Рассмотрим движение газа по трубе переменного сечения. Мы ограничимся одномерным рассмотрением явления, т. е. будем пренебрегать составляющими скорости, направленными перпендикулярно оси трубы, и будем считать все величины (плотность, скорость, давление) зависяшими лишь от расстояния, отсчитываемого вдоль трубы, но одинаковыми в любом нормальном сечении трубы и не зависящими от времени.

Напишем для всего потока уравнение сохранения количества вещества, которое приводит в интересующем нас случае сташионарного истечения к простому условию, чтобы через любое сечение трубы в единиџу времени протекало одно и то же количество вещества.

Обозначая площадь сечения через $F$, мы получим уравнение сохранения вешества в виде:
\[
\varrho u F=\text { const. }
\]

Таким же образом мы напишем уравнение сохранения энергии, выражаюшее постоянство суммы потока энергии, вытекаюшего через некоторое сечение, и работы сил давления в этом сечении для любого сечения:
\[
\left(E+\frac{u^{2}}{2}\right) \varrho u F+p u F=\text { const. }
\]
1 Начало процесса – изменение формы волны б- воспринимается как изменение спектрального состава звука, как появление обертонов (в чем можно убедиться, разлагая кривую б в ряд Фуръе) и измененио тембра при распространении звука на большое расстояние (см. Турас, Дженкинс и Нейль и др. [94, 52, 53], а также подробную статью Әйхенвальда [34]).

Заключенное в скобки выражение представляет энергию единиды массы, весь первый член – энергию единиыы массы, помноженную на количество вещества, протекающее в единишу времени через все сечение трубы. Второй член представляет собой работу сил давления в әтом сечении в единиџу времени.

Второе уравнение мы преобразуем с помошью первого к следующему виду:
\[
I+\frac{u^{2}}{2}=\text { const, }{ }^{1}
\]

где $I$ есть так называемая энтальпия,
\[
I=E+p v,
\]

одна из основных термодинамических функций. Для вывода (III-3) достаточно (III-2) разделить на (III-1).

Задавшись адиабатическим законом изменения состояния вещества в потоке, из приведенных двух уравнений мы сможем найти, как распределяются скорость и плотность вдоль трубы.

Для определения входящей в уравнение (III-3) константы выпишем ее значение для входа в трубу, т. е. для того места, где сечение $F$ весьма велико и где соответственно скорость движения $u$ можно считать очень малой. Величины в этом сечении будем обозначать индексом 0 :
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{0} \rightarrow 0, \\
I \dashv-\frac{u^{2}}{2}=I_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Добавим сюда условие адзаббатичности потока, отсутствия теплообмена со стенками и потерь на гидравлическое сопротивление. Это условие даст для удельной энтропии вещества
\[
S=\text { const }=S_{0} .
\]

Вспомним термодинамическое выражение
\[
d I=T d S+v d p .
\]

При постоянной энтропии
\[
I-I_{0}=\int_{p_{0}}^{p} v d p=\int_{p_{0}}^{p} \frac{d p}{Q},
\]

что в соединении с (III-5) дает скорость движения
\[
\frac{u^{2}}{2}=-\int_{p_{0}}^{p} v d p=-\int_{p_{0}}^{p} \frac{d p}{\varrho} .
\]
поток“.

При малом изменении давления пренебрегаем изменением подинтегральной функции
\[
\frac{u^{2}}{2}=\frac{p_{0}-p}{\rho}=v\left(p_{0}-p\right) ; \frac{\varrho u^{2}}{2}=p_{0}-p . \quad(\mathrm{HI}-10)
\]
(III-10) представляет не что иное, как закон Бернулли течения несжимаемой жидкости.

При $p$, близком $p_{0}$, мы можем пренебречь изменением плотности, и так же, как для несжимаемой жидкости, получаем, что количество газа $\varrho u$, протекающее в единиџу времени через единицу сечения, оказывается пропордиональным корню квадратному из разности давлений.

Однако при больших перепадах давления, при малом давлении в струе, падение плотности истекающего газа оказывает все более и более сильное действие. $\widetilde{\mathrm{B}}$ то время как рост скорости ограничен величиной
\[
u=\sqrt{2 I_{0}}
\]

при $I=0$, плотность газа может упасть до величины, сколь угодно близкой к нулю.
При әтом произведение $о и$ обращается в нуль.
При данном $p_{0}$ количество вещества, протекающее через единиџу площади сечения, достигает максимума при некотором значении давления в потоке $p$, меньшем $p_{0}$, и далее снова падает при дальнейшем падении $p$.

Покажем, что максимум расхода на единиџу плоџади сечения достигается как раз тогда, когда скорость движения равна скорости звука в истекающем газе.
Иџем максимум произведения
\[
\varrho u=\varrho \sqrt{2\left(I_{0}-I\right)} .
\]

Составим логарифмическую производную по давлению от выражения (III-12) и приравняем ее нулю (все производные при $\mathrm{S}=$ const):
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{\varrho} \frac{d \varrho}{d p}-\frac{d I / d p}{2\left(I_{0}-I\right)}=0, \\
\frac{d g}{d p}=\left(\frac{d p}{d o}\right)^{-1}=c^{-2} ; \quad d I / d p=v=Q^{-1} ; \quad 2\left(I_{0}-I\right)=u^{2}, \\
\frac{c^{-2}}{\varrho}-\frac{o^{-1}}{u^{2}}=0 ; \quad c=u, \\
\end{array}
\]

что и требовалось доказать.
Для идеального газа постоянной теплоемкости зависимость расхода от давления легко может быть прослежена аналитически.

В этом случае имеет место соотношение
\[
\begin{array}{c}
I=c_{i^{\prime}} T=\frac{c_{p}}{R} R T=\frac{c_{p} / c_{v}}{\left(c_{p}-c_{v}\right) / c_{v}} p v=\frac{k}{k-1} \frac{p}{Q}=\frac{c^{2}}{k-1} ; \\
I_{0}=\frac{c_{0}^{2}}{k-1} .
\end{array}
\]

В адиабатическом потоке
\[
t=Q_{0}\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{\frac{1}{k}} ; \quad I=I_{10}\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{\frac{k-1}{k}} ; \quad c^{2}=k \frac{p}{y}=c_{0}{ }^{2} \cdot\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{\frac{k-1}{k}} .
\]

Введем безразмерные переменные, относя соответствующие величины к их значениям в состоянии покоя; скорость отнесөм к скорости звука в исходном газе. Обозначим безразмерную плотность $r=\varrho / \varrho_{0}$, давление $\pi=p / p_{0}$, скорость звука $\gamma=c / c_{0}$, скорость движения $\varphi=u_{i} / c_{0}$, расход на $1 \mathrm{~cm}^{2}$ сечения $\psi=r \varphi=$ $=\rho u^{\prime} \mathrm{o}_{0} \mathrm{c}_{0}$.
Для них получим следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
r=\pi^{\frac{1}{k}} ; \quad y=\pi^{\frac{k-1}{2 k}} ; \quad \varphi=\sqrt{\frac{2}{k-1}\left(1-\pi^{\frac{k-1}{k}}\right)} ; \\
\psi=\pi^{\frac{1}{k}} \sqrt{\frac{2}{k-1}\left(1-\pi^{\frac{k-1}{k}}\right)} .
\end{array}
\]

На рис. 6 представлен ход кривых $r, \%, \varphi, \psi$ в зависимости ст $\pi$ для двухатомного газа (например воздуха), у которого
\[
k=\frac{c_{p}}{c_{v}}=\frac{7}{5}=1.4 .
\]

При изменении $\pi$ от 1 до 0 величина $r$ падает от 1 до 0 , $\varphi$ монотонно растет от 0 до $\sqrt{5}=2.24 ; \gamma$ падает от 1 до 0 . Величина $\psi$ достигает максимума 0.58 при $\pi=0.53 ; \psi=0$ при $\pi=0$ и $\pi=1$. В точке максимума $\psi$ при $\pi=0.53, \gamma=\varphi=0.90$.

На примере истечения воздуха комнатной температуры и атмосферного давления в пространство с пониженным давлением покажем, как следует пользоватъся графиком рис. 6 , составленным в безразмерных величинах. При $17^{\circ} \mathrm{C}, p_{0}=$ $=1$ ата, $\varrho_{0}$ воздуха $=1.2 \mathrm{kr} / \mathrm{m}^{3}, c_{0}=340 \mathrm{~m} /$ сек. Найдем резим истечения при $p=0.7$ ата, $\pi=0.7$. На графике находим $r=0.785$, откуда $\varrho=0.785 \cdot 1.2=0.93 \mathrm{kr} / \mathrm{m}^{3} ; \varphi=0.67$, откуда $u=0.67 \cdot 340=227$ м/сек; $\gamma=0.94 ; c=324$ м/сек. Падение скорости звука при истечении есть следствие охлаждения при адиабатическом расширении. Наконед, $\psi=0.54$, чему отвечает секундный расход $0.54 \cdot 1.2 \cdot 340=220 \mathrm{\kappa г} / \mathrm{m}^{2} \cdot$ сек.

Максимальная скорость при стауионарном истечении в вакуум достигает $340 \sqrt{5}=760 \mathrm{~m} /$ сек.
При максимуме $\psi$ скорость достигает 306 м/сек, при этом максимальный расход равен $236 \mathrm{\kappa} / \mathrm{m}^{2}$. сек.
Величины, относящиеся к тому состоянию газа, при котором достигается максимальный расход на единиџу сечения (максимум $\varrho u$, макснмум $\psi$ ), назы ваем критическими и отмечаем ниже индексом к.
$\rho_{\text {ассмотрим схему опы- }}$ та по истечению газа (рис. 7).
Левый сэууд, содержащий газ под давлением $p_{0}$, снабжен простым сужающимся насадком (соплом). При уменьшении противодавления $p_{n}$ в правом сосуде, в который вытекает газ, количество вытекающего raзa, coгласно формуле ВенцеляСен-Венана (II:-12, III-18), растет. Однако, если следовать формуле Венцеля-Сен-Венана, при всех режимах принимая давление в выходном сечении сопла $p$ равным давлению

Рис. 6. Зависимость безраямерной плотности (r), скорости ( $\varphi$ ), скорости ввуха ( $\gamma$ ) в расхода ( $\psi$ ) от безразмерного давлевй $(\pi)$ в двухатомном газе с постоянной теплоемкостью, $k=1.4$, при стационарном адиабатическом истечении, в правом сосуде $p_{n}$, то, начиная $c$ некоторого вначения противодавления, дальнейшее снижение противодавления должно было бы привести к уменьшению количества вытекающего газа; в частности для истечения в вакуум получится бессмысленный вывод, что секундный расход газа равен 0 .

То обстоятельство, что при достижении максимума количества истекающего вещества скорость истеченяя как раз равна скорости звука (см. lll-15), позволяет объяснить этот парадокс и предсказать, что́ в действительности будет происходнть при $p_{n}$, меньшем $p$ критического (т. е. при $p_{n}$, меньшем $0.53 p_{0}$ для воздуха). ${ }^{1}$

Действительно, с того момента, как досптгнуто критическое истечение, никакие сигналы не могут быть сообщены обратно истекающему газу через слой газа, движущийся со скоростью, равной скорости звука. При $p_{n}$, меньшем $p_{\kappa \rho}$, давление и скорость движения в сопле не будут более меняться, оставаясь все время равными критическому давлению и критической скорости.
Количество истекающего
Рис. 7. Схема опыта для истечения из сужаюџейся насадки (сопла).

вешества, достигнув максимума, более не будет меняться при меньших значениях противодавления (пунктир на рис. 6).
Рис. 8. Истечение струи при проииводавлении, превышаюшем критическое давление. Юодиритическая (дозвуковая) струя в свободном пространстве. Давление на выходе струи ривно давлению в окружающей среде. Скорость постепенно затухает по мере расширения струи вследствие подсоса окружающего вепества.
При противодавлении $p_{n}$ таком, что $p_{0}>p_{n}>p_{\text {кр }}$, устанавливается режим истечения, при котором давление $p$ в струе на выходе из сопла в точности равно давлению $p_{n}$ в той среде, в которую газ вытекает. Значения скорости и расхода могут быть взяты с графика рис. 6 подстановкой $\pi=p_{u} / p_{0}$.

Вытекающая струя на довольно большом расстоянии (несколько диаметров сопла) сохраняет постоянную скорость на оси, частиџы газа движутся параллельно с одинаковой ско-
1 История вопроса прекрасно изложена в руководетве Стодоли [89].

ростью (рис. 8); дальще струя постепенно расширяется и замедляется за счет перемешивания с окружающей средой. ${ }^{1}$

Если противодавление в среде, в которую вытекает струя $p_{n}$, меньше критического давления $p_{\text {к }}$, режим истечения в сопле не зависит от $p_{n}$. В выходном сечении сопла давление равно $p_{k} \rho$ и составляет определенную долю давления $p_{0}$ в резервуаре (немного больше половины $p_{0}$ ), независимо от величины $p_{i i}$. Однако в этом случае выходяџая струя не находится в равновесии с окружающей средой; разность давлений $p_{к \rho}-p_{n}$ обу-

Рис. 9. Иетечэние стюуи из сужаюпейся насадки (сопла) при противодавлении, меньшем критического. Давление в струе в выходи им сечении равно критическому, по выходе из сопла давление в струе падает, скорость увеличвается, струя расширяется.
словливает ускорение струи; при этом наряду с увеличением составляющей скорости, направленной по оси сопла, появляются радиальные составляюшие скорости, обусловливаюшие расширение струи (рис. 9). Энергия радиальных составляющих не может быть использована, поэтому работоспособность струи оказывается меньше, чем следует при заданном перепаде давления. Әксперимент дьное осущесівление в сопле скорости ист:чения, превыиаюшей скорость звука и имеющей определенное, заданное направление, было впервые достигнуто шведским инженером Давалем. $^{2}$ В согласии с формулами, выписанными выше, когда скорость истечения превышает критическую величину, равную скорости звука, расход на едіниду площади $\varrho и$ падает, и, следовательно, для сохранения потока вещества, согласно (III-1), нужно увеличивать сечение сопла.

Таким образом, Лаваль пришел к конструкции сопла, носящего его имя и изображенного на рис. 10.

Дадим снова численный пример для течения воздуха. рассчитаем сопло с расходом 1 кг/сек при скорости истечения 527 м/сек. Вспоминая определение безразмерных величин, найдем с помощью формул (III-18) или графика рис. 6, что для
: Продесе перемешивания и замедления струи исследовали Г. Н. Абрамович (ЦАГИ) и С. Н. Сыркин и Ляховский (ЦКТИ).
2 В одноступенчатой паровой турбине Лаваля для достижения хорошего термического к. п. д. необходимо было работать на большом перепаде давлений $p_{0}-p_{n}$, превышающем критический. Для использования его без потерь и повадобился переход к сверхзвуковой скорости.

\[
\varphi=\frac{u}{c_{0}}=527 / 340=1.55
\]

необходимое поотиводавление $\frac{p}{p_{0}}=\pi=0.1$.
Таким образом при втекании воздуха из атмосферы $p_{0}=1$ ата, противодавление составляет 0.1 ата. При этом $\psi=0.3$, расход на еднниџу площади составляет:
\[
0.3 \varrho_{0} c_{0}=0.3 \cdot 1.2 \mathrm{\kappa} / \mathrm{m}^{3} \cdot 340 \mathrm{~m} / \text { сек }=124 \mathrm{\kappa r} / \mathrm{m}^{2} \cdot \text { сек. }
\]

Заданному общему расходу 1 кг/сек отвечает сечение на выходе сопла $1: 124=0.008 \mathrm{~m}^{2}=80 \mathrm{~cm}^{2}$, диаметр круглого со сверхзвуковой скоростью.
Рис. 11. Раличные режимы стадионарного адиабатичеекого истечения в сопле Лаваля.

отверстия 101 мм. В критическом, наиболее узком, сечении $y=0.58$, расход $240 \mathrm{кг} / \mathrm{m}^{2} \cdot$ сек, площадь сечения $42 \mathrm{~cm}^{2}$, диаметр 73 мм.

Задавшись определенным состоянием газа в сосуде, из которого он истекает, построим все возможные режимы истечения (рис. 10 и 11), отличающиеся величиной секундного расхода газа $A$. Построение может быть проведено с помощью кривой $\psi$ рис. 6. Для каждого значения абсџиссы $\boldsymbol{x}$ находим на рис. 10 сечение сопла $F$, вычисляем величину $\psi$, равную $A \mid F c_{0} \varrho_{0}$, наконеџ, зная $y$, ищем соответствующие значения безразмерного давления. Так как кривая $\psi$ рис. 6 имеет максимум, то при некотором произвольно заданном значении $\psi$ мы будем иметь, как правило, либо два, либо ни одного значения $\pi$.

Если выбрать малый расход $A$, так что $A<F_{\text {ке }} \psi_{\text {кp }} \varrho_{0} c_{0}$, мы получаем пару кривых, например, 1 и 8 или 2 и 7 . Нижние кривые 7 и 8 могут быть осуществлены лишь в том случае, если в сопло слева поступает газ, уже движущийся со сверхзвуковой скоростью, что противоречит заданному состоянию покоя при $x=0$.

Верхние кривые 1 и 2 представляют совершенно разумные решения, осуществляюшиеся в действительности при противодавлении в интервале $p_{0}-p_{4}$. Качественно движение ничем не отличается от движения несжимаемой жидкости в трубке Вентури; расширяюшаяся часть сопла Лаваля играет роль диФфузора, восстанавливающего часть динамического напора жидкости. При попытке построить режим с расходом больше критического, $A>F_{к \rho} \psi_{к \rho} \varrho_{0} c_{0}$ в середине трубки мы не имеем никакого решения. Соответствующие пары кривых 10 и 11,9 и 12 не отвечают никакому реальному движению жидкости.

Наконеџ, при критическом расходе $A=F_{\kappa \rho} \psi_{\kappa \rho} \varrho_{0} c_{0}$ вышедший из исходной точки $p_{0}, x_{0}$ отрезок кривой 3 попадает в критическом сечении в точку разветвления. При противодавлении $p=p_{4}$ осуществится линия 3-4, примыкаюџая к подзвуковым режимам $\overrightarrow{7}$ и 2.

При противодавлении $p_{n}=p_{5}$ осуществляется линия $3-5$, сопло Лаваля дает сверхзвуковой поток.

Дальнейшее уменьшение давления не может изменить движения в сопле. При $p_{n}<p_{5}$ в сопле попрежнему осуществляется линия $3-5$ с последующим расширелием на выходе из сопла.

Однако мы не можем сказать, что произойдет при противодавлении, лежашем в промежутке между $p_{4}$ и $p_{5}$. Ответ нам удастся получить лишь после разбора теории ударных волн (см. \& XVIII). Построение формы сопла, дающей строго равномерный поток, выходит за рамки одномерной теории. По этому вопросу см., например, работу Буземана [40].