Рассмотрим распространяющуюся по газу ударную волну. Здесь нас не интересует точная структура фронта ударной волны. Мы предполагаем только, что если на самом деле и нет разрыва в строгом смысле слова (рис. 23a), то во всяком случае все изменение давления, плотности и т. п. происходит в очень узкой области (рис. 23 б).

В элементарном выводе мы ограничимся рассмотрением состояния вещества до и после прохождения через него волны, применяя к этим состояниям уравнения сохранения. При этом мы предполагаем, что сама область волны $A-B$ (рис. 23 б) не растет с течением времени, вследствие чего значения давления, плотности и других величин внутри самого „разрыва“, растянутого на длину $A B$, должны будут выпасть при составлении уравнений сохранения, поскольку волна перемещается, но количество вещества, количество энергии, количество движения, заключенные в волне между плоскостями $A$ и $B$, малы, и изменением их во всяком случае можно пренебречь.

Для простоты перейдем к системе координат, движушейся вместе с ударной волной, иными словами, будем рассматривать покояшуюся волну, в которую, с одной стороны, через
Рис. 23. Идеализированная (а) и истинная (6) структура ударной волны. плоскость $A$ втекает вешество
в состоянии, обозначаемом индексом 1 , а с другой стороны, справа вытекает вещество, все величины для которого отметим индексом 2. Для принятых контрольных поверхностей составим уравнения сохранения. Мы примем при этом, что вешество движется нормально к поверхности волны. ${ }^{1}$

Скорость $u_{1}$-скорость, с которой вешество втекает в покоящуюся ударную волну, — совпадает, очевидно, со скоростью распространения волны относительно несжатого исходного вещества, которую часто обозначают $D$. Скорость $u_{2}$ есть скорость движения водны относительно сжатого в волне вещества. Наконеџ, разность $u_{1}-u_{2}$, не зависящая от выбора движущейся или покоящейся системы кординат, равна изменению скорости движения газа при прохождении волны; в частности, в системе, в которой исходное вешество (индекс 1) покоится, величина скорости после прохождения волны
\[
|u|=u_{1}-u_{2} ; \quad u_{2}=D-|u| . \quad \text { (VIII-1a) }
\]
1 Скорость движения, тангенџиального к поверхностям $A$ и $B$, должнд сохраняться при прохождении вешества через волну, как по величине, так и пэ направлению. Следовательно, тангендильное движение может быть полностью исключено из рассмотрения соответствующим выбором равномерно движущейся системы координат.

Приравнивая количество втекающего в единицу времени вещества количеству вытекающего, получим первое уравнение:
\[
\varrho_{1} u_{1}=\varrho_{2} u_{2} .
\]

Далее составим для объема, заключенного между $A$ и $B$, выражение II закона движения Ньютона, приравнивая ивменение количества движения в единиџу времени импульсу сил давления. Втекаюшее в единицу времени количество вещества $\varrho_{1} u_{1}$ обладает скоростью $u_{1}$, так что втекаюшее в единиџу времени количество движения равно $\varrho_{1} u_{1}{ }^{2}$. Разность количества движения вытекающей жидкости $\varrho_{2} u_{2}{ }^{2}$ и количества движения втекающей жидкости (т. е. прираџение количества движения) должна равняться импульсу сил давления, который составляет, также на единиџу поверхности, $p_{1}-p_{2}$. Так мы получаем втоғое уравнение сохранения:
\[
p_{1}+\varrho_{1} u_{1}^{2}=p_{2}+\varrho_{2} u_{2}^{2} .
\]

Наконец, составим уравнение сохранения энергии. В нем мы должны будем учесть три пары величин: внутреннюю әнергию втекающего и вытекающего вещества, кинетическую энергию того и другого и работу, производимую силами давления на контрольные поверхности $A$ и $B$. Окончательно, количество втекающей энергии вместе с работой, производимой силами давления на поверхности $A$, равно
\[
\begin{aligned}
\varrho_{1} u_{1}\left(E_{1}+\frac{u_{1}^{2}}{2}\right) & +p_{1} u_{1}=\varrho_{1} u_{1}\left(E_{1}+\frac{p_{1}}{\varrho_{1}}+\frac{u_{1}^{2}}{2}\right)= \\
& =\varrho_{1} u_{1}\left(I_{1}+\frac{u_{1}^{2}}{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Это выражение мы должны приравнять такому же выражению с индексом 2 , которое даст нам количество энергии, уносимой вытекающим веществом в единиџу времени, и работу, производимую газом против сил давления на контрольной поверхности $B$. Сокращая полученное уравнение на величину $\varrho_{1} u_{1}=\varrho_{2} u_{2}$, т. е. относя все величины не к единице поверхности ударной волны и единиџе времени, как это мы делали раныше, а к единице массы протекающего вещества, мы получим третье основное уравнение в следующем виде:
\[
I_{1}+\frac{u_{1}^{2}}{2}=I_{2}+\frac{u_{2}^{2}}{2} .
\]

Здесь мы снова ввели энтальпию $I=E+p v=E+\frac{p}{\underline{q}}$. Все уравнения симметричны относительно перестановки индексов 1 и 2. Из трех уравнений нетрудно исключить две скорости $u_{1}$ и $u_{2}$ с тем, чтобы получить связь между величинами давления и плотности до и после волны, так называемое уравнение адиабаты Гюгонио.

Из первых двух уравнений, не привлекая уравнения сохранения энергии, найдем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{u_{1}}{u_{2}}=\frac{\varrho_{2}}{\varrho_{1}} ; \quad u_{1}^{2}=\frac{\varrho_{2}}{\varrho_{1}} \frac{p_{2}-p_{1}}{\varrho_{2}-\varrho_{1}} ; \quad u_{2}^{2}=\frac{\varrho_{1}}{\varrho_{2}} \frac{p_{1}-p_{2}}{\varrho_{1}-\varrho_{2}} \\
u_{1}^{2}-u_{2}^{2}=\frac{\left(\varrho_{1}+\varrho_{2}\right)\left(p_{1}-p_{2}\right)}{\varrho_{1} \varrho_{2}} .
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в последнее уравнение, получим искомое уравнение адиабаты Гюгонио:
\[
I_{1}-I_{2}=\frac{1}{2 \varrho_{1} \varrho_{2}}\left(\varrho_{1}+\varrho_{2}\right)\left(p_{1}-p_{2}\right), \quad \text { (VIII-5) }
\]

или
\[
E_{1}-E_{2}=\frac{1}{2 \varrho_{1} \varrho_{2}}\left(\varrho_{1}-\varrho_{2}\right)\left(p_{1}+p_{2}\right) . \quad \text { (VIII-6) }
\]

Для того чтобы отсюда получить в явном виде связь плотности и давления после сжатия в волне, необходимо выразить энтальпию или энергию через давление и плотность. Для идеального газа, теплоемкость которого мы считаем постоянной в интересуюшем нас интервале температуры между $T_{1}$ и $T_{2}$,
\[
I=c_{p} T=\frac{c_{p}}{R} R T=\frac{c_{p}}{R} p v=\frac{k}{k-1} \frac{p}{\varrho},
\]

мы получим посредством простых преобразований закон связи плотности и давления для вещества, проходящего через разрыв, уравнение адиабаты Гюгонио:
\[
\frac{\varrho_{2}}{\varrho_{1}}=\frac{(k+1) p_{2}+(k-1) p_{1}}{(k-1) p_{2}+(k+1) p_{1}} ; \quad \frac{p_{2}}{p_{1}}=\frac{(k+1) \varrho_{2}-(k-1) \varrho_{1}}{(k+1) \varrho_{1}-(k-1) \varrho_{2}} \text { (VIII-7) }
\]

Уравнения приобретают более простой вид, если повсюду, вместо плотности, ввести обратную величину удельного объема:
\[
\begin{array}{c}
\left.\begin{array}{c}
\frac{u_{1}}{u_{2}}=\frac{v_{1}}{v_{2}} ; \quad u_{1}^{2}=v_{1}^{2} \frac{p_{2}-p_{1}}{v_{1}-v_{2}} ; \quad u_{2}{ }^{2}=v_{2}^{2} \frac{p_{1}-p_{2}}{v_{2}-v_{1}} ; \\
u_{1}-u_{2}=\sqrt{\left(p_{1}-p_{2}\right)\left(v_{2}-v_{1}\right) ;} \\
u_{1}^{2}-u_{2}^{2}=\left(v_{1}+v_{2}\right)\left(p_{2}-p_{1}\right) ; \\
I_{1}-I_{2}=\frac{1}{2}\left(v_{1}+v_{2}\right)\left(p_{1}-p_{2}\right) ; \\
E_{1}-E_{2}=\frac{1}{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\left(p_{1}+p_{2}\right) ;
\end{array}\right\} \quad \text { (VIII-8) } \\
\frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{(k-1) p_{2}+(k+1) p_{1}}{(k+1) p_{2}+(k-1) p_{1}} ; \quad \frac{p_{2}}{p_{1}}=\frac{(k+1) v_{1}-(k-1) v_{2}}{(k+1) v_{2}-(k-1) v_{1}} \text { (VIII-10) }
\end{array}
\]
(VIII-8)
1 Постоянное слагаемое, которое появится в $I$, если теплоемкость ниже $T_{1}$, отличается от теплоемкости в интервале от $T_{2}$ до $T_{1}$, входящей

Может быть, логически более простым является другой, физически совершенно эквивалентный предыдущему, вывод уравнения адиабаты Гюгонио, в котором мы непосредственно исходим из рассмотренной ранее задачи о движении поршня в газе. В ятом случае нам не придется оперировать понятиями потока энергии и потока количества движения, что может представить некоторые преимущества для неискушенного читателя. поршнем в начале координат. В момент времени $t=0$ начнем двигать поршень с постоянной скоростью $w$ и будем искать режим движения, изображенный на рис. 24 , при котором впереди поршня с постоянной скоростью $D$ распространяется разрыв всех величин — плотности, скорости, давления. Справа, впереди разрыва, вешество совершенно не возмушено, сохраняет свое начальное давление $p_{1}$, начальную плотиость $\varrho_{1}$ и неподвижно. В промежутке между поршнем и разрывом вещество имеет какие-то другие, постоянные на всем
Рис. 24. Распределение давления в пространстве при движении ударной волны, вызванной сжатием газа поршнем. протяжении между поршнем и разрывом значения плотности $\varrho_{2}$ и давления $p_{2}$, и движется со скоростью, равной скорости поршня $u=w$.
Рассмотрим состояние, которое получится при таком режиме через время $t$. За это время разрыв уйдет на расстояние $D t$. Количество вешества, которое подверглось сжатию за это время, равно $\varrho_{1} D t$. Мы должны приравнять его количеству вещества, которое мы найдем в сжатом до плотности $\varrho_{2}$ газе между поршнем, продвинувшимся на расстояние $u t$, и разрывом:
\[
\varrho_{1} D t=\varrho_{2}(D-u) t .
\]

Указанное количество вещества приобрело скорость, равную скорости движения поршня. Общее количество движения, приобретенное газом, заключенным в трубке, за время $t$ составляет $\varrho_{1}$ Dut. Мы должны приравнять прирашение количества движения импульсу сил давления, т. е. произведению силы, равной разности давления, оказываемого поршнем, и противостоящего ему давления невозмущенного газа, на время действия силы:
\[
\varrho_{1} \text { Dut }=\left(p_{2}-p_{1}\right) .
\]

в формулы, может быть устранено соответствующим выбором точки отсчета внергии. Во всяком случае, постоянное слагаемое вышадает нз уравнения вида (VIII-5) и (VIII-6).

Наконед, приращение энергии вещества при сжатии мы приравниваем работе, производимой поршнем, т. е. работе, которую произвела внешняя сила, перемещающая поршень, за время $t$. Численно сила для площади поршня в $1 \mathrm{~cm}^{2}$ равна $p_{2}$, пройденный поршнем путь равен $u t$, работа равна $p_{2} u t$.
Так мы получим последнее уравнение — уравнение энергии:
\[
\varrho_{1} D t\left(E_{2}+\frac{u^{2}}{2}-E_{1}\right)=p_{2} u t .
\]

Очевидно, что әти уравнения совершенно тождественны ряду уравнений, которые мы вывели раньше, и получатся из них при переходе к системе координат, равномерно движущейся относительно системы, выбранной сейчас. При этом скорость распространения разрыва $D$ у нас ранее обозначалась $u_{1}$, так что теперь $D=u_{1}$, а скорость движения поршня $u=u_{1}-u_{2}$. Мы представляем читателю доказательство того, что последние три уравнения (VIII-11, VIII-12, VIII-13) приводят к такому же выражению адиабаты Гюгонио (VIII-5, VIII-6).