Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Уже во Введении мы говорили о том, что в гаэовой динамике основной константой движушегося вешества является некая скорость-скорость распространения возмупений, скорость звука. Если отвлечься от диссипативных продессов, вещество не имеет ни характеристической длины, ни характеристического времени. Из молекулярно-кинетической теории газов следует, что при введении диссипативных величин, таких, как вязкость или теплопроводность, в комбинаџии с характеристическим вначением скорости звука, мы получим в качестве характеристических значений длины и времени длину свободного пробега молекул и время свободного пробега, т. е. длину и время чрезвычайно малые. Отсюда следует, что если нас не интересуют микропроџессы, протекающие на расстоянии и за времена порядка длины и времени свободного пробега молекул, если, далее, мы зададимся начальными и граничными условиями движения, не содержаџими ни характеристической длины, ни характеристического Напишем эти уравнения; обозначим $\xi=x / t$ и составим сразу формулы преобразования к новой переменной: Как это принято в гидродинамике, $\frac{\partial}{\partial t}$ есть знак локальной (в данном месте) производной по времени, $\frac{d}{d t}$ — субстанџиальная (т. е. для данного, движушегося со скоростью $u$ объема) производная. Если некоторая интересующая нас величина $f$ есть функџия от новой переменной $\xi$, т. е. то мы әлементарно получим следующие формулы: Преобразуя с помощью этих формул наши основные урав- нения (§ $\mathrm{I}$ ), мы получим уравнение сохранения вещества и уравнение движения в следующем виде: Как и следовало ожидать, сами величины $x$ и $t$ удается полностью исключить из уравнений. Построенные уравнения могут быть удовлетворены в сделанном нами предположении, что все величины $u, p$, $\varrho$ суть функџии только комбинаџии $\xi=x / t$, но не $x$ и $t$ в отдельности. Покажем теперь пример начальных и граничных условий не содержащих также величин $x, t$ в отдельности. Представим себе бесконечную плоскость, которая начинает двигаться в момент $t=0$ с равномерной скоростью $w$, так что координата плоскости $x_{n}=w t, \frac{x_{n}}{t}=w$, где $w<0$ (что означает движение плоскости влево). Рассматриваемый газ находится справа от плоскости в расширяется при ее движении (см. рис. 18). Будем искать решение наших уравнений, полагая до момента $t=0$ весь газ покоящимся и имеющим одинаковые постоянные значения плотности и давления. После начала движения поршня при $t>0$ мы налагаем условие, чтобы частиџы газа, прилегающие к поршню, двигались со скоростью поршня. Относительно пространства, ваполненного гагом, в котором происходит распространение вызванного движением поршня возмушения, мы полагаем, что это пространство неограниченно простирается в сторону $x>0$; при әтом начальные условия не содержат никакого определенного \& начения длины, граничные условия формулируем только на поверхности поршня; там они содержат только задание скорости движения поршня $w$. Мы рассмотрим отдельно в конџе параграфа вопрос о том, в какой мере решение, зависящее от $x / t$, которое мы ищем, может быть использовано для задач с конечнсй протяженностью заполненного газом пространства. Сопоставляя выписанные выше уравнения сохранения вещества и движения, мы получим и отсюда далее Последнее уравнение дает возможность построить два вида решения: первый вид — совершенно тривиальный, $\varrho=$ const — отвечает $p, c, \varrho, u=$ const, т. е. движению всего газа как џелого; второй вид решения требует где $\boldsymbol{c}$-скорость звука. Значение $\xi$, а следовательно, и все значения $p, \varrho, u$, зависящие от одного $\xi$, постоянны на линиях $\xi=c+u, x=(c+u) t$, на так называемых характеристиках уравнений газодинамики. В рассматриваемой задаче все характеристики суть прямые, выходящие из начала координат $x=0, t=0$, т. е. из точки, в которой произошло возмущение (рис. 17). Используя найденное соотношение $u-\xi=-c$, в котором $c$ полностью определяется состоянием вещества, преобразуем уравнения движения (VI-4) и (VI-5): Оба уравнения эквивалентны, так как $d p=c^{2} d \varrho$. Связь $u, \varrho, p$ совершенно та же, что и в акустической (слабой) волне § II, распространяющейся в положительном направлении. Отсюда мы сразу найдем связь между приобретенной газом скоростью и его состоянием: Для идеального газа с постоянной теплоемкостью, обозначая $c_{p} / c_{t}=k$, легко вычислить интегралы: Замечательна следуюшая форма решения: имея в виду, что получим: Для того чтобы найти распределение в пространстве интересующих нас величин, т. е. структуру волны, мы должны использовать алгебраическое соотношение, в которое входит пространственная координата $\xi, u-\xi=-c$. Рис. 17. Характеристики уравнений газодинамики: линии в плоскости координата ( $x$ ) — время (t) $O A, O K$, $O L, O B$. Вдоль них сохраняютея все величины, характеризующие движение и состояние газа, в рассматриваемом случае возмущения, вызванного двияением поршвя. Двизение поршня изображаетея линией $\Pi$, движение отдельных частиц газа — пунктирными линиями. При заданной скорости движения поршня вся картина движения (рис. 18) в делом конструируется из двух тривиальных областей: невозмущенного газа (I) и газа, прилегающего к поршню и движущегося с постоянной во всей области (III) скоростью, и области возмущения (II)-того, что можно назвать волной, в которой все величины меняются от своих значений в одной тривиальной области до эначений в другой тривиальной области. В каждой тривиальной (I, III) области $\frac{d x}{d \xi}=\frac{d Q}{d \xi}=\frac{d u}{d \xi}=\frac{d c}{d \xi}=0, \quad u-\xi Картина распределения скорости и давления в пространстве, представленная на рис. 18 , соответствует распределению в переменных $t, x$ рис. 17 . В точках $A$ и $B$ сами значения скорости и давления непрерывны. Однако их производные терпят разрыв. Поэтому точки $A$ и $B$ называют иногда точками (поверхностями в трехмерном пространстве) слабого разрыва, волнами ускорения. На рис. 17 представлено в плоскости $t, x$ движение поршня и линии, вдоль которых сохраняется постоянное яначение давления и скорости, так называемые характеристики задачи; к ним принадлежат и линии, отвечающие перемешению точек $A$ и $B$ в зависимости от времени. Наконеџ, пунктиром показаны траектории отдельных частиџ газа. В построении рассматриваемого режима, в котором все величины зависят от одного отношения $x / t$, мы исходили из того, что задача не содержит никаких величин размерности длины или времени. В частности, существенно было предположение о неограниченном простирании газа в область $x>0$. Характер найденного решения позволяет смягчить это требование: если нас интересует движение газа в течение первых $t_{0}$ секунд после начала движения поршня, возмущение (крайняя точка $A$ ) успеет распространиться лишь на расстояние $c_{0} t_{0}$, и для пригодности нашего решения нужно только, Рис. 19. Схема опыта нестаџионарного втекания газа в вакуум. чтобы вторая стенка, ограничивающая газ справа, находилась на расстоянии, большем $c_{0} t_{0}$. Таким образом, в любых геометрических условиях наше решение представляет интерес для описания начального состояния движения газа. Связь между скоростью и давлением газа и прямолинейность характеристик сохраняются и в более обшем случае при любом движении поршня в сторону $x<0$ (влево, если газ находится справа от поршня, ср. § XIV) с непостоянной скоростью, при котором (движении) ускорение направлено в ту же сторсну, $d^{2} x_{\text {II }} / d t^{2}<0$. Это показывается методом характеристик, в рассмотрение которого мы не можем здесь входить. Связь (VI-11) сохраняется до тех пор, пока в результате отражения от другой стенки или иного возмущения не появляется распространение волн в обратном направлении, для которых (ср.формулы выше или § II) имеет место другой знак в выражении gcdu $= \pm d p$. Любопытно полуненное нами значение максимальной скорости движения газа при его расширении: для идеального газа из нашей формулы — $u=\frac{2}{k-1}\left(c_{0}-c\right)$ мы видим, что скорость движения не может превысить $-u_{\max }=\frac{2}{k-1} c_{0}$; давление на поршень при скорости, меньшей предельной, дается формулой Для двухатомного газа ( $c_{p} / c_{v}=1.4$ ) максимальная скорость равна пятикратной скорости звука в исходном невозмущенном газе. Нетрудно видеть, что при этой скорости поршня давление на него в точности равно нулю; иными словами, данный режим описывает истечение в вакуум газа, который был ранее закрыт перегородкой, внезапно вынутой в некоторый момент (рис. 19). Для воздуха найдем $p=p_{0}\left(1-0.2 \frac{-u}{c_{0}}\right)^{7}$ Любопытно сравнить весь ход кривых связи скорости движения и состояния вещества в стајионарном истечении (§ III) и в волне разрежения, расширяющейся со временем, рассмотренной выше. В обоих случаях расширение каждого әлемента объема идет при постоянной энтропии, так что связь между различными величинами, характеризующими состояние газа, одинакова: при $k=7 / 5 \frac{c}{c_{0}}=\left(\frac{T}{T_{0}}\right)^{1 / 2}=$ Рис. 20. Зависимость безразмерной скорости $\varphi$ от безразмерной скорости звука $\gamma$ для двухатомного гаяа, $k=1.4 ;$ (VI-17) $=\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{1 / 7}=\left(\frac{\varrho}{\varrho_{0}}\right)^{1 / 5}$. для стащионарного истечения; (VI-16) для втекания в опыте рис. $19 ; M A$ и пунктир — для втекания в опыте рис. 21. В стаџионарном истечении [см. формулы (III-12) и (III-18)] На рис. 20 последние два уравнения для $K=1.4$ показаны графически сплошными линиями. При малых изменениях скорости звука (при $\gamma$, близкой к 1 ), т. е. при малом изменении давления, скорость в стадионарном истечении эначительно больше, чем в волне разрежения. Соотношение становится обратным при малом $\gamma$, малом давлении. Наибольшая скорость получится, если скомбинировать стадионарное и нестаџионарное истечение так, как показано пунктирной линией на рис. 20. $\mathrm{B}$ точке касания $A$ как раз достигаются критические условия стаџионарного истечения, $\varphi=\gamma$. Если вместо опыта, показанного на рис. 19, вынимать перегородку или пробку, закрывающую конец откачанной трубки (рис.21), то во входном сечении $D \partial^{\prime}$ весьма быстро осуществится стаџионарное истечение (отрезок $M A$ на рис. 20), дальше по трубке пойдет расширяющаяся волна разрежения (пунктир рис. 20). Таким образом, в условиях опыта рис. 21 возможно достижение ९ис. 21. Схема опыта нестационарного втекания газа в вакуум. Пен закругленном входе возможно превышение скорости, достигаемой в опыте рис. 19. Впервые численное значение максимальной скорости истечения ( $5 c_{0}$ ) было найдено Ирншоу в 1860 г. [49]. Спустя 17 лет, оно независимо было найдено Гюгонио в его известных мемуарах о распространении возмущения по жидкости [56]. Гюгонио указывает также на эначение этого расчета для внутренней баллистики. Величина $2 c_{0} /(k-1)$ представляет собой, очевидно, максимальное значение скорости, которую может приобрести снаряд, выталкизаемый пороховыми газама, в том случае, если порох сгорает мгновенно и в начальный момент движения снаряда пороховые газы находятся в покое и скорость звука в покоящихся газах равна $c_{0}$ [85]. Детальные расчеты движения снаряда в стволе орудия, расчет массы заряда, необходимой для создания заданной скорости снаряда при минимальной длине ствола, и учет неидеальности продуктов горения пороха быліи проделаны Ю. Б. Харитоном и автором. Любопытно, что максимальная скорость истечения в стационарном потоке значительно меньше: она не превышает чо в случае $k=1.4$ даст $u_{\max }=c_{0} \sqrt{5} \simeq 2.2 c_{0}$, вместо $5 c_{0}$ внєстаџионарном истечении. В литературе встречаются ошибочные попытки отождествления максимальной скорости снаряда с величиной $u_{\text {max }}^{\prime}$, которая значительно меньше истинной (Лангвейлер [65]). При попытке найти в зависимости от $x / t$ режим, описывающий сжатие газа поршнем ( $w>0$ ), мы сталкиваемся с непреодолимой трудностью: наше уравнение приводит к режиму, в котором ряду значений координаты отвечают сразу три значения скорости и давления. Действительно, уравнения попрежнему дают $\frac{d u}{d \xi}>0$; формально, следуя тем же путем, что и при рассмотрении волны разрежения, мы приходим к распределению давления и скорости, изображенному на рис. 22. Очевидно, что такой режим физически неосуществим. Трудность, на которую мы наталкиваемся, явилась исходной точкой для построения теории ударной волны, к изложению которой мы теперь переходим.
|
1 |
Оглавление
|