Рассмотрим движение газа по длинной џилиндрической трубе, теплоизолированной снаружи. Мы ввели теплоизоляџию для того, чтобы иметь возможность считать полную энергию потока постоянной во всех сечениях. Однако в противоположность тому, что мы делали при рассмотрении сопла Лаваля, коротких сопел и насадок, мы здесь не будем больше пренебрегать трением газа о стенки, т. е. сопротивлением движению потока. Совместное действие выделения тепла, трения вблизи стенок и теплообмена между стенками и газом приведет к тому, что температура стенок не будет отличаться от начальной температуры газа в резервуаре, из которого он истекает (см. предыдущий параграф), а следовательно, в том частном случае, когда газ в резервуаре находится при комнатной температуре, теплоизоляция в действительности не понадобится.

Вводя гидравлическое сопротивление движению потока, т. е. вводя необратимые продессы внутреннего трения, мы не можем больше считать энтропию потока постоянной, в силу чего наши результаты и методы будут несколько отличаться от результатов и методов рассмотрения § III.

Составим уравнения рассматриваемого движения, считая сечение трубы постоянным. Из постоянства полного расхода газа в любом сечении трубы мы получим первое уравнение:
\[
\varrho u=M=\text { const. }
\]

Также постоянным является полный поток энергии (плюс работа сил давления), отнесенный к единиџе сечения трубы:
\[
p u+\varrho u E+\frac{\varrho u^{3}}{2}=\text { const. }
\]

Но так как постоянно и само количество протекающего вещества, то, разделив второе уравнение на первое, мы получим постоянство суммы энтальпии $I$ и кинетической энергии единиџы массы в потоке:
\[
I+\frac{u^{2}}{2}=\text { const }=I_{0} .
\]

тальпию газа до входа в трубу, т. е. в резервуаре, там, где скорость движения газа весьма мала.

Замечательно, что из двух уравнений – уравнения сохранения вещества и уравнения сохранения энергии – мы можем исключить скорость и получить, таким образом, определенную связь между характеризующими состояние газа величинами (давлением и объемом), притом связь, которая не зависит от механизма и величины трения $[51,89]$. Гра-
$\rho_{\text {ис. }}$ 13. Элементарный уилиндр, вырезанный в длинной трубе. На торџах втекает и вытекает вещество, действуют силы давления; на боковой поверхности действуют силы трения о стенки трубы. фически эта связь изображается кривыми в плоскости $p, v$ или кривыми в плоскости $I, S$, так называемыми линиями Фанно (рис. 14).
От сопротивления трубы, т. е. от величины диссипативных сил, будет зависеть лишь скорость движения по линии Фанно точки, изображающей состояние вещества.
Рассмотрим элемент длины трубы $\Delta x$ (рис. 13) и выясним, как меняется на протяжении $\Delta x$ скорость и давление газа вследствие действия сопротивления. Обџее количество вещества, протекаюшее в единицу времени через сечение трубы, $\varrho u F=M F=$ const.
Количество движения,
Рис. 14. Линии Фанно в координатах энтропия – топлосодержание $(S, I)$. Вдоль этих лнний меняется состояние раяа при течении его по трубе постоянного сечения в отсутствии теплообмена, но при наличии сопротивления. Находятся из условий сохранония потока вещества и потока энергии в тру6е. переносимое потоком в единиџу времени, $M F u=\varrho u^{2} F$. Согласно второму эакону Ньютона, изменение количества движения при прохождении расстояния $\Delta x$ между двумя контрольными плоскостями 1 и 2 равно импульсу сил давления, действующих нормально контрольным плоскостям 1 и 2 , и силы сопротивления (трения) $\Phi$, действующей на боковую поверхность 3 џилиндра, вырезанного плоскостями 1 и 2 в трубе:
\[
M F\left(u_{2}-u_{1}\right)=\left(p_{1}-p_{2}\right) F+\pi d \Delta x \Phi .
\]

Вводя коэффиџиент сопротивления обычным способом, принятым в гидродинамике несжимаемой жидкости, напишем для круглой цилиндрической трубы диаметра $d$ силу сопротивления $\Phi$ на единиџу боковой поверхности:
\[
\Phi=-\zeta \varrho u|u| / 8 .
\]

Найдем из (V-4), переходя к бесконечно малым и к единице се дения, уравнение количества движения, в которое войдет сопротивление трубы. В противоположность первым двум мы не можем написать его сразу в интегральной форме. Дифферендиальное уравнение имеет вид:
\[
-\frac{d\left(\varrho u^{2}+p\right)}{d x} \equiv-\frac{d(M u+p)}{d x}=\frac{\zeta}{d} \frac{\varrho u|u|}{2} .
\]

Самый вид последнего члена, несколько отличающийся от обычного написания, связан с тем, что знак силы сопротивления зависит от знака скорости. Сила сопротивления всегда направлена поотив направления скорости движения газа что теряется при обычном написании $\frac{d p}{d x}=\zeta Q u^{2} / 2 d$, или $\Phi=\zeta Q u^{2} / 8$.

В плоскости $I, S$ линии Фанно, отвечающие различным значениям расхода $M$ (см. ф-лу V-1), имеют вид, изображенный на рис. 14. Для идеального газа энтальпия $I$ с точностью до множителя совпадает с температурой. $I-S$-диаграмма отличается от $T-S$-диаграммы только масштабом.

Величина $M$ постоянна вдоль каждой линии и является параметром, меняющимся от одной линии Фанно к другой, уменьшаясь слева направо, так как при данной температуре с ростом энтропии падает плотность.

Выясним, как движется точка, изображающая состояние газа, вдоль линии Фанно под действием сопротивления по мере движения газа по трубе.

С помошью известного термодинамического выражения дифференџиала энталыпии, напишем уравнение сохранения энергии в дифферендиальной форме:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d x}\left(I+\frac{u^{2}}{2}\right)=\frac{d I}{d x}+\frac{u d u}{d x}=\frac{v d p}{d x}+\frac{T d S}{d x}+\frac{u d u}{d x}= \\
=\frac{1}{\varrho} \frac{d p}{d x}+\frac{T d S}{d x}+\frac{u d u}{d x}=0 .
\end{array}
\]

Подставляя определенное законом сохранения вещества (V-1) значение скорости, выраженное через постоянную по всей трубе величину $M$, получим для әнтропии следующее уравнение:
\[
T \frac{d S}{d x}=-\frac{1}{\varrho}\left(\frac{d p}{d x}+\frac{M d u}{d x}\right) .
\]

Используя уравнение ( $\mathrm{V}-6$ ), найдем окончательно:
\[
T d S=\frac{\zeta}{2 d}|u| u d x .
\]

Если энак $d x$ совпадает со знаком скорости движения потока $u$, т. е. если мы следуем, меняя $\boldsymbol{x}$ в направлении движения жидкости, приращение энтропии всегда положительно, так как положительно произведение $u d x$.

Движение вещества при наличии трения сопровождается превращением механической энергии в тепловую; в теплоизолированной трубе при отсутствии отбора тепла этот процесс сопровождается ростом энтропии текушего по трубе вещества.

Правая часть (V-9) представляет не что иное, как работу, совершаемую силами сопротивления на элементе длины $d x$, отнесенную к единиџе массы протекающей жидкости.

При этом выше максимума әнтропии, на отрезке $A B$ линии Фанно (в дозвуковой области, как мы сейчас увидим), движение сопровождается падением давления так же, как в несжимаемой жидкости, как видно из сопоставления наклона линии Фанно и линий $p=$ const в правой части рис. 14. Напротив, ниже точек $B, R, T$ при сверхзвуковом течении сопротивление вызывает рост давления вдоль потока; сила сопротивления и рост давления преодолеваются потоком эа счет динамического напора, sа счет падения скорости, связанного с ростом плотности и со сжатием газа при повышении давления.

Соответственно в дозвуковом потоке в направлении движения и растет, а $I$ падает. В сверхзвуковом потоке $u$ падает, a $I$ растет.

Покажем, что в точке $B$ максимума энтропии скорость движения равна скорости звука. Это легко показать на рис. 14, если провести в точке $B$ вертикальную касательную. Мы замечаем, что в точке $B$, где $S=$ maximum при $M=$ const (движение вдоль линии Фанно), имеет место также $M=$ maximum при $S=$ const (движение вдоль касательной). Что последнее условие приводит к равенству скорости движения и скорости эвука, было показано в \& III [формулы III-12–III-5].

Впрочем, доказательство нетрудно провести непосредственно: вблизи точки $B$, очевидно,
\[
\left(\frac{d S}{d \varrho}\right)_{\text {Fann } 0} \rightarrow 0 ; \quad\left(\frac{d p}{d g}\right)_{\text {Fanno }} \rightarrow\left(\frac{d p}{d \varrho}\right)_{S=\text { const }}=c^{2} .
\]

Из уравнения неразрывности (V-1) следует:
\[
\frac{d u}{u}+\frac{d \varrho}{\varrho}=0 ; \quad d u=-u \frac{d \varrho}{\varrho} .
\]

В уравнении (V-7), переходя от дифференџирования по координате $x$ к дифференцированию по плотности @, получим в точке касания:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\varrho} \frac{d p}{d \varrho}+T \frac{d S}{d \varrho}+u \frac{d a}{d \varrho} & \rightarrow \frac{1}{\varrho} c^{2}-\frac{1}{\varrho} u^{2}=0 ; \\
u^{2} & =c^{2},
\end{aligned}
\]

что и требовалось доказать.
Нам нетрудно теперь построить физическую картину движения газа по длинным трубам. На оис. 15 представлены кри-
Рис. 15. Зависимость расхода $(M)$ от противодавления ( $p$ ) для труб разной длины при данном давлении на входе $\left(p_{0}\right)$. Верхняя кривая – для короткого сопла, нижняя – для самой длинной трубы. Прямая отдзляет слева область критического истечения со скоростью, равной скорости звука на выходе; при меньшем критического противодавлении $M$ не sависит от $p$.

вые зависимости количества $M$ газа, вытэкающего в единицу времени, от давления в кэнде трубы $p$ при заданном давлении $p_{0}$ в резервуаре, из которого происходит истечение.

Различные кривые относятся к трубам различной длины. Верхняя кривая относится к случаю короткого сопла, рассмотренного в начале \& III. Чем длиннее труба, тем меньше протекающее через нее (при данной разности давлений) количезтво газа. Во всех случаях понижение давления ниже некоторого критического значения не вызывает больше увеличения расхода газа. Однако это критическое давление само тем меньше, чем длиннее труба. При критическом истечении на выходе из трубы во всех случаях скорость равна скорости звука; отношение температуры газа к начальной его температуре в резервуаре и соотношение между скоростью газа и скоростью звука в исходном газе в резервуаре также неизменны, независимо от длины трубы. Однако в завнсимости от длины трубы меняется плотность истекающего газа, которая при данной его температуре проторциональна давлению. Таким образом, критические точки для различвых труб на рис. 3 соединяются между собой прямой, выходяшей из начала координат. Согласно Стодоле, при обычном значении коэффиуиента сопротивления технических труб критическое (максимальное) $M$ при переходе от короткого сопла к трубе, длиной 360 диаметров, падает в 2 раза, при 1000 диаметрах – 3 раза, при 5000 диаметрах-в 6 раз.

Как бы мы ни уменьшали давление на выходе из цилиндрической трубы, мы не сможем осуществить сверхзвуковую скорость в трубе. Для того чтобы осупествить ее, необходимо, чтобы газ входил в трубу, уже обладая сверхзвуковой скоростью. продесс входа газа в трубу через короткое соединительное сопло $A B^{1}$ (рис. 16a) из резервуара описывается вовсе не линией Фанно, а адиабатой, вертикально опускающейся из точки $N$ (рис. 14), описывающей начальное состояние вещества. При простом суживающемся сопле состояние вешества на входе в трубу изображается какой-либо точкой на отрезке $N B$, например $F$ или $F_{1}$. Состояние вещества на выходе из трубы определяется заданным противодавлением $p$; изображающая точка
рис. 16. Соединение трубы с сужающимся соплом (a) и с соплом Лаваля (б). Только во в: ором случае можно получить сверхзвуковой готок внутри трубы.

должна лежать на изобаре $E E_{1}$. Выбор той линии Фанно, по которой мы перейдем с адиабаты $N B$ на изобару, и соответствующей величины расхода газа при данных $p_{0}$ и $p$, зависит от длины трубы, зависит от того, чему равен рост әнтропии вдоль трубы. При увеличении длины трубы мы перейдем от режима $N F_{1} E_{1}$ к режиму $N F E$, расход уменышится.

Если противодавление на выходе трубы меньше критического, осуществится критическое истечение, режим, описываемый отрезками $N F_{1} E_{1} R$ или $N F E T$, – в зависимости от длины трубы – с последуюшим расширением газа, ср. § III, рис. 9.

Помещая у входа в трубу сопло Лаваля (рис. 16б), мы осуществим на входе в трубу сверхзвуковую скорость, осу-
1 Буквы $A B$ рис. $16 a, 6$ не имеют отношения к точкам $A$ и $B$ рис. 14.

ществим состояние, изображающееся точкой на отрезке $B D$ рис. 14 , например $L$.

При получении сверхзвукового потока в сопле Лаваля устанавливается режим истечения с вполне определенным расходом $M$ (см. § III); положение точки $L$ на отрезке $B D$ вполне определяется конструктивными данными – сечением сопла в наиболее узком месте и сечением трубы.

Далее, вдоль трубы происходит движение от точки $L$ вправо по линии Фанно. Независимость режима истечения от противодавления $p$ вполне естественна для сверхзвукового потока.

Сверхзвуковой режим, осуществляемый в схеме рис. 16 , требует достаточно низкого противодавления. Однако в длинной трубе возможно, что рост энтропии вдоль линии $L Q R$ упрется в критическую точку $R$.

Таким образом, в случае длинной трубы со значительным сопротивлением, снабженной соплом Лаваля на входе, мы не получим сверхзвуковой скорости на выходе из трубы, как бы мало ни было противодавление. Детальное рассмотрение возникаюшего режима истечения показывает, что в трубе или в сопле возникает так называемый скачок уплотнения – ударная волна, теория которой будет изложена ниже. Разбор различных режимов течения в трубе при наличии скачков уплотнения аналогичен теории сопла Лаваля (см. § XIX). Мы можем здесь только сослаться на работу Буземанна [41]. Подробная библиография, доведенная до 1938 г., дана у Франкля, Христиановича и Алексеевой [27].