительном расстоянии от препятствия. В сверхзвуковом потоке вызванное препятствием возмущение движения будет отличаться от нуля только внутри конуса с найденным выше центральным углом (о движении в непосредственной окрестности обтекаемого тела, где возмущение нельзя считать малым, см. § XVII).

Так мы получаем характерную для сверхзвукового потока картину стађионарных звуковых волн, отходящих от любого помешенного в сверхзвуковой поток препятствия или возмущения. Эти волны, так называемые волны Маха (по имени исследовавшего их венского физика), позволяют чрезвычайно легко определить скорость движения потока или, наоборот, скорость движения тела в неподвижном газе по измерению угла, образуемого поверхностью волны с направлением движения (угла Маха). Вообще говоря, если неизвестна скорость звука рассматриваемого газа, то во всяком случае наблюдение волн Маха и измерение угла между ними позволяет найти одну связь-отношение скорости движения к скорости звука исследуемого газа.

Однако в тех случаях, когда неизвестно состояние движущегося газа в данном месте потока, обычно бывает известно его \”состояние покоя\” – состояние в том сосуде, из которого происходит истечение газа и где скорость газа мала. Уравнение Бернулли и уравнение угла Маха достаточны для
1 рисунок 12 вынохнен в уменьшенном масщтабе.

определения двух величин-скорости звука и скорости движения
\[
I_{0}=\frac{c^{2}}{k-1}+\frac{u^{2}}{2} ; \quad \sin \alpha=\frac{c}{u},
\]
$(\mathrm{IV}-1)^{1}$
откуда
\[
\begin{array}{c}
c^{\alpha}=I_{0} \frac{2(k-1) \sin ^{2} \alpha}{k-1+2 \sin ^{2} \alpha}=c_{0}{ }^{2} \frac{2 \sin ^{2} \alpha}{k-1+2 \sin ^{2} \alpha} ; \\
u^{2}=c_{0}{ }^{2} \frac{2}{k-1+2 \sin ^{2} \dot{\alpha}}
\end{array}
\]

По формулам (III-18) найдем давление и плотность газа в потоке (в предположении постоянства энтропии, верном при отсутствии ударных волн и в коротком сопле).

Замечательна глубокая аналогия между явлениями, которые мы наблюдаем в газовой динамике, и течением тяжелой несжимаемой жидкости в открытом сверху канале $[7,22,73]$. Әта аналогия позволяет легко воспроизвести „сверхзвуковой“ поток жидкости с открытой поверхностью, легко осуществить изящные демонстраџионные опыты и, в частности, показать стационарное распространение волн по поверхности жидкости в случае, если жидкость движется со „сверхзвуковой“ скоростью.

Указанная аналогия между жидкостью со свободной поверхностью и сжимаемым газом имеет простое физическое основание. Действительно, рассмотрим открытый сверху канал, в который налита жидкость. Меняя давление, подпирая жидкость в канале, мы можем менять уровень жидкости и тем самым менять количество жидкости, приходящееся на единицу поверхности дна канала или на единиџу длины канала. Процесс выжимания вверх жидкости, находящейся в канале, совершенно аналогичен процессу сжатия газа, находящегося в закрытой со всех сторон трубке. Так, например, канал прямоугольного сечения эквивалентен газу, подчиняющемуся закону БойляМариотта, ибо в канале с прямоугольным сечением количество жидкости, приходяџееся на единицу поверхности дна, т. е. то, что можно назвать плотностью (отнесенной к единице поверхности), пропорџионально давлению на дно. Роль скорости звука газовой динамики, в случае движения жидкости с открытой поверхностью, играет скорость распространения по поверхноети жидкости гравитаџионных волн. Так же, как в газовой динамике, в известных условиях можно осуществить рсверхзвковой“ поток жидкости, т. е. поток, в котором скорость движения жидкости больше скорости распространения волн по ее открытой поверхности. Такой поток легко наблюдать, направив струю воды с высоты в несколько десятков сантиметров на гладкую плоскую поверхность. В6лизи места падения струи, на поверх-
1 Для написания (IV-1) используем (III-5) и (III-16).

ности внутри круга диаметром в несколько сантиметров, слой жидкости очень тонок, жидкость движется с большой скоростью. Введя в этом месте то или иное препятствие, например иглу, мы наблюдаем характерную картину стаџионарных поверхностных волн, исходящих от иглы под определенным углом и вполне аналогичных волнам Маха в сверхзвуковом потоке газа. За пределами круга диаметром в несколько сантиметров толџина слоя жидкости на протяжении нескольких миллиметров резко увеличивается, что сопровождается падением скорости движения жидкости (аналогия ударной волны, рассматриваемой ниже). В этой, второй области, где слой жидкости сравнительно толст, а скорость движения жидкости соответственно невелика (меньше скорости распространения колебаний по поверхности жидкости), свойства потока совершенно иные.

Часто встречающееся поэтическое противопоставление широкой полноводной реки, плавно текущей в своих берегах, и горного ручья, быстро, с огромной яростью, слепо несушегося по камням, оказывается гораздо глубже, чем это можно было думать. Действительно, в этих случаях мы имеем дело не только с количественным различием скорости движения. Благодаря наличию определенной характеристической скорости-скорости распространения воли по граниџе раздела воды и воздуха, – два потока (полноводная река и горный ручей) оказываются качественно различными.

Измерение температуры сверхзвукового потока в сопле Лаваля привело к весьма интересным результатам. В противоположность тому, что дает расчет по формулам предыдущего параграфа, температура газа, измеренная помешенным в поток термометром или термопарой, понижается незначительно, оказываясь весьма близкой к температуре газа в резервуаре, из которого происходит истечение. Так, воздух, истекая из резервуара, в котором он имел температуру $300^{\circ} \mathrm{K}$, должен иметь в коитическом сечении температуру $250^{\circ} \mathrm{K}$ и в сечении, в котором скорость потока равна двойной скорости эвука (2c), $167^{\circ} \mathrm{K}=-106^{\circ} \mathrm{C}$. Однако измеренная термопарой температура в этом месте оказывается равной примерно $280^{\circ} \mathrm{K}$. В действительности такой результат является вполне естественным, ибо измерение термометром или термопарой не делает различия между тепловым движением, т. е. хаотическим движением молекул, и массовым движением газа, т. е. организованным потоком. Понятно поэтому, что измеренная термометром или термопарой температура является в действительности мерилом полной энергии газа, мерилом суммы тепловой и кинетической энергии газа, т. е. измеряет величину, которая в потоке практически не меняется. Если мы рассмотрим пластинку, помешенную в поток нормально направлению движения, то, прослеживая линию тока вблизи пластинки, мы убедимся, что, подходя к пластинке, движущийся газ подвергается торможению, с чем, по теореме Бернулли, связано обратное возрастание давления и – в условиях газа – соответствующее возрастание температуры до тех значений, которые давление и температура имели в покоящемся газе в резервуаре, из которого газ вытекает через сопло. ${ }^{1}$ Естественно поэтому, что расположенная нормально к движению потока пластинка примет не истинную температуру движущегося газа, а примет температуру газа заторможенного у пластинки, совпадающую с начальной температурой газа, которую он имел до того, как он пришел в движение (т. н. температуру покоя).

Рассматривая пластинку, расположенную тангенџиально к линиям тока, найдем другую причину повышения ее температуры; в тонком пограничном слое вблизи пластинки, где скорость движения сильно меняется на малом расстоянии, будет происходить выделение значительных количеств тепла в результате внутреннего трения газа. Из молекулярно-кинетической теории газов следует связь между коэффиџиентом внутреннего трения и теплопроводностью газа. Связь между әффективной вязкостью и эффективной теплопроводностью в турбулентном потоке также удовлетворяет этому соотношению. Благодаря этой связи оказывается возможным в общем виде получить соотношение между выделением и отводом тепла в пограничном слое.

Произведенный Польгауяеном расчет [74] показывает, в согласии с опытом, что тангенциально расположенная пластинка также примет в газе температуру, весьма близкую к температуре покоя (ср. также $[6,31]$ ). От 100 до $85 \%$ кинетической энергии перейдет в тепловую энергию газа в пограничном слое вблизи пластинки. Соответственно температура пластинки будет колебаться между температурой покоя и 0.85 температуры покоя плюс 0.15 истинной температуры газа ${ }^{2}$
\[
T_{\text {покоя }} \geqslant T_{\text {пхаст }} \geqslant 0.85 T_{\text {покоя }}+0.15 T_{\text {rasa }} .
\]

Для того чтобы измерить истинную температуру газа, движущегося со звуковой или близкой к звуковой скоростью, необходимо прибегнуть к способу, в котором термометр двигался бы вместе с газом с той же скоростью. Практически удобным способом является развитая в последнее время методика измерения температуры по явлению обращения спектральных линий. Однако әта методика применима лишь при сравнительно высоких температурах, во всяком случае выше $1000^{\circ} \mathrm{C}$.
1 Как мы увидим в $\$$ XVII, при наличии ударной волны давление полностью не восстанавливается; однако температура попрежнему полностъю восстанавливаетея до величины, \”температуры покоя“ при торможении.
2 Мы расематриваем теплообмен пластивки только с газом. Отвод тепла внутрь пластинки или излучение с поверхности пластинки понижөют температуру по ерхности (см. Кибель [10]).

Вопрос о температуре, которую принимает поверхность, обтекаемая двнжущимся с большой скоростью газом, имеет большое техническое значение, ибо развитие газовых турбин и ихк. п. д. определяются в настоящее время именно максимальными температурами, которые способны выдерживать лопатки газовой турбины. Как мы видим, недопустимо приравнивать температуру лопаток к температуре газа. Температура лопаток всегда будет несколько больше за счет кинетической энергии движушегося газа.