В § XXIII мы рассматривали явления, происходящие в непосредственной близости к заряду. При этом в количественных оденках мы пользовались тем, что теория детонаџии определяет состояние ПВ во фронте детонауионной волны независимо от формы заряда, расположения детонатора и тому подобных факторов. Все эти факторы весьма существенны для возникающего распределения давления; однако благодаря тому, что скорость детонаџии как раз равна скорости распространения возмущения по ПВ, эти факторы не влияют на скорость детонаџии и на состояние во фронте.

Однако вскоре после первого прикосновения ПВ и воздуха (или разрушаемого материала) на характер движения окажет влияние распределение давления в более глубоких слоях ПВ; определение картины движения в этой стадии требует весьма трудоемких и сложных расчетов, тем менее привлекательных, что результат будет различен для каждого конкретного случая.

Только в следующей стадии можно ожидать, что на достаточном расстоянии от заряда зависимость от конкретной геометрии взрыва сгладится и выработается в продессе распространения определенная форма ударной волны, зависящая только от общего количества взорванного вещества, но не от конкретных особенностей данного заряда, таких, как положение детонатора или наличие оболочки, или форма заряда, крайне существенных на близком расстоянии. Условие, необходимое для образования такой установившейся формы волны, заключается в том, чтобы в движение было вовлечено количество воздуха, по крайней мере в несколько раз превышающее заряд $\mathrm{BB}$.

При переда энергии ПВ ближайшему слою воздуха, от әтого слоя следуюшему и т. д. в несколько приемов произойдет освобождение волны от спеџифических для данного заряда особенностей. Чем же определятся свойства движения? Можно ожидать существования двух предельных областей в соответствии с упрощениями, которые испытывают законы теории ударной волны в двух предельных случаях: 1) мощных ударных волн, $p \gg p_{0}$, и 2) слабых ударных волн $p-p_{0} \ll p_{0}$, приближающихся по свойствам к звуку (см. \& III).

В первом случае, согласно Ландау, мы перейдем к пределу, пренебрегая $p_{0}$ по сравнению с $p$. Очевидно, что при этом мы одновременно имеем право пренебречь и начальной температурой и әнергией воздуха по сравнению с температурой и энергией его после сжатия ударной волной. В таком приближении распределение давления и төмпературы меняется с течением времени, оставаясь подобным самому себе.

Предельные законы мощных ударных волн предусматривают постоянное отношение между кинетической и тепловой энергией сжатого вещества. Постоянна во время движения полная энергия всего вовлеченного в движение количества вещества: в сделанных пренебрежениях вовлечение новых слоев воздуха не сопровождается заметным увеличением полной энергии, отсчитанной от абсолютного нуля температуры.

Средняя плотность энергии падает обратно пропорџионально охваченному волной объему, т. е. обратно пропоруионально третьей степени пройденного волной пути. При подобии распеделения в том же отношении падают и локальные значения плотности энергии. По законам идеального газа постоянной теплоемкости, давление зависит только от плотности энергии $\varepsilon$, но не от плотности вещества $\varrho$
\[
P=\frac{R T}{v}=\varrho R T=(k-1) \varrho c_{v} T=(k-1) \varepsilon, \quad(\mathrm{XXIV}-1)
\]

где $R$-газовая постоянная, ниже $R$ — радиус заряда, $r$ расстояние от центра заряда.

Таким образом, в указанном предельном случае Ландау приходит к простым формулам
$\bar{p}=\frac{(k-1) O M_{1}}{4 \pi / 3 \cdot r^{3}} ; \quad M=\frac{4 \pi}{3} \cdot r^{3} \varrho_{0} ; \bar{T}=\frac{Q M_{1}}{c_{p} M} \cong T_{\mathrm{r} 3 i} \cdot \frac{M_{1}}{M}, \quad(\mathrm{XXIV}-2)$
где $\vec{p}, \bar{T}$ — среднее давление и температура, $Q$ — теплота взрыва $\mathrm{BB}, M_{1}$ — масса заряда, $M$ — масса воздуха, вовлеченного в движение, $Q_{0}$ — начальная плотность воздуха. Однако в действительности вряд ли есть область, в которой этот предельный закон выполняется сколько-нибудь строго; для этого нужно было бы одновременное выполнение двух условий:
\[
\frac{M}{M_{1}} \gg 1 ; \quad \bar{T} \gg 1 .
\]

Согласно приведенным выше формулам
\[
\frac{M}{M_{1}} \cdot \frac{\bar{T}}{T_{0}}=\frac{T_{\text {tap }}}{T_{0}} .
\]
(XXIV-4)

Однако для ПВ и воздуха комнатной температуры отношение $\frac{T_{\text {взр }}}{T_{0}}$ не превышает $10-15$; весь интервал от $\frac{M}{M_{1}}=0$ до $\frac{\bar{T}}{T_{0}}=2$ мы проходим при изменении радиуса взрывной волны в 2 2.5 раза.

В действительности при малых $r$ мы должны учитывать влияние начального распределения давления и плотности в ПВ. Отношение $\frac{M}{M_{3}}$ (массы вовлеченного в движение воздуха к массе ПВ) достигает единиџы при значении $\frac{r}{\sqrt[3]{M}}=0.6 \frac{-M}{\sqrt[3]{\text { кT }}}$, т. е. на расстоянии, равном 11 радиусам заряда. Эта же величина дает расстояние прямого действия ПВ на препятствие. Однако уже при значении $\frac{r}{\sqrt[3]{M}}=1.5$, на расстоянии, равном 27 радиусам заряда, количество тепла, внесенное вовлеченным в движение воздухом, сравнивается с энергией взрыва (все џифры приведены для типичных BB).

Среднее давление в этот момент вдвое больше рассчитанного по предельной формуле, предусматривающей падение $p$ обратно пропорџионально $r^{3}$; дальше расхождение увеличивается. Власов [3] считает, что хорошо согласуется с экспериментальными данными формула для давления на препятствие, нормальное направлению распространения волны,
\[
p_{\max }=250000\left(\frac{r}{R}\right)^{-2.6}=120 \frac{M^{0.87}}{r^{2.6}}\left(\mathrm{M}, \mathrm{\kappa r}, \frac{\mathrm{Kr}}{\mathrm{cm}^{2}}\right), \quad(\mathrm{XXIV}-5)
\]

которую он применяет для всего интервала от $\frac{r}{R}=1$ (давление на тәло, находяџееся в контакте с $\mathrm{BB})$ до $\frac{r}{R}=100$. Тесретический вывод этой формулы нельзя считать убедительным. Описание единой формулой весьма различных проџессов, зависящих от различных факторов (неидеальность ПВ при $\frac{r}{R}$, близком к 1 , действие ПВ при $\frac{r}{R}$ до 10 , мошная ударная волна при $\frac{r}{R}$ от 10 до 100), невероятно. Следует заметить, что в интервале между вычисленным значением при $\frac{r}{R}=1$ и систематическими измерениями, начинающимися с $\frac{r}{R}>15$, имеется лишь одна экспериментальная точка.

Таким образом, если рассматривать формулу Власова как эмпирическую, то нельзя ее считать проверенной во всем интервале, для которого она рекомендована. Вместе с тем следует признать, что в том интервале, в котором имеются измерения, согласие их с формулой Власова удовлетворительно, что обусловливает ее рабочую практическую џенность.

Перейдем к рассмотрению второго предельного схучаяраспространения взрывной волны на значительном расстоянии от заряда, там, где ее амплитуда мала. В пределе законы распространения должны, очевидно, совпасть с акустическими законами, с которыми мы уже познакомились в начале книги (§ III). Акустические законы предусматривают распространение волны с амплитудой, постоянной в линейном случае и падающей, как $\frac{1}{r}$, в сферическом случае, но без изменения ширины волны и ее формы; следовательно, акустические законы не могут служить для определения формы и щирины волны даже в первом приближении. Поэтому в дальнейшем нам придется особое внимание обратить именно на отклонения от акустических законов, уменьшающиеся по мере падения амплитуды, и на экспериментальные данные об амплитуде и форме взрывных волн.

На рис. 59 представлены заимствованные из доклада Берналя [101] кривые изменения давления со временем на различных расстояниях от заряда взрывчатого вещества. Мы отметим, что невозмушенный воздух вначале подвергается резкому сжатию, за которым следует падение давления, проходящего через минимум и возврашающегося к атмосферному. Очевидно, что мгновенное распределение давления в пространстве напоминает кривые изменения давления со временем, причем длительность 2-3 миллисекунды отвечает ширине волны около $1 \mathrm{~m}$.

Итак, фронт взрывной волны, передняя ее часть, представляет собой ударную волну, за которой следует волна раэрежения. Чтобы предвидеть закон изменения взрывной волны, вспомним кияематические и термодинамические соотношения между ударной волной и непрерывной волной разрежения.

В непрерывной волне, в которой соседние состояния отличаются бесконечно мало; каждоє состояние распространяется в пространстве со скоростью, равной сумме скорости звука и скорости движения вешества.

Скорость распространения ударной волны меньше суммы скоростей движения и звука в веществе, сжатом волной
рис. 59.

и находящемся внутри охваченной движением области; падение давления внутри области, через которую волна прошла, nередается поверхности ударной волны и ослабляет волну; поэтому амплитуда ударной волны падает быстрее, чем падает амплитуда слабой звуковой волны.

Другая особенность рассматриваемого здесь распространения ударной волны заключается в изменении энтропии при ударном сжатии. Вследствие этого, после прохождения волны воздух не возврашается в состояние, тождественное начальному (до возмущения) состоянию.

В акустической волне энергия волнового движения полностью передается от слоев, ранее подвергавшихся возмущению, тем слоям, которые вовлекаются в движение по мере распространения волны. В случае ударной волны часть әнергии волнового движения навсегда застревает в тех слоях, через которые волна прошла, необратимо расходуясь на их нагревание. Это обстоятельство обуславливает постепенное уменьшение әнергии волнового движения в случае ударной волны и вызывает падение амплитуды ударной волны в условиях, в которых амплитуда акустической волны постоянна или усиливает падение амплитуды ударной волны по сравнению с акустической в тех условиях, в которых амплитуда акустической волны падает.

Наконеџ, необходимость расширения волны конечной амплитуды видна непосредственно.

Будем называть „волной“ как и прежде, всю область, охваченную возмущением, в которой отличны от нуля скорость движения и избыточное (против атмосферного) давление. Передний по направлению распространения край волны представляет собой ударную волну, сжимающую воздух; скорость такой волны больше скорости звука в невозмущенном воздухе. Задний край волны представляет собой либо непрерывную (как на рис. 59), либо ударную волну, возвращающую газ в исходное состояние.\» Скорость распространения заднего края равна или меньше скорости звука в воздухе в исходном состоянии. Следовательно, передний край волны движется быстрее заднего, обуславливая с течением времени увеличение расстояния от переднего до заднего края, т. е. увеличение ширины волны.

В \& XI мы особенно подробно и в обуем виде доказали взаимную связь трех указанных особенностей: того, что скорость ударной волны больше скорости звука в начальном состоянии; того, что скорость ударной волны меньше скорости звука в сжатом газе; того, что прохождение ударной волны сопровождается ростом энтропии, т. е. необратимым превращением энергии в тепловую энергию.

Ввиду тесной связи всех этих особенностей, естественно, чго использование любой из них для определения закона изменения амплитуды и ширины волны по мере ее распространения приводит к тождественным результатам.

Перед рассмотрением сферического распространения, интересующего нас в связи с теорией действия взрывчатых веществ, рассмотрим болео простой линейный случай.

Линейное (одномерное) движение осупествляется при движении гава в прямой трубе постоянного сечения; мы пренебрегаем при его рассмотрении потерями, зависящими от вяаимодействня газа с боковыми стенками трубки.

Крюссар [118] в 1913 г, первый установия предельный закон такого движения.
1 Точнее, в состояние, отличающееся от иеходного лишь на величины, пропорџиональные при малой амплитуде кубу амплитуды вследетвие ияменения энтропии при сжатии в волве.

Рассмотрим, следуя Крюсару, волну треугольной формы, показанную ва рис. 60 . С течением времени расстояние мезду каждой парой точек $a, 6$, отвечающих различным давлениям, увеличивается, так как скорость распространения (равная сумме скорости движения газа и скорости звука) растет с ростом давления: в делом волна представляет собой совокупность ударной волны У, в которой происходит быстрое сжатие, и следуюшей за ней волны раярежения УП, в которой давление газа падает.
рис. 60.
Напишем уравнение распространения состояния $a$
\[
x_{a}=x_{a 0}+\left(c_{a}+u_{a}\right) t .
\]
(XXIV-6)
По законам акустики
\[
c=c_{0}\left(1+\frac{k-1}{2 k} \frac{\Delta p}{p_{0}}\right) ; u=c_{0} \frac{1}{k} \frac{\Delta p}{p_{0}} ;
\]
(XXIV-7)

обозначив $\frac{\Delta p}{p_{0}}=\pi$, найдем
\[
x_{a}=x_{a 0}+c_{0} t+\frac{k+1}{2 k} c_{0} \pi \tau_{\alpha} t .
\]
(XXIV-8)
Если в начальный момент имело место линейное распределение давления в зависимости от координаты, то оно останется линейным и позже. ${ }^{1}$
\[
\begin{array}{c}
t=0, x>x_{00}, \pi=\frac{1}{\alpha}\left(x-x_{00}\right) ; x<x_{00}, \pi=0 ; \quad \text { (XXIV-9) } \\
x(\pi, t)=x_{0}(\pi)+c_{0} t+\frac{k+1}{2 k} c_{0} \pi t=x_{00}+\alpha \pi+c_{0} t+\frac{k+1}{2 k} c_{0} \pi t ;(X X I V-10) \\
\pi=\frac{x-x_{00}-c_{0} t}{\alpha+\frac{k+1}{2 k} c_{0} t} .
\end{array}
\]

Задавшись начальным линейным распределением (XXIV-9) в момент $t=0$, мы получим в произвольный момент $t$ также линейное распределение давления (XXIV-11).

Скорость двнжения ударной волны $D$, амплитуду которой обозначим $\pi^{*}$ равна среднему арифметическому $c_{0}$ и скорости распространения $c+u$ состояния, получающегося после сжатия до давления $\pi^{*}$.
1 Легко убедиться, что любое начальное распределевие с постоянным знаком $d p / d x>0$ монотонно приближается к линейному с течением времени, так как возрастает линейный в давлении член пропорџиональный $c_{0} \pi t$.

\[
D=\frac{c_{0}+(c+u)}{2}=c_{0} \frac{1+1+\frac{k+1}{2 k} \pi^{*}}{2}=c_{0}\left(1+\frac{k+1}{4 k} \pi^{*}\right) \cdot(\mathrm{XXIV}-12)
\]

Составим выражение изменения амплитуды ударной волны по мере распространения
\[
\frac{d \pi^{*}}{d t}=\frac{\partial \pi}{\partial t}+D \frac{\partial \pi}{d x}
\]
(XXIV-13)

Выражение это отлично от нуля за счет того, что $D$ отлично от $c+u$. Воспользовавпись выражением $\pi(x, t),\{X X \backslash V-11)$, найдем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \pi^{*}}{d t}=-\frac{k+1}{4 k} c_{0} \frac{\pi^{*}}{\alpha+\frac{k+1}{2 k} c_{0} t}, \\
\ln \pi^{*}=-\frac{1}{2} \ln \left(\alpha+\frac{k+1}{2 k} c_{0} t\right)+\text { const, } \\
\pi^{*}=\frac{A}{\sqrt{\alpha+\frac{k+1}{2 k} c_{0} t}},
\end{array}
\]
(XXIV-16)

где $A$ — постоянная интегрирования, зависит от начальных условий.
Зная свявь между $\pi, x, t$, найдем пирину волны $\Delta x$, т. е. расстояние от точки, в которой в данный момент $\pi=0$, до точки, в которой достигаетея давление ударной волны $\pi^{*}$
\[
\Delta x=x\left(x^{*}\right)-x(0)=A \sqrt{\alpha+\frac{k+1}{2 k} c_{0} t} .
\]

Таким способом Крюссар установил, что в одномерном случае амплитуда ударной волны падает по мере распространения, как $1 / \sqrt{t}$, ширина волны растет пропордионально $\sqrt{t} .1$ В оригинальной работе Крюссара, выполненной в 1912 -1913 гг, содержитея также анализ, показмвающий, что найденвый закон относится к случаю малой амплитуды, т. е. является предельным законом при большом времени распространения.

В 1938 г. Шмушкевич [115] вывел тот же яакон следующим обраяом. Задавшись тем, что распределение давления в волне остается подобным по мере распространения — по крайней мере в пределе, при большом $t$, после того как волна проделала большой путь, — Шмушкевич составляет уравнение скорости изменения пирины волны $\Delta \boldsymbol{x}$ и сопоставляет его с уравнением постоянства количества движения волны
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \Delta x}{d t}=D-c_{0}=\frac{k+1}{4 k} c_{0} \pi^{*}, \\
\Delta x \cdot g \cdot \bar{u}=\Delta x \cdot \pi^{*} \cdot \text { const }=\text { const. }
\end{array}
\]
(XXIV-19)
1 Мы упростили зависимость, считая $\frac{k+1}{2 k}$ с $_{0} t$ большим по сравневию с $\alpha$ или соответствующим образом ияменяя момент начала отсчета времени.

При составлении второго у равнения (количества движения) мы используем иввестную из акустики линейную связь между скоростью движения и давлением и далее используем предположенхе о том, что распределение оетается подобным самому себе, так что $\bar{\pi}=$ const $\cdot \pi^{*}$. Выписанные выше два уравнения легко решаютея
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \Delta x}{d t}=\frac{k+1}{4 k} \cdot c_{0} \cdot x^{*}=B \cdot \frac{1}{\Delta x}, \\
(\Delta x)^{2}=2 B t+\text { const, } \\
\Delta x=B_{1} \sqrt{t+B_{2}}, \pi^{*}=\frac{B_{3}}{\sqrt{t+B_{2}}},
\end{array}
\]
(XXIV-21)

где $B, B_{1}, B_{2}, B_{3}$ — константы.
Как Крюссар, так и Шмушкевич используют предположение о том, что после прохождения волиы вещество возвращается в исходноо состояние. с начальной скоростью звука $c_{0}$ и начальным давлением $p=p_{0}, \pi=0$. При этом мы отбрасываем зависящие от изменения внтронии эффекты, которые пропорџиональны кубу амплитуды; пренебрежение это допустимо, поскольку мы рассматриваем уравнения, содержащие бо́льшие члены.

В предположениях Шмушкевича мы можем, вместо изменения ширины волны, рассматривать изменение ее свободной энергии $\varepsilon$, зависяпее от превращения энергии в тепловую, т. е. от роста энтропии, пропорџионального $\pi^{* 3}$,
\[
\begin{aligned}
\frac{d \varepsilon}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\text { const } \cdot \pi^{* \cdot 2} \cdot \Delta x\right) & =- \text { const } \cdot \pi^{* 3} \\
\text { const } \cdot \pi^{*} \cdot \Delta x & =\text { const, }
\end{aligned}
\]
(XXIV-22)
(XXIV-19)
откуда находим
\[
\frac{d x^{*}}{d t}=-B x^{* 3} .
\]

Ивтегриование (XXIV-23) даст рөзультат, тождественный форяулам (XXIV-21).

Итак, при использовании раяличных свойств ударной волны, того, что скорость $D<c+u$ (Крюссар), того, что $D>c_{0}$ (Шмушкевич), и роста энтропви в волне, мы получили одинаковый предельный закон; этот ревультат зависит от внутренней связи перечисленных свойств волны (см. \& XI).

Экспериментальное исследование одномерного распространевия ударной волны было произведено Вьейем [86] и позже Вотье [123], опыты которых вкратре описаны в \& XV.

Значительно сложнее вопрос о предельных (для больших расстояний) законах распространения сферических волн, который особенно интересен для теории фугасного действия взрывчатых веществ.

Рассмотрение сферических ударных волн мы начнем с напоминания о свойствах сферических акустических волн.

Основная особенность последних — уменьшение амплитуды обратно пропорџионально расстоянию от џентра симметрии. Это уменьшение амплитуды не связано с уменьшением общего запаса звуковой энергии; уменьшение амплитуды зависит от того, что по мере распространения сферической волны растет пропордионально объему сферического слоя количество вещества, вовлеченное в движение.

Вторая особенность сферических волн заключается в том, что за волной сжатия с необходимостью следует волна разрежения. Если в начальный момент вокруг центра находилось сжатое вещество (рис. $61 a$ ), расширение его дает начало волне сжатия, за которой следует волна разрежения (рис. 61б, $A B C$ и $C D E$ ); при этом мы имеем две области нарастания давления ( $A B$ и $D E$ ) и одну область понижения давления ( $B C D$ ).
Рис. 61.
Зависимость скорости распространения от амплитуды вызовет уменьшение расстояний $A B$ и $D E$ и увеличение расстояния $B D$; Дандау [128] отмечает, что в пределе, по истечении достаточного времени (и после прохождения достаточно длинного пути) волна примет форму, показанную на нижнем рисунке 61 в с двумя ударными волнами $A B$ и $D E$.

С момента образования ударной волны дальнейшее распространение сопровождается диссипаџией звуковой әнергии, преврашением ее в тепловую; амплитуда максимального давления падает быстрее, чем раньше, быстрее, чем по закону $\frac{1}{r}$.

Подойдем к нахождению количественных эакономерностей, сохраняя акустическую формулу \& III
\[
\pi=\frac{\mu\left(r-c_{0} t\right)}{r}
\]

в качестве нулевого приближения. В следующем приближении, вместо $c_{\theta}$, аы подставим скорость распространения $c+a$, соответствующую данному состоянию. Найдем, как меняется расстояние между парой точек, например $m$ и $n$, которым отвечают определенные значения $\mu_{m}$ и $\mu_{n}$ по мере распространения волны
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r_{m n}}{d t}=(c+u)_{m}-(c+u)_{n}=c_{0}\left(1+\frac{k+1}{2 k} \frac{\mu_{m}}{r}\right)-c_{0}\left(1+\frac{k+1}{2 k} \frac{\mu_{n}}{r}\right)= \\
=c_{0} \frac{k+1}{2 k} \frac{\mu_{m}-\mu_{n}}{r} \text {, } \\
\stackrel{d r_{m n}}{d r}=\frac{1}{c_{0}} \frac{d r_{m n}}{d t}=\frac{k+1}{2 k} \frac{\mu_{m}-\mu_{n}}{r}, \\
r_{m n}=r_{m n 0}+\frac{k+1}{2 k}\left(\mu_{m}-\mu_{n}\right) \ln \frac{r}{r_{0}} \text {. } \\
\end{array}
\]

Рассмотрим отрезок $A B$, отождествляя $m=A, n=B$, так как $\mu_{B}>\mu_{A}$; отрезок $A B$ сокраџается по мере движения волны; ва расстоянии $r$, таком, что
\[
\ln \frac{r}{r_{0}}=\frac{r_{A B 0}}{\mu_{B}-\mu_{A}} \frac{2 k}{k+1},
\]

длина отрезка $r_{A B}$ обращается в нуль, т. е. образуется ударная волна. То қе относится и к $D E$.

Напротив, длина участка $B C D$. на котором происходит падевие давления, растягиваотся по мере распространения, так что производная $\partial \mu / \partial r$ уменьшается с ростом $t$ и с ростом $r$,
\[
\frac{\partial \mu}{\partial r}=\frac{\mu_{n}-\mu_{m}}{r_{n m}}=\frac{1}{a+\frac{k+1}{2 k} \ln r},
\]

где
\[
a=\left(\frac{\partial \mu}{\partial r}\right)_{0}^{-1}-\frac{k+1}{2 k} \ln r_{0} .
\]

Рассмотрим теперь закон изменения амплитуды ударной волны. Величина $\mu^{*}$ во фронте ударной волны падает потому, что скорость распростравения ударной волны менъше скорости распространения состояния с постоянным значениех $\mu$. Аналогичво расчету одномерного случая, найдем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \mu^{*}}{d t}=-(c+u-D) \frac{\partial \mu}{\partial r}, \\
c_{0} \frac{d \mu^{*}}{d r}=-\frac{k+1}{4 k} c_{0} \frac{\mu^{*}}{r} \cdot \frac{1}{a+\frac{k+1}{2 k} \ln r} \cdot
\end{array}
\]
1 При выводе (XXIV-27) в выражении (XXIV-25) мы приняли простую связь $c+u$ и $\pi$, пренебрегая членами $\sim r^{-2}$. В формуле (XXIV-26) мы заменили $c+u$ на $c_{0}$, считая амплитуду малой.

урвнение легко интегрируется:
\[
\left.\begin{array}{c}
\mu^{*}=\frac{\text { const }}{\sqrt{a+\frac{k+1}{2 k} \ln r}}, \\
\pi^{*}=\frac{\mu^{*}}{r}=\frac{\text { const }}{r \sqrt{a+\frac{k+1}{2 k} \ln r}}
\end{array}\right\} \text { (XXIV-31) }
\]
(XXIV-31)

Сравнивая результат с одномерным распространением, отметим любопытную формальную авалогию: зависпмость $\pi$ от $x$ в одномерном случае имеет такой ше вид, как й зависимость $\mu=t r$ от $\ln r$ в сферическом случае.
Расчеты для сферического случая приводят к выводам:
1. Спеџифическое для ударной волны добавочное падение амплитуды оказывается на большом расстоянии весьма слабым, как $(\ln r)^{-1 / 2}$, по сравнению с акустическим падением $\left(r^{-1}\right)$.
2. Установление предельной формы волны, к которой она стремится при $r \rightarrow \infty$, происходит тогда, когда становится достаточно большим $\ln r$. Это требование гораздо сильнее, чем условие, чтобы $r$ было велико. Большое значение $\ln r$ может достигаться при столь больших $r$, при которых абсолютное значение амплитуды волны станет настолько малым, что ее распространение уже не представляет интереса; в игру могут быть при большом времени распространения вовлечены новые факторы.

Поэтому использование предельных законов требует большой осторожности; в большей мере, чем в других случаях, приходится основываться на опытных данных, несмотря на их неполноту.

На рис. 59 стр. 168 были приведены кривые изменения давления со временем, измеренные на различном расстоянии от места взрыва. Эти кривые заимствованы из статьи известного английского физика Берналя „Физика воздушных налетов“, опубликованной в 1941 г. [101]. \»Наряду с британскими мерами оригинала справа мы даем метрические шкалы. Переход от кривых $\pi(t)$ при $r=$ const к мгновенному распределению давления в пространстве $\pi(r)$ при $t=$ const довольно сложен, так как скорость распространения и амплитуда не постоянны.

Для того чтобы дать некоторое приблизительное представление о толџине слоя, охваченного в каждый данный момент возмущением, кроме шкалы времени, приводим шкалу $c_{0} t$ произведения времени на скорость звука $c_{0}$ в невозмушенном воздухе.

Что же можно почерпнуть из рис. 59? Опыт подтверждает существование волны разрежения, следующей за волной сжатия. $\mathrm{Ha}$ большом удалении произведение средней амплитуды на ширину волны разрежения приближается к такой же величине волны сжатия. Импульс силы, действующей за большой промежуток времени ( $0.015-0.020$ сек., как видно из чертежа), представляет собою разность действия волны сжатия и направленного в противоположную сторону действия волны разрежения. Поэтому оказывается, что импульс силы падает быстрее, чем амплитуда волны.

В теоретической части, следуя Ландау, мы установили, что предельная форма волны отличается двумя скачками давления — спереди и сзади (см. рис. 60в). Кривые Берналя не показывают образования скачка давления сзади. По форме последней части волны разрежения мы предвычислим то расстояние, на котором должен образоваться скачок.

Выберем для расчета кривую с хорошо выраженной волной разрежения, записанную на расстоянии 20 футов от заряда (вторая сверху, рис. 59).

При $r_{0}=6$ м минимум давления составляет $\pi_{\min }=-0.04$, расстоячие точки минимума давления $m$ от точки $n$, в которой восстанавливается давление, составляет около $r_{m n 0}=3 \mathrm{~m}$,
\[
\begin{array}{c}
\mu_{m}=-0.04 \cdot 6=-0.24, \mu_{n}=0 . \\
r_{m i n}=r_{m n 0}+\frac{k+1}{2 k}\left(\mu_{m}-\mu_{n}\right) \ln \frac{r}{r_{0}}=3-\frac{6}{7} \cdot 0.24 \ln \frac{r}{r_{0}} .
\end{array}
\]

Полагая $r_{m n}=0$, найдем расстояние $r$ образования скачка:
\[
\ln \frac{r}{r_{0}}=\frac{3 \cdot 7}{0.24 \cdot 6}=14.5 ; \quad r=r_{0} \cdot \mathrm{e}^{14.5}=12 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} .
\]

Предельную форму волна примет на расстоянии 12000 км. Понятно, что в этом случае все относяшиеся к предельной форме утверждения не имеют никакой реальной ценности. расчет приводит к выводу, что в сферическом распространении формирование ударной волны за счет зависимости скорости распространения от амплитуды происходит весьма медленно. Передняя ударная волна, в которой давление скачком поднимается до максимального значения, не формируется таким путем, а образуется сразу в момент, когда заканчивается детонауия заряда взрывчатого вещества и происходит соприкосновение продуктов взрыва с воздухом; в этот момент (на расстоянии от центра, равном радиусу заряда, около $6 \mathrm{~cm}$ дхя заряда, к которому относится рис. 59) амплитуда ее достигает огромных значений (см. \& XXIII); при последующем распространении амплитуда падает, но нарастание давления сохраняет характер ударной волны.

По вопросу об амплитуде давления в ударной волне, сопровождающей взрыв, имеется обширная экспериментальная литература. Однако следует с осторожностью использовать старые даннье, так как для правильного измерения быстро изменяющегося давления необходимы достаточно безинердионные приборы.

В большинстве случаев воспринимающая давление поверхность прибора устанавливалась навстречу направлению распространения волны; доходя до поверхности, волна отражалась. Пиковое (максимальное) давление при этом растет в два раза для слабых волн и более сильно прн большой амплитуде (см. \& XIX). Обрабатывая данные многих авторов, Власов вывел зависимость
\[
p_{m}=p_{0}+2.4 \frac{\sqrt[3]{M}}{r}=p_{0}+44 \frac{R}{r},
\]
(XXIV-33)

где $p_{m}$ — давление, развивающееся при отражении взрывной волны,
$p_{0}$ — атмосферное давление,
$r$ — расстояние от уентра взрыва, выраженное в метрах,
$R$ — әффективный радиус заряда (в м), $M$ — вес заряда (в кг); формула справедлива для ВВ типа тротила, другие ВВ, значительно отличаюшиеся по мощности, требуют введения поправок.

Власов ограничивает применимость формулы условием $r>85 R, r>4.4 \sqrt[3]{\bar{M}}$ (зависимость сильнее формулы (XXIV-33) при меньших расстояниях). Садовский дает для всего исследованного им интервала следующее выражение максимального давления:
\[
p_{m}=p_{0}+12 \frac{\sqrt[3]{M}}{r}-22 \frac{\sqrt[3]{M^{2}}}{r^{2}}+147 \frac{M}{r^{3}} .
\]
(XXIV-34)

Таким образом, на больших расстояниях формула Садовекого $^{1}$ дает в 5 раз большее значение амплитуды давления по сравнению с формулой Власова: коэффиџиент при старшем члене 12 , вместо 2.4 . К выяснению действительного значения амплитуды мы привлекли прежде всего данные Берналя (табл. 6).

В первых четырех столбџах приведены данные опытов Берналя; по измеренному им максимальному давлению $p_{1}$, считанному с графиков, давление $p_{m}$ вычислено по формуле отражения ударной волиы (XIX-2). Как вндно из таблиуы, начиная с $p_{1}-p_{0} \leqslant 0.15$, практически $p_{m}-p_{0}=2\left(p_{1}-p_{0}\right)$.
1 Примочание при корректуре: формула была сообщева М. А. Садовским в докладе 1942 г.; позже он уетановил [127], что все коөффиџиенты должны быть уменьшены в 1.92 раза.

При больших расстояниях подтвершдается именно формула Власова.

Нелья ли предполохить, что зарегистрированные Садовским высокие давления длятся весьма кратковременно, вследствие чего другими авторами и другими способами они не регистрируются? Наилучшей проверкой такого предположения является сопоставление со скоростью распростравения ударной волны, однозначно зависящей от амплитуды (табл. 7).
Та 6 ми и а 7
Задаваясь определенной зависимостью давления от расстояния, можно найти значения скорости в каждой точке; вычисление средней скорости требовало бы более сложного расчета. В таблиџе эти значения сопоставлены с заимствованными у Савича [113] экспериментальными данными францувских исследователей, определявших скорость волны. Сопоставление также неблагоприятно для формулы (XXIV-34).

Заметим, наконед, что предположение об остром пике давления противоречит теоретическим представлениям: такой пик должен был бы подвергнуться весьма быстрому ослаблению и расширению. По кривым Берналя мы можем определить скорость изменения давления после ударного сжатия и отсюда закон изменения амплитуды самой ударной волны.

Если для расстояний $10-40-200$ м (при заряде в 1 кг) истинный закон падения амплитуды аппроксимировать степенной функцие $\pi=$ const $\cdot r^{-1}$, то значение показателя $v$ в втих пределах падает от 1.4 до 1.25 ; при большом расстоянии простая формула $\pi=\mathrm{const} \cdot r^{-1}$ дает удовлетворительное приближение к истинному закону.

В § XXI отмечено, что длительность действия давления взрывной волны пропорџиональна линейному размеру (напримор радиусу) заряда; величину размерности времени мы получим, составляя отношение радиуса заряда к скорости звука $R / c_{0}$. Данные Берналя показывают, что время действия волны сжатия $\tau$ составляет от 0.003 до 0.005 сек., тогда как $\frac{R}{c_{0}}$ для его заряда равно $\frac{0.06}{330}=0.0002^{\prime \prime}$; таким обравом, безравмерное отношение $\tau: \frac{R}{c_{0}}$ колеблется от 15 до 25 и заметно отличается от 1. Большая длительность и соответственно больщая пространственная протяженность взрывной волны вполне естественны. Ширина волны и длительность действия сохраняются при распространении слабой акустической волны. Мы имели бы $\tau: \frac{R}{c_{0}} \approx 1$ в том случае, если бы начальное возмуџение можно было считать слабым, т. е. если бы изменение давления в области, занятой взрывчатым веществом, было мало.

В действитехьности в первых стадиях распространения амплитуда давления огромна, акустическое приближение совершенно непригодно. Приближенно правильным его можно считать, лишь начиная с того момента, когда среднее давление в охваченной возмущением области падает до 1 атм. Для обычных BB объем такой области достигает $10 \mathrm{~m}^{3}$ на $1 \mathrm{kr}$, чему отвечает радиус $R^{\prime}=1.35 \sqrt[3]{M}$ (м, кг); радиус $R^{\prime}$ области, в которой среднее давление равно 1 атм (2 ата), в 22 раза больше радиуса заряда. В согласии с нашими представлениями величина $\tau: \frac{R^{\prime}}{c_{0}}$ действительно порядка 1.

Вследствие большой ширины и длительности волны импульс давления, действуюџего на поверхность тела, нормальную волне, чрезвычайно сильно зависит от условий отражения волны и обтекания тела воздухом, приведенным в движение волной. Повндимому, этим объясняются значительные противоречия в экспериментальной литературе по этому вопросу.

Кривые Берналя позволяют найти, хотя бы с малой точностью, к. п.д. превращения энергии ВВ в энергию взрывной волны. Энергия волны состоит из двух частей — кинетической әнергии движения воздуха и потенциальной энергии, равной работе изменения давления воздуха. Очевидно, что как сжатие, так и разрежение воздуха, находившегося под атмосферным давлением, требует затраты энергии и увеличивает потенциальную энергию системы.

Полная энергия единиџы объема равна приближенно $25\left(\frac{\Delta p}{p}\right)^{2}$ ккал/м ${ }^{3}$; расчет для распределения, отвечающего кривым Берналя, дает к.п. д. около $30-40 \%$; при әтом әнергии волны сжатия и волны разрежения относятся приблизительно, как $3: 1$. Таким образом, энергия взрывчатого вещества превращается в энергию взрывной волны и переносится на расстояние, в сотни и тысячи раз превышаюшеө размер заряда ВВ с к. п. д. того же порядка, что и к. п. д. преврашения энергии пороха в әнергию движения снаряда в орудии или энергии горения топлива в механическую энергию в двигателе.