Уже во Введении мы говорили о том, что в гаэовой динамике основной константой движушегося вешества является некая скорость-скорость распространения возмупений, скорость звука. Если отвлечься от диссипативных продессов, вещество не имеет ни характеристической длины, ни характеристического времени. Из молекулярно-кинетической теории газов следует, что при введении диссипативных величин, таких, как вязкость или теплопроводность, в комбинаџии с характеристическим вначением скорости звука, мы получим в качестве характеристических значений длины и времени длину свободного пробега молекул и время свободного пробега, т. е. длину и время чрезвычайно малые. Отсюда следует, что если нас не интересуют микропроџессы, протекающие на расстоянии и за времена порядка длины и времени свободного пробега молекул, если, далее, мы зададимся начальными и граничными условиями движения, не содержаџими ни характеристической длины, ни характеристического
времени, то мы придем к особому, весьма важному классу движений. Поскольку в уравнениях движения и в начальных и в граничных условиях мы имеем только характеристические значения скорости, но не длины или времени, сами независимые переменные – координата и время – смогут войти в решение уравнений лишь в комбинаџии размерности скорости $x / t$. Иными словами, мы ожидаем решений, которые будут меняться, оставаясь подобными самим себе (автомодельными). С ростом времени, отсчитываемого от момента начала движения, сам характер движения меняться не будет, а будут лишь пропорџионально времени увеличиваться масштаб и размер области, охваченной движением. В соответствии с этим мы ожидаем, что все величины будут зависеть от одной лищь комбинации переменных $x / t$, и сможем от рассмотрения дифференциальных уравнений в частных производных для функций двух переменных – координаты и времени – перейти к обыкновенным дифференџиальным уравнениям в случае движения вдоль одной координаты. ${ }^{1}$

Напишем эти уравнения; обозначим $\xi=x / t$ и составим сразу формулы преобразования к новой переменной:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{1}{t} \frac{d}{d \xi} ; \quad \frac{\partial}{\partial t}=-\frac{x}{t^{2}} \frac{d}{a^{\prime} \xi} ; \\
\frac{d}{d t}=\frac{\partial}{\partial t}+u \frac{\partial}{\partial x}=\frac{1}{t}(u-\xi) \frac{d}{d \xi} .
\end{array}
\]

Как это принято в гидродинамике, $\frac{\partial}{\partial t}$ есть знак локальной (в данном месте) производной по времени, $\frac{d}{d t}$ – субстанџиальная (т. е. для данного, движушегося со скоростью $u$ объема) производная.

Если некоторая интересующая нас величина $f$ есть функџия от новой переменной $\xi$, т. е.
\[
f=f(x, t)=f\left(\frac{x}{t}\right)=f(\xi),
\]

то мы әлементарно получим следующие формулы:
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{t} \frac{d f}{d \xi} ; \quad \frac{\partial f}{\partial t}=-\frac{\xi}{t} \frac{d f}{d \xi} ; \quad \frac{d f}{d t}=\frac{u-\xi}{t} \frac{d f}{d \xi} .
\]

Преобразуя с помощью этих формул наши основные урав-
I Такой прием упрэщения уравнений мы встречаем у Власова[3]. Oн использован также Шелкиным и автором [9].

нения (§ $\mathrm{I}$ ), мы получим уравнение сохранения вещества и уравнение движения в следующем виде:
\[
\begin{aligned}
\frac{d \varrho}{d t} & =-\varrho \frac{\partial u}{d x} \rightarrow(u-\xi) \frac{d \varrho}{d \xi}=-\varrho \frac{d u}{d \xi}, & \text { (VI-4) } \\
\varrho \frac{d u}{d t} & =-\frac{\partial p}{\partial x} \rightarrow(u-\xi) \rho \frac{d u}{d \xi}=-\frac{d p}{d \xi} . & \text { (VI-5) }
\end{aligned}
\]

Как и следовало ожидать, сами величины $x$ и $t$ удается полностью исключить из уравнений.

Построенные уравнения могут быть удовлетворены в сделанном нами предположении, что все величины $u, p$, $\varrho$ суть функџии только комбинаџии $\xi=x / t$, но не $x$ и $t$ в отдельности.

Покажем теперь пример начальных и граничных условий не содержащих также величин $x, t$ в отдельности. Представим себе бесконечную плоскость, которая начинает двигаться в момент $t=0$ с равномерной скоростью $w$, так что координата плоскости $x_{n}=w t, \frac{x_{n}}{t}=w$, где $w<0$ (что означает движение плоскости влево). Рассматриваемый газ находится справа от плоскости в расширяется при ее движении (см. рис. 18).

Будем искать решение наших уравнений, полагая до момента $t=0$ весь газ покоящимся и имеющим одинаковые постоянные значения плотности и давления. После начала движения поршня при $t>0$ мы налагаем условие, чтобы частиџы газа, прилегающие к поршню, двигались со скоростью поршня.

Относительно пространства, ваполненного гагом, в котором происходит распространение вызванного движением поршня возмушения, мы полагаем, что это пространство неограниченно простирается в сторону $x>0$; при әтом начальные условия не содержат никакого определенного \& начения длины, граничные условия формулируем только на поверхности поршня; там они содержат только задание скорости движения поршня $w$.

Мы рассмотрим отдельно в конџе параграфа вопрос о том, в какой мере решение, зависящее от $x / t$, которое мы ищем, может быть использовано для задач с конечнсй протяженностью заполненного газом пространства.

Сопоставляя выписанные выше уравнения сохранения вещества и движения, мы получим

и отсюда далее
\[
(u-\xi)^{2} \frac{d \varrho}{d \xi}=\frac{d p}{d \xi}
\]
\[
\left[(u-\xi)^{2}-\frac{d p}{d \varrho}\right] \frac{d \varrho}{a \xi}=0 .
\]

Последнее уравнение дает возможность построить два вида решения: первый вид – совершенно тривиальный, $\varrho=$ const –

отвечает $p, c, \varrho, u=$ const, т. е. движению всего газа как џелого; второй вид решения требует
\[
(u-\xi)^{2}= \pm \sqrt{\frac{d p}{d o}}= \pm c,
\]
(VI-8)

где $\boldsymbol{c}$-скорость звука.
Выберем в последней формуле знак $u-\xi=-c ; \xi=c+u$, отвечаюший рассмотрению движения с, правой стороны от поршня, т. е. возмущения, распространяющегося вправо.

Значение $\xi$, а следовательно, и все значения $p, \varrho, u$, зависящие от одного $\xi$, постоянны на линиях $\xi=c+u, x=(c+u) t$, на так называемых характеристиках уравнений газодинамики. В рассматриваемой задаче все характеристики суть прямые, выходящие из начала координат $x=0, t=0$, т. е. из точки, в которой произошло возмущение (рис. 17).

Используя найденное соотношение $u-\xi=-c$, в котором $c$ полностью определяется состоянием вещества, преобразуем уравнения движения (VI-4) и (VI-5):
\[
c d \varrho=\varrho d u ; \quad \varrho c d u=d p .
\]

Оба уравнения эквивалентны, так как $d p=c^{2} d \varrho$. Связь $u, \varrho, p$ совершенно та же, что и в акустической (слабой) волне § II, распространяющейся в положительном направлении.

Отсюда мы сразу найдем связь между приобретенной газом скоростью и его состоянием:
\[
\boldsymbol{u}=\int_{P_{0}}^{\rho} \frac{c d \varrho}{\varrho}=\int_{p_{0}}^{\rho} \frac{d p}{\varrho c} .
\]

Для идеального газа с постоянной теплоемкостью, обозначая $c_{p} / c_{t}=k$, легко вычислить интегралы:
\[
\begin{array}{c}
p=p_{0}\left(\frac{\varrho}{\varrho_{0}}\right)^{k} ; \quad c^{2}=k \frac{p}{\varrho}=c_{0}{ }^{2}\left(\frac{\varrho}{\varrho_{0}}\right)^{k-1} ; \\
u=\frac{2 k p_{0}}{(k-1) \varrho_{0}}\left[\left(\frac{\varrho}{\varrho_{0}}\right)^{\frac{k-1}{8}}-1\right] .
\end{array}
\]

Замечательна следуюшая форма решения: имея в виду, что
\[
\ln c=\frac{k-1}{2} \ln \varrho+\mathrm{const}, \quad \frac{d c}{c}=\frac{k-1}{2} \frac{d \varrho}{\varrho}, \quad \text { (VI-12), }
\]

получим:
\[
u=\int \frac{c d \varrho}{\varrho}=\frac{2}{k-1} \int d c=\frac{2}{k-1}\left(c-c_{0}\right) .
\]
(VI-13)

Для того чтобы найти распределение в пространстве интересующих нас величин, т. е. структуру волны, мы должны использовать алгебраическое соотношение, в которое входит пространственная координата $\xi, u-\xi=-c$.
В случае более сложной связи $p$ и $\varrho$ продифференцируем последнее соотношение по $\xi$ :
\[
\frac{d u}{d \xi}+\frac{d c}{d \xi}=1
\]

Рис. 17. Характеристики уравнений газодинамики: линии в плоскости координата ( $x$ ) – время (t) $O A, O K$, $O L, O B$. Вдоль них сохраняютея все величины, характеризующие движение и состояние газа, в рассматриваемом случае возмущения, вызванного двияением поршвя. Двизение поршня изображаетея линией $\Pi$, движение отдельных частиц газа – пунктирными линиями.
и, подставляя $u=u(\varrho)$, $c=c(\varrho)$, получим выражение для $d g ! d \xi$ (с тем же успехом можно, впрочем, сразу искать уравнение для другого параметра, например $p$ или $c$ ).
В отмеченном случае идеального газа постоянной теплоемкости уравнения чрезвычайно просты.
Подставляя в (VI-14) $d u=\frac{2}{k-1} d c$, найдем:
\[
\frac{d u}{d \xi}=\frac{2}{k+1} ; \quad \frac{d c}{d \xi}=\frac{k-1}{k+1} .
\]
(VI-15)
Скорость движения и скорость звука в волне линейно связаны с величиной $\xi$ – скоростью распространения состояния.

При заданной скорости движения поршня вся картина движения (рис. 18) в делом конструируется из двух тривиальных областей: невозмущенного газа (I) и газа, прилегающего к поршню и движущегося с постоянной во всей области (III) скоростью, и области возмущения (II)-того, что можно назвать волной, в которой все величины меняются от своих значений в одной тривиальной области до эначений в другой тривиальной области. В каждой тривиальной (I, III) области $\frac{d x}{d \xi}=\frac{d Q}{d \xi}=\frac{d u}{d \xi}=\frac{d c}{d \xi}=0, \quad u-\xi
eq c$. Напротив, в волне возмушежения, зависящие от отношения координат
57
ния $u-\xi=-c$, и к ней относятся формулы (VI-8), (VI-14), (Vl-15). Нетрудно сконструировать режим для любого заданного значения скорости движения поршня в том случае, если скорость движения поршня отриџательна.

Картина распределения скорости и давления в пространстве, представленная на рис. 18 , соответствует распределению в переменных $t, x$ рис. 17 .
Рис. 18. Волна разрежения: мгновенное распределение давления $p$ и скорости $u$ в зависимости от координаты $x$. $\mathrm{C}$ ростом времени $t$ с момента начала движения поршня все распределение пропорцнонально растягивается по оси абсуисе. IIтриховка слева – поршень $\Pi$.
Все масштабы вдоль оси $x$ рис. 18 со временем растут в согласии с видом решения, зависящего от отношения $\boldsymbol{x} / t$. Собственно волна заключена в области $\overrightarrow{A B}(I I)$. Вправо от $A$ простирается невозмущенный газ в состоянии, в котором весь газ находился до начала движения поршня (I). Между поршнем $\Pi_{\text {и точкой }} B$ находится область газа, движущегося со скоростью поршня, причем давление и скорость в интервале $\Pi-B$ постоянны („тривиальная область\” III). Точка $A$ движется со скоростью $c_{0}$ вправо. Точка $B$ движется вправо со скоростью $c+w$, где $\boldsymbol{w}$ есть скорость поршня, равная скорости газа в точке $B$; напомним, что $w<0$, а $c$-скорость звука в газе. При большой скорости порщня величина $c-w$ может стать отридательной (в случае идеального газа это произойдет при $|w|>\frac{2}{k+1} c_{0}$ ), и точка $B$ окажется слева от оси ординат.

В точках $A$ и $B$ сами значения скорости и давления непрерывны. Однако их производные терпят разрыв. Поэтому точки $A$ и $B$ называют иногда точками (поверхностями в трехмерном пространстве) слабого разрыва, волнами ускорения.

На рис. 17 представлено в плоскости $t, x$ движение поршня и линии, вдоль которых сохраняется постоянное яначение давления и скорости, так называемые характеристики задачи; к ним принадлежат и линии, отвечающие перемешению точек $A$ и $B$ в зависимости от времени. Наконеџ, пунктиром показаны траектории отдельных частиџ газа.

В построении рассматриваемого режима, в котором все величины зависят от одного отношения $x / t$, мы исходили из того, что задача не содержит никаких величин размерности длины или времени. В частности, существенно было предположение о неограниченном простирании газа в область $x>0$.

Характер найденного решения позволяет смягчить это требование: если нас интересует движение газа в течение первых $t_{0}$ секунд после начала движения поршня, возмущение (крайняя точка $A$ ) успеет распространиться лишь на расстояние $c_{0} t_{0}$, и для пригодности нашего решения нужно только,

Рис. 19. Схема опыта нестаџионарного втекания газа в вакуум. чтобы вторая стенка, ограничивающая газ справа, находилась на расстоянии, большем $c_{0} t_{0}$. Таким образом, в любых геометрических условиях наше решение представляет интерес для описания начального состояния движения газа. Связь между скоростью и давлением газа и прямолинейность характеристик сохраняются и в более обшем случае при любом движении поршня в сторону $x<0$ (влево, если газ находится справа от поршня, ср. § XIV) с непостоянной скоростью, при котором (движении) ускорение направлено в ту же сторсну, $d^{2} x_{\text {II }} / d t^{2}<0$. Это показывается методом характеристик, в рассмотрение которого мы не можем здесь входить. Связь (VI-11) сохраняется до тех пор, пока в результате отражения от другой стенки или иного возмущения не появляется распространение волн в обратном направлении, для которых (ср.формулы выше или § II) имеет место другой знак в выражении gcdu $= \pm d p$.

Любопытно полуненное нами значение максимальной скорости движения газа при его расширении: для идеального газа из нашей формулы – $u=\frac{2}{k-1}\left(c_{0}-c\right)$ мы видим, что скорость движения не может превысить $-u_{\max }=\frac{2}{k-1} c_{0}$; давление на поршень при скорости, меньшей предельной, дается формулой
\[
\frac{p}{p_{0}}=\left(1-\frac{k-1}{2} \cdot \frac{-u}{c_{0}}\right)^{\frac{2 k}{k-1}} .
\]

Для двухатомного газа ( $c_{p} / c_{v}=1.4$ ) максимальная скорость равна пятикратной скорости звука в исходном невозмущенном газе. Нетрудно видеть, что при этой скорости поршня давление на него в точности равно нулю; иными словами, данный режим описывает истечение в вакуум газа, который был ранее закрыт перегородкой, внезапно вынутой в некоторый момент (рис. 19). Для воздуха найдем $p=p_{0}\left(1-0.2 \frac{-u}{c_{0}}\right)^{7}$

Любопытно сравнить весь ход кривых связи скорости движения и состояния вещества в стајионарном истечении (§ III) и в волне разрежения, расширяющейся со временем, рассмотренной выше. В обоих случаях расширение каждого әлемента объема идет при постоянной энтропии, так что связь между различными величинами, характеризующими состояние газа, одинакова:
\[
\begin{array}{c}
S=\text { const; } \frac{c}{c_{0}}=\left(\frac{T}{T_{0}}\right)^{\frac{1}{2}}= \\
=\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{\frac{k-1}{2 k}}=\left(\frac{\varrho}{\varrho_{0}}\right)^{\frac{k-1}{2}},
\end{array}
\]

при $k=7 / 5 \frac{c}{c_{0}}=\left(\frac{T}{T_{0}}\right)^{1 / 2}=$ Рис. 20. Зависимость безразмерной скорости $\varphi$ от безразмерной скорости звука $\gamma$ для двухатомного гаяа, $k=1.4 ;$ (VI-17) $=\left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{1 / 7}=\left(\frac{\varrho}{\varrho_{0}}\right)^{1 / 5}$. для стащионарного истечения; (VI-16) для втекания в опыте рис. $19 ; M A$ и пунктир – для втекания в опыте рис. 21.
В качестве переменной, характеризующей состояние вещества, удобно выбрать величину $\gamma=c / c_{0}$. Отнесенная к начальной скорости звука скорость движения $\varphi=u / c_{0}$ выражается в волве разрежения (см. VI-13) уравнением:
\[
\varphi=\frac{2}{k-1}(1-\gamma) ; \quad k=1.4, \quad \varphi=5(1-\gamma) .
\]

В стаџионарном истечении [см. формулы (III-12) и (III-18)]
\[
\varphi=\sqrt{\frac{2}{k-1}\left(1-\gamma^{2}\right)} ; k=1.4, \varphi=\sqrt{5\left(1-\gamma^{2}\right)} .
\]

На рис. 20 последние два уравнения для $K=1.4$ показаны графически сплошными линиями. При малых изменениях скорости звука (при $\gamma$, близкой к 1 ), т. е. при малом изменении давления, скорость в стадионарном истечении эначительно больше, чем в волне разрежения. Соотношение становится обратным при малом $\gamma$, малом давлении. Наибольшая скорость получится, если скомбинировать стадионарное и нестаџионарное истечение так, как показано пунктирной линией на рис. 20. $\mathrm{B}$ точке касания $A$ как раз достигаются критические условия стаџионарного истечения, $\varphi=\gamma$. Если вместо опыта, показанного на рис. 19, вынимать перегородку или пробку, закрывающую конец откачанной трубки (рис.21), то во входном сечении $D \partial^{\prime}$ весьма быстро осуществится стаџионарное истечение (отрезок $M A$ на рис. 20), дальше по трубке пойдет расширяющаяся волна разрежения (пунктир рис. 20). Таким образом, в условиях опыта рис. 21 возможно достижение

९ис. 21. Схема опыта нестационарного втекания газа в вакуум. Пен закругленном входе возможно превышение скорости, достигаемой в опыте рис. 19.
скорости истечения в вакуум еше большей, чем в опыте рис. 19; в случае двухатомного газа получим $5.5 c_{0}$ вместо $5 c_{0}$.
Таким образом, относяшиеся к опытам Кранца и Шардина [44] расчеты последнего [84] подлежат исправлению, так как в его опытах входное отверстие было закругленным, как на рис. 21 , тогда как расчет Шардина, приводящий к предельному значению $5 c_{0}$, относится к условиям рис. 19 .

Впервые численное значение максимальной скорости истечения ( $5 c_{0}$ ) было найдено Ирншоу в 1860 г. [49]. Спустя 17 лет, оно независимо было найдено Гюгонио в его известных мемуарах о распространении возмущения по жидкости [56]. Гюгонио указывает также на эначение этого расчета для внутренней баллистики. Величина $2 c_{0} /(k-1)$ представляет собой, очевидно, максимальное значение скорости, которую может приобрести снаряд, выталкизаемый пороховыми газама, в том случае, если порох сгорает мгновенно и в начальный момент движения снаряда пороховые газы находятся в покое и скорость звука в покоящихся газах равна $c_{0}$ [85].

Детальные расчеты движения снаряда в стволе орудия, расчет массы заряда, необходимой для создания заданной скорости снаряда при минимальной длине ствола, и учет неидеальности продуктов горения пороха быліи проделаны Ю. Б. Харитоном и автором.

Любопытно, что максимальная скорость истечения в стационарном потоке значительно меньше: она не превышает
\[
u_{\max }^{\prime}=\sqrt{2 I_{0}}=\sqrt{\frac{2}{k-1}} c_{0},
\]

чо в случае $k=1.4$ даст $u_{\max }=c_{0} \sqrt{5} \simeq 2.2 c_{0}$, вместо $5 c_{0}$ внєстаџионарном истечении. В литературе встречаются ошибочные попытки отождествления максимальной скорости снаряда с величиной $u_{\text {max }}^{\prime}$, которая значительно меньше истинной (Лангвейлер [65]).

При попытке найти в зависимости от $x / t$ режим, описывающий сжатие газа поршнем ( $w>0$ ), мы сталкиваемся с непреодолимой трудностью: наше уравнение приводит
Рис. 22. Не имеющее физического смысла распределение давления и скорости, получающееся при решении уравнений без диссипативных сил в случае сжатия газа поршнем (ср. рис. 18).

к режиму, в котором ряду значений координаты отвечают сразу три значения скорости и давления. Действительно, уравнения попрежнему дают $\frac{d u}{d \xi}>0$; формально, следуя тем же путем, что и при рассмотрении волны разрежения, мы приходим к распределению давления и скорости, изображенному на рис. 22. Очевидно, что такой режим физически неосуществим. Трудность, на которую мы наталкиваемся, явилась исходной точкой для построения теории ударной волны, к изложению которой мы теперь переходим.