В § XIV мы вплотную подошли к задаче о дальнейшей судьбе разрыва, возникшего в месте соединения многих слабых ударных волн, – разрыва, не подчиняющегося уравнению Гюгонио. Обобщая эту задачу, поставим вопрос о поведении пооизвольного разрыва в следующей формулировке.

В начальный момент $t=0$ дана плоскость (поместим ее в начало координат $x=0$ ), на которой терпят скачок все характеризующие состояние и движәние газа величины $p, v, T, u$. По обе стороны плоскости разрыва все эти величины постоянны. Чем больше то расстояние, на котором еше можно считать постоянными все величины, тем дольше (во времени) будет правильно решение, к которому мы придем.

Поскольку в условиях задачи не содержится ни характеристической длины, ни характеристического времени, анализ § VI показывает, что следует искать движение, зависящее от одного отношения $x / t$. В упомянутом параграфе мы нашли это движение аналитически для распространения по газу волны разрежения. Для волны сжатия аналитическое решение приводило к нелепости – к необходимости осуществлеиия в одной и той же точке пространства одновременно трех различных значений давления и объема. Именно это явилось одним из исходных пунктов построения теории ударной волны. Зная теорию ударной волны, мы уже в состоянии решить обе частные задачи для начинающегося в момент времени $t=0$ движения поршня, которое приводит либо к волне разрежения, либо к ударной волне сжатия. Сейчас мы можем решить и общую задачу распространения произвольного разрыва. Мы будем конструировать решение из исследованных ранее волн разрежения и волн сжатия.

Отметим сперва определенную трудность: волна разрежения растространяется по газу со скоростью, равной скорости звука, волна сжатия распространяется, как мы видели, со скоростью, превышающей скорость звука; однако относительно уже сжатого газа ударная волна сжатия распространяется медленнее скорости звука в этом газе. Таким образом, мы располагаем только двумя волнами: одна волна, будь то волна разрежения или волна сжатия, распространяется в одну сторону, например, влево от плоскости, на ксторой имел место разрыв в начальный момент времени, другая волна распространяется в другую сторону – вправо. В одну сторону мы не можем направить больше одной волны. Действительно, если, например, направо распространяется ударная волна, то волна разрежения или тем более ударная волна, пущенная по газу, подвергшемуся сжатию, в том же направлении, должна обязательно догнать исходную ударную волну. Но так как обе волны должны выйти из одной точки $x=0$ одновременно, в момент времени $t=0$, когда был осуществлен разрыв (иначе говоря, все явление должно зависеть только от координаты $x / t$, а в әтом случае нельзя себе представить, чтобы одна волна догоняла другую), то в каждую сторону может итти не больше одной волны. Между тем, волна, распространяющаяся по газу, состояние которого задано, будь то волна разрежения или ударная волна, полностью определяется одним параметром. Так, например, если мы зададим отношение плотности до и после ударной волны, то этим самым полностью определится давление ударной волны (по адиабате Гюгонио), скорость распространения ударной волны, энтропия и все прочие величины для подвергшегося сжатию вешества. При этом для того чтобы мы имели дело именно с ударной волной, необходимо еше, чтобы плотность вешества превышала начальную плотность вешества, поскольку мы имеем дело с газами вдали от критической точки. Напротив, если мы зададим, что плотность вещества после прохождения волны меньше плотности вешества до волны, то из термодинамических соображений сразу можно эаключить, что здесь мы будем иметь дело не с ударной волной, а с постоянно расширяюџейся волной разрежения. Для волны разрежения снова изменение плотности полностью определяет изменение давления в волне, әнтропия газа в волне не меняется, скорость распространения волны равна в каждой точке скорости звука.

Таким образом, на первый взгляд в нашем распоряжении есть только два параметра, за которые можно выбрать изменение плотности в двух волнах, распространяющихся в две разные стороны. Между тем, нам нужен третий парамет для описания распространения произвольного разрыва. С одной стороны разрыва, например справа, нам были заданы три величины – давление, плотность, скорость в невозмущенном газе; в каждой волне мы располагаем одним параметром; имеются две волны, что дает два параметра; между тем, нам необходимо притти к произ. вольно заданным трем значениям величин, характеризующим состояние газа слева (например, давление, плотность и скорость с другой стороны разрыва). Мы приходим отсюда к необходимости существования еще одного разрыва или еще одной волны. Однако этот разрыв или волна должны иметь особое свойство: этот разрыв не должен распространяться относительно газа со звуковой скоростью. Такой разрыв можно представить себе лишь в том случае, если давление и скорость по обе стороны разрыва одинаковы. Лишь в этом случае от
Рис. 39. Распространение произвольного разрыва. Начальные состояния с обеих сторон разрыва описываютея точками $A$ и $B$. Вверх от $A$ и $B$ проведевы адиабаты Гюгонио $H_{A}$ и $H_{B}$, вниз – адиабаты Пуассона $P_{A}$ и $P_{B^{*}}$ разрыва не пойдут в обе стороны звуковые волны. При этом равенство скорости движения и давления, обеспечивающее механическое равновесие в разрыве особого рода, не препятствует тому, чтобы по обе стороны разрыва были различны температура, плотность и әнтропия газа. С помошью такого третьего разрыва, разрыва особого рода, мы и получаем возможность удовлетворить всем уравнениям, т. е. построить полное решение вопроса о дальнейшей судьбе эаданного в начальный момент проиявольного разрыва.

Зададимся прежде всего определенными значениями давления и удельного объема вешества.

В $p, v$ диаграмме рис. 39 пусть точка $A$ представляет состояние газа слева от разрыва (давление $p_{a}$ ), точка $B$ состояние газа справа от произвольного разрыва (давление $p_{b}$ ) в начальный момент $t=0$. Проследим теперь все движения, получающиеся при различных значениях скорости относительного движения веществ справа и слева от заданной в начальный момент плоскости разрыва. Через каждую точку $A$ и $B$ проводим вверх адиабату Гюгонио, по которой идет сжатие в ударной вомне, вниз – адиабату Пуассона, по которой изменяется состояние вещества при расширении в волне разрежения.

При изменении относительной скорости движения меняется давление $p$ в волнах, распрос граняющихся по газу первому и второму, одинаковое по обе стороны возникающего разрыва

Рис. 40. Типические схучаи распростравения произвольного разрыва при ваданных давлении и плотности по обе стороны разрыза, но различных относительных скоростях. разреш-вия; г – разкет двух мась гаяа со скоростью, превышающей сумму скор јетей истечения; воднкканот дво волны разрежения, і середине – такуум.

Стрзлки, показывающие скорэсти газа, давы в системе координат, в которой покоятся получаютиеся в волнах газы в середине рлсунков ( $a_{0}, b_{4}, a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}$ ).

особого рода. Однако вместо задания относительной скорости и нахождения давления $p$ удобнее поступить иначе и, задаваясь различными значениями $p$, конструировать соответствующий режим и находить, какое должно было быть относительное движение газов в начальный момент в состояниях, изображаемых точками $A$ и $B$ для того, чтобы было достигнуто заданное давление $p$.

Выберем давление $p_{0}$, превышающее как давление $p_{a}$, так и давление $p_{b}$ (рис. $40 a$ ). В этом случае и вправо и влево от произвольного разрыва пойдут ударные волны сжатия. Вешества в состоянии $a_{0}$ и $b_{0}$ граничат между собой, они разделены разрывом особого рода, в котором давление по обе стороны равно $p_{0}$, и должны быть равны между собой скорости движения вещества. Но так как вещество в состоянии $a_{0}$ движется относительно исходного вещества $A$ влево, а вешество $b_{0}$ точно так же в ударной волне движется относительно своего исходного вещества $B$ вправо-в сторону распространения ударной волны $B b_{0}$, то для того, чтобы скорости в состоянии $a_{0}$ и $b_{0}$ были равны между собой, необходимо, чтобы в начальном состоянии, в момент $t=0$, вешества $A$ и $B$ двигались навстречу, сталкиваясь друг с другом с большой скоростью. Ударные волны, распространяющиеся по обе стороны разрыва, мы получим в случае столкновения двух движущихся с большой скоростью навстречу масс вещества. Чем меньше взаимная скорость, с которой сталкиваются вещества $A$ и $B$, тем меньше должно быть давление $p_{0}$ в ударных волнах. Наконед, при достаточно малой скорости столкновения мы перейдем больше давления $p_{a}$, но меньше давления $p_{b}$. По вешеству $A$ движется ударная волна, по веществу $B$ – волна разрежения. Такой режим может быть осуществлен, в частности, и в том случае, если в начальный момент $t=0$ скорости движения вещества $A$ и вещества $B$ равны между собой, так что в начальный момент мы имеем только разрыв давления. Естественно в таком случае, что между веществами $A$ и $B$ возникнет область с промежуточным между $p_{a}$ и $p_{b}$ давлением. В этом случае вещество будет двигаться от большего давления $B$ в сторону меньшего давления $A$. При этом по веществу, в котором давление было меньше, пойдет ударная волна; напротив, по веществу, давление которого было больше, пойдет волна разрежения. Этот случай подробно рассмотрен ниже.

Вернемся к рис. 39 и будем продолжать разбор различных могущих представиться случаев. Выбирая $p_{2}$ меньше $p_{a}$ и $p_{b}$, мы получим волны разрежения, бегущие в обе стороны от первоначального разрыва (рис. 40 в). Такой режим осуществится в том случае, если в начальный момент вешество в состоянии $A$ и вещество в состоянии $B$ двигались в разные стороны от разрыва с достаточной скоростью. Наконед, в том случае, если относительная скорость, с которой двигались друг от друга в начальный момент вещество в состоянии $A$ и вещество в состоянии $B$, превышает $5\left(c_{A}{ }^{0}+c_{B}{ }^{0}\right)$, ${ }^{1}$ где $c_{A}{ }^{0}$ и $c_{B}{ }^{0}$ обозначают скорость звука в состоянии $A$ и в состоянии $B$, т. е. если скорость относительного движения вещества $A$ и вешества $B$ превышает сумму максимальных скоростей
1 Для двухатомного газа при $c_{p} / c_{v}=1.4$. В общем случае для этого понадоб дтся скорость, провышающая $\frac{2 c_{A}^{0}}{K_{A}-1}+\frac{2 c_{B}^{0}}{K_{B}-1}$ где $K_{A}$ и $K_{B}$–показатели адиабат газов $A$ и $B$.

истечения вещества $A$ и вещества $B$, то между веществом $A$ и веществом $B$ образуется вакуум (рис. 402 ).

В статье Щелкина и автора [9] и в более ранней работе Шардина [84] даны относящиеся к случаю начального разрыва давления без разрыва скорости (случай рис. 40б) подробные численные расчеты. Любопытно, что в том случае, если сжатым вешеством является водород, скорость звука в котором больше скорости звука во втором веществе низкого давления, например, в воздухе, ударная волна значительно мошнее, чем в том
Рис. 41а. Распространение разрыва, возникщего при соприкосновении покоящегося воздуха, сжатого до 100 ата, и покояџегося воздуха при 1 ата. В начальный момент температура везде $20^{\circ} \mathrm{C}$. На рисунке даны кривые давления (сверху) и температуры (снизу).

случае, если сжатым веществом также является воздух. Заимствуем из џитированной работы [9] численный пример. На рис. $41 a, б$, показана картина распределения давления и температуры в случае внезапного разрыва перегородки, разделявшей сжатый до 100 атм. газ и газ при атмосферном давлении. Слева в обоих случаях помещен сжатый газ. По осн абсцисс отложено отношение координаты к времени $x / c_{0} t$, причем $c_{0}$ есть скорость звука в воздухе при начальной температуре, не зависящая от давления. Перегородка находилась при $x=0$.

На рис. $41 a$ (с обеих сторон воздух) мы видим, что слева на расстоянии, превышающем единиџу, сжатый воздух еще не возмущен. Между $x / t=-c_{0}$ и $x / t=0.9 c_{0}$ расположена волна разрежения, которая в последней точке граничит с воздухом, расширившимся до давления около 6 атм. Разрыв особого рода покоится относительно воздуха, находящегося с обеих сторон разрыва, но в нашей системе координат он

движется вместе с окружающим его воздухом со скоростью около 1.7 скорости звука в исходном состоянии (т. е. около 580 м/сек). Справа от разрыва особого рода находится воздух, подвергшийся ударному сжатию от атмосферного давления до давления около 6 атм. В волне разрежения температура вовдуха падает с $20^{\circ} \mathrm{C}$ (при 100 атм) до $-140^{\circ} \mathrm{C}$ (при 6 атм.) в соответствии с уравнением адиабаты Пуассона. Справа в ударной волне сжатие газа от 1 до 6 атм. сопровождается ростом температуры с 20 до $300^{\circ} \mathrm{C}$, заметно превышающим рост температуры по адиабате Пуассона ( $\left.220^{\circ} \mathrm{C}\right)$. Ударная волна сжатия с 1 до 6 атм распространяется со скоростью, равной 2.3 скорости звука. Только при $x$, большем $2.3 c_{0} t$, справа расположен невозмущенный еще воздух при атмосферном давлении.

На рис. 41 б построена такая же картина для случая, когда сжатым газом является водород. В соответствии с болышей скоростью звука водород, способен дать значительно бо́льшую скорость истечения при данном перепаде давления. Поэтому водород сильнее сжимает воздух, хотя сам он расширяется меньше. Давлеиие в волне расширения в водороде и в ударной волне, распространяющейся в воздухе, составляет около 25 атм. В соответствии с этим достигается гораздо большая скорость ударной волны, примерно $4.6 c_{0}$; $^{1}$ в ударной волне достигается весьма высокая температура $1175^{\circ} \mathrm{C}$. Можно думать, что такие высокие температуры при истечении водорода в воздух в известных условиях могут привести к воспламенению водорода. В том случае, если истечение водорода в воздух происходит в закрытом резервуаре, последующее многократное отражение ударных волн может привести к дальнейшему повышению температуры.

Какой из рассмотренных на рис. $40 a, \sigma, в, 2$ случаев осуществится, если разрыв в начальный момент образован наложением большого числа малых ударных волн сжатия, которые одновременно соединились в один и тот же момент в одной точке пространства? Физически мы осуществим этот случай, вдвигая в газ порщень с переменной скоростью, ускоренно. B § XIII мы нашли такой график движения поршня, при котором все волны сосдинятся одновременно. В момент соединения волн справа от места соединения будем иметь невозмущенный газ. Слева будем иметь газ, подвергшийся многократному сжатию в слабых ударных волнах. Но мы уже несколько раз отмечали, что последовательное сжатие двумя ударными волнами не әквивалентно однократному ударному сжатию. В частности прирапение энтропии в каждой волне, если они (волны) достаточно малы, пропорџионально ( $\Delta p)^{3}$. Подбирая достаточно большое число достаточно слабых ударных волн, мы сможем осуществить сжатие до любого заданного давления со сколь угодно малым приращением энтропии, так как если мы разбиваем все заданное изменение давления между $n$ волнами, то приращение давления в каждой волне пропоруионально $1 / n$, приращение энтропии в каждой волне пропорџионально $1 / n^{3}$ и полное приращение энтропии в $n$ волнах пропоруионально $1 / n^{2}$. Таким образом, в случае кумуляџии большого числа слабых волн сжатия мы будем иметь почти адиабатическое изменение состояния.

В момент соединения отдельных волн, показанных на рис. 36 (§ XIII, стр. 99) справа от места соединения, мы будем
$1 c_{0}$ – скорость звука в воздухо. Скорость эвука в водородэ равна $4 c_{0}$ иметь невозмущенный газ в начальном состоянии $A$, слеваподвергшийся практически адиабатическому сжатию газ в состоянии $B .^{1}$ Очевидно, что точка $B$ не лежит на адиабате Гюгонио $H_{A}$. В соответствии с этим разрыв не может распространяться дальше как одно пелое. К его распространению мы должны приложить общую теорию распространения произвольного разрыва. Можно показать, что скорость движения, которую приобретает газ при последовательном сжатии большим числом ударных волн, меньше скороети движения, которую приобрел бы газ при сжатии до того же давления одной
Рис. 41в. Распространение разрыва, возникшего после столкновения волн сжатия рис. 36 . Давление в возникающей ударной волне ниже (навстречу волнам сжатия идет волна разрежения), но температура в ударной волне значительно выше максимальной температуры, достигнутой при наложении мелких волн сжатия. Распределение давления – сплощная линия; распеделение температуры – пунктир.

ударной волной. Отсюда следует, что при распространении разрыва, возникшего при соединении многих слабых ударных волн, мы будем иметь случай рис. 40 б: давление $p_{1}$ окажется ниже давления, созданного поршнем (давления $p_{B}$ ); по сжатому газу по направлению к поршню пойдет волна разрежения, вправо в невозмушенный газ пойдет возникшая в разрыве ударная волна сжатия. На рис. 41 в представлено распределение давления и температуры, получающееся через время $t$ после соединения волн, образованных при сжатии воздуха поршнем, скорость которого постепенно дестигла $4.44 c_{0}=$ $=1500 \mathrm{~m} / \mathrm{сек,} \mathrm{так} \mathrm{что} \mathrm{давление} \mathrm{на} \mathrm{поршне} p_{B}$ достигло $50 p_{A}$, т. е. 50 ата. Давление в ударной волне сжатия будет ниже, чем достигнутое раньше на поршне давление $p_{B}$. Однако вследствие роста әнтропии это более низкое давление отвечает более высокой температуре. Разрыв температуры, покоящийся относительно газа, виден на графике распределения температуры для этого случая (пункіир рис. 41 в). Заметим, что на
1 Обозначения $A$ и $B$ не показаны на рис. 36 , однако, они используются ниже, на рис. 41 в; ср. также рис. 39 и 406 .

рис. 41 в координата и время отсчитываются соответственно от места и момента кумуляџии, т. е. возникновения разрыва. В системе координат, в которой $A$ неподвижно, волна разрежения движется вправо, однако, она движется влево относительно движущегося с большой скоростью газа в состоянии $B$ и не показанного на рис. 41 в поршня.

Рассмотренный выше случай представляет значительный интерес для теории возникновения детонаџии, ибо полученный рэзультат объясняет, каким образом пламя, действующее на газ, подобно поршню, может постепенным сжатием вызвать появление ударной волны на большом расстоянии от поршня (от пламени). Постепенно сжимая газ до невысокой температуры $\left(630^{\circ} \mathrm{C}\right.$, рис. 41 в $)$, мы можем осуществить резкий подъем температуры $\left(1450^{\circ} \mathrm{C}\right.$, рис. $41 \mathrm{~B}$ ) на значительном расстоянии в момент кумуляџии, осуществить „дистанџионное зажигание“ газа. Повидимому, именно так следует представлять себе механизм возникновения детонации в газах в ряде случаев.

Выяснив характер движений, получаюџихся при распространении произвольного разрыва, мы можем проверить исходное допущение о том, что движение зависит только от отношения $x / t$.

B \& VI в случае волны разрежения такой характер решения был обусловлен отсутствием величин размерности времени или длины в начальных и граничных условиях задачи, а также пренебрежением дизсипативными величинами. Пренебрежение это необходимо, так как в комбинаџии со скоростью звука из вязкости или теплопроводности можно построить характеристическую длину и характеристическое время, например, $\frac{\eta}{\varrho c_{0}}$ и $\frac{\lambda}{c_{p} \varrho c_{0}} \cdot$ В волне разрежения пренебрежение диссипативными силами было обосновано тем, что уравнения газодинамики привели нас к размытой волне большой ( $а$ астушей линейно со временем) ширины, с весьма малыми значениями градиента скорости и градиента температуры.

Можем ли мы пренебречь диссипативными силами при наличии ударной волны, в которой имеет место значительный рост әнтропии? Утвердительный ответ связан с тем, что численная величина роста энтропии в ударной волне (обусловленного в последнем счете действием вязкости и теплопроводности) полностью определяется уравнениями сохранения и не зависит от величины теплопроводности и вязкости. Последние определяют только конечную ширину фронта ударной волны. Но полученная при этом величина размерности длины – ширина фронта ударной волны – весьма мала: порядка длины пробега молекулы в случае сильной ударной волны.

Мала также и ширина разрыва особого рода: выравнивание температуры по обе стороны этого разрыва и взаимное проникновение газов дкффузией приводят то истечениц времени $t$ к ширине порядка $\xi=\sqrt{x t}=\sqrt{B t}$, где $x$-температуропроводность; $B$-коэффиџиент диффузии. Используя молекулярно-кинетические выражения $x$ и $B$, найдем $\xi \sim \sqrt{\text { lct }}$, где $l$-длина пробега молекулы, $c$ – скорость звука. Между тем, расстояние $x$, пробегаемое ударными волнами и волнами разрежения за время $t$, порядка $c t$, так что $\xi \sim \sqrt{l x}$.

Таким образом, отношение размеров области, в которой диссипативные силы существенны, к размеру всей захваченной движением области равно $\frac{l}{x}$ для ударной волны, $\sqrt{\frac{l}{x}}$ для разрыва особого рода. Обе величины весьма малы в любом макроскопическом движении, в котором $x \geqslant l$.

Весьма любопытна история вопоса о распространении произвольного разрыва, в которой сказывается общая во всей теории ударных волн разобщенность исследователей разных стран. Впервые изложенная выше теория была дана еще Гюгонио одновременно с теорией ударных волн [56]. Принадлежащая Гюгонио теория распространения произвольного разрыва была хорошо известна франџузским авторам. Она упоминается у Крюсара [45], встречается также в книге Адамара [54] – распространении вэлн. Изложение Адамара, правда, несколько испорчено, с одной стороны, отсутствием полной ясности в вопросе о том, когда следует пользоваться адиабатой Гюгонио, а когда адиабатой Пуассона (рост энтропии в ударных волнах сжатия, и термодинамическая невозможность ударных вэлн разрежения были показаны Жуге и Земпленом позже), с другой стороны, – стремлением Адамара к получению формул в замкнутом виде. Однако немедким авторам теория распостранения проиявольного разрыва, повидимому, неизвестна. Так, у Вебера [97] мы находим только случай столкновения двух ударных волн равной амплитуды, т. е. как раз тот случай, когда тождественно совпадают оба исходных состояния $A$ и $B$ нашего рисунка и соответственно совпадают на всем протяжении проведенные из них адиабаты Гюгонио. В этом частном случае, как видно из симметрии, разрыв особого рода обрашается в нуль. По обе стороны его не только равны давление и скорость, но равны между собой и температура, и энтропия, и плотность. В издании 1925 г. Вебер прямо пишет, что \”до сих пор неизвестно, что произойдет в общем случае столкновения двух произвольных ударных волн\”.

Задача о кумуляџии ударных волн была поставлена Беккером в его известной работе „К теории детонауионной и ударной волны\” [38]. В 1920 г. Беккер правильно предсказывает основной качественный результат кумулядии ударных волн – повышение температуры в моменг их совпадения. Однако далее он пишет: \”Пока совершенно неизвестно, что лроизойдет, когда крутизна подъема через известное время станет бесконечной“. Решение этой задачи дано выше. Нельзя не заметить, что в статье Беккера как мемуары Гюгонио, так и книга Адамара цитированы. Вполне строгий и весьма общий разбор всех могущих встретиться случаев распространения произвольного разрыва дан Кочиным [64].