Мы приступаем к исследованию того тонкого слоя, внутри которого в ударной волне происходит переход из одного состояния в другое, – слоя между контрольными поверхностями $A$ и $B$ рис. 23 б. В предыдушем изложении мы не рассматривали продессов внутри әтого слоя на том основании, что толщина слэя, которая определяется диссипативными силами, весьма мала и результаты продессов, происходящих в этом слов, нам удается определить из уравнений сохранения без детального рассмотрения самих этих проуессов.

Здесь нас будут интересовать именно продессы внутри слоя и его толщина. Мы рассмотрим раздельно два предельных случая: 1) случай весьма малой вязкости и 2) случай малой теплопроводности; более сложный в математическом (но не в физическом) отношении случай совместного влияния вязкости и теплопроводности мы рассматривать не станем и для него приведем лишь окончательное выражение толщины переходного слоя.
Первый случай замечателен тем, что уравнение (XI-1)
\[
D^{2}=v_{1}^{2} \frac{p-p_{1}}{v_{1}-v},
\]

связывающее между собой изменение плотности, изменение давления и скорость распространения волны, оказывается пригодным не только для конечного состояния, которое достигается в ходе сжатия, но и для всех промежуточных состояний внутри слоя.

Действительно, это уравнение является следствием первых двух уравнений сохранения – сохранения вешества и количества движения.
Уравнение сохранения вещества в простой форме (VIII-1)
\[
\varrho u=\frac{u}{v}=\text { const }
\]

выполнено всегда при распространении плоской волны; при распространении волны в трубе необходимо, чтобы сечение трубы было постоянным; кроме того, на стенках трубы не должно происходить поглощение или выделение вешества. Для выполнения уравнения количества движения для начального и конечного состояния в простом виде (VIII-2)
\[
p+\varrho u^{2}=\text { const }
\]

необходимо, чтобы на вещество не действовали внешние силы; при распоостранении в трубе необходимо пренебречь силами трения о стенки трубы. Наконед, при рассмотрении промежуточных состояний, интересующих нас здесь, для выполнения (VIII-2) необходимо, чтобы были малы силы внутреннего трения (вязкости).

В ударной волне, в среде, в которой имеют место только продессы, учитываемые в уравнении энергии, например выделение энергии химической реакџии (детонаџионная волнасм. [8], [59], [60]) или теплопроводность, уравнение (XI-1) применимо ко всем промежуточным состояниям. При распространении ударной волны как џелого скорость, с которой каждое ия промежуточных состояний движется относительно исходного состояния, одна и та же. В уравнении (XI-1) величину $D$ мы должны считать постоянной; таким образом, это уравнение приводит к линейной связи между давлением и объемом
\[
p=p_{1}+\frac{D^{2}}{v_{1}}-\frac{D}{v_{1}{ }^{2}} v .
\]
(XII-1)
В плоскости $p, v$ (рис. 32) состояние меняется по прямой, соединяющей точки, описывающие начальное $A$ и конечное $B$ состояния вещества.

Зная связь между давлением и плотностью, которая имеет место на всем протяжении фронта ударной волны, мы сможем найти ее ширину элементарным интегрированием.

Можно показать, что вдоль прямой $A B$ энтропия достигает максимума где-то посередине (точка $M$ рис. 32 ) между начальным и конечным состояниями вешества.

Действительно, в точке $A$ скорость волны относительно вещества больше скорости звука, в точке $B$ скорость волны меньше скорости звука; в какой-то точке $M$ скорость волны равна скорости звука. В этой точке прямая $A B$ касается адиабаты Пуассона и, следовательно, энтропия максимальна. ${ }^{1}$

В сделанном прєдположении об отсутствии вязкости изменение әнтропии происходит лишь за счет теплопроводности. В стаџионарном режиме, в системе координат, в которой сама ударная волна
Рис. 32. $A$ и $B$ начальное и конечное состояние газа, сжатого ударной волной. Сплошные кривые – адиабаты Пуассона, т. е. линии постоянной өнтропии, возрастающей от $S_{A}$ ₹ $S_{B}$ и $S_{M}$. В отсутствии вяякости, но при наличии теплопроводности состояние ияменяется по прямой $A B$, на которой энтропия достигает макси мума в точке касания $M$. В отсутствии теплопроводности при наличии вязкости состояние меняется по пунктирной кривой $A B$, на которой әнтропия монотонно растет от $A$ к $B$. Адиабата Гюгонио не проведена на рисунке (она также проходит через $A$ и $B$, но не совпадает с пунктирной линией). покоится, от субстанциальной производной по времени мы легко перейдем к производной по координате. В этом случае излишен также знак частной производной, поскольку рассматриваемый продесс в выбранной системе стаџионарен, от времени не зависит. Окончательно:
\[
\varrho T u \frac{d S}{d x}=\frac{d}{d x} \lambda \frac{d T}{d x} \simeq \lambda \frac{d^{2} T}{d x^{2}},
\]
1 На рисунке 32 адиабаты Пуассова, проходядие через точки $A, B, M$, отмечены янаками $P_{\Delta}, P_{B}, P_{H}$.

где $\lambda$-теплопроводность вещества. Температура, по крайней мере в слабой ударной волне, монотонно меняется вдоль прямой $A B$.

Искомое решение – распределение температуры и энтропии как функций от координаты – имеет вид, изображенный на рис. 33; точка, в которой энтропия достигает максимума, совпадает как раз с точкой перегиба зависимости температуры от координаты.

Из оденок предыдущего параграфа легко найти порядки вэличин (считая изменение объема при сжатии величиной пер-
Рис. 33. Внутренняя структура ударной волны небольшой амплитуды при наличии теплопроводности, но в отсутствие вязкости. Обоэначения см. рис. 32 .

вого порядка малости): $\Delta p, \Delta T$ – первого порядка, пропорџиональны $\Delta v ; S_{M}-S_{A} \sim S_{M}-S_{B}$ – второго порядка, пропорџиональны $(\Delta v),{ }^{2} S_{B}-S_{\Delta}$ – третьего порядка, пропорџионально $(\Delta v)^{3}$. Легко проязвести оџенку ширины фронта ударной волны, интегрируя (XII-2) до точки $M$ :
\[
\frac{1}{v} T u\left(S_{M}-S_{\Delta}\right)=\lambda\left(\frac{d T}{d x}\right)_{M} \simeq \lambda \frac{\Delta T}{\Delta x} .
\]
\[
\Delta x \sim \lambda \frac{\Delta T}{S_{M}-S_{A}} \sim \lambda \frac{\Delta v}{(\Delta v)^{2}} \sim \frac{\lambda}{\Delta v} .
\]

Определение $\Delta x$, отвечающее последним формулам, см. на рис. 33. Порядок величины коәффиџиента оџеним из раямерности
\[
\Delta x \simeq \frac{i}{R} \frac{v^{2}}{c \Delta v}
\]

где $R$-газовая постолнная – размерности теплоемкости кал/градус-грамм, степени » и с подобраны так, чтобы дать величину раямерности длины.

Изображенное на рис. 33 распределение представляет собой конкретизаџию идей Ренкина [78].

Любопытно, что при сильном сжатии возникает своеобразная принципиальная трудность, именно на линии $A B$ между точками $\tilde{A}$ и $B$ достигается максимум температуры в том случае, если давление в ударной волне $p_{B}$ превышает $1.5 p_{A}$ (при $c_{p} / c_{p}=7 / 5$ для двухатомного газа).

При этом максимум температуры лежит при более высоком давлении, чем максимум энтропии.

При наличии максимума температуры оказывается невозможным построить непрерывное распределение температуры и энтропии в пространстве, которое удовлетворяло бы основному уравнению (XII-1).

Как показал Рейлэй [79], эта трудность указывает на необходимость введения в рассмотрение также вязкости. Однако при действии молекулярной вязкости изменяется не только уравнение энергии, но и уравнение движения [наше уравнение (VIII-2)]. Таким образом, в этом случае траектория системы в $p, v$ плоскости отклоняется от линии $A B$. Позднее эти же соображения, без упоминания Рейлэя, были приведены у Беккера[38] (со ссылкой на частное сообщение Прандтля, см. также [76]).

Во втором предельном случае, при отсутствии теплопроводвости и действии одной вязкости, изменение энтропии в волне происходит только за счет превращения в теплоту работы против сил вязкости [см. формулу (I-18)].
\[
\varrho T \frac{d S}{d t} \sim \eta\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2} .
\]

Согласно последнему уравнению, энтропия под действием вязкости монотонно растет; изменение состояния на диаграмме $p, v$ изображается кривой, заключенной между адиабатами Пуассона, пооходящими через начальную и конечную точки (пунктир рис. 32). Введем снова понятие әффективной ширины:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{x}}=\frac{u_{B}-u_{A}}{\Delta \boldsymbol{x}}, \\
\frac{d S}{d t}=D \frac{\partial S}{\partial \boldsymbol{x}} \leftrightharpoons D \frac{S_{B}-S_{A}}{\Delta \boldsymbol{x}} .
\end{array}
\]

Из уравнения (XII-5) легко найдем (отождествляя $D$ и с по порядку величины), замечая, что $u_{\mathrm{B}}-u_{\mathrm{A}}=D \cdot \Delta v / v$,
\[
\Delta x \simeq \frac{\eta v^{2}}{\Delta v c} .
\]

Отклонение состояния от прямой $A B$ происходит благодаря импульсу сил вязкости. Уравнение стационарного движения по одной координате гласит:
\[
\varrho u \frac{d u}{d x}=-\frac{d p}{d x}-\frac{d}{d x}\left(\frac{2}{3} \eta \frac{d u}{d x}\right) \text {. }
\]

Интегрируя, найдем: ${ }^{1}$
\[
p+\varrho u^{2}+\frac{2}{3} \eta \frac{d u}{d x}=p_{\Delta}+\varrho_{A} u_{A}^{2}=p_{B}+\varrho_{B} u_{B}{ }^{2}, \quad(\mathrm{XII}-10)
\]

но из уравнения неразрывности мы найдем:
\[
\begin{array}{c}
u \varrho=\frac{u}{v}=M=\text { const; } \frac{d u}{d x}=M \frac{d v}{d x}, \quad \text { (XII-11) } \\
p+M v+\frac{2}{3} \eta M \frac{d v}{d x}=p_{A}+M v_{A}=p_{B}+M v_{B}=\text { const. (XII-12) }
\end{array}
\]

Без члена $\frac{2}{3} \eta M \frac{d v}{d x}$ уравнение дает прямую $A B$.
Если, согласно рис. $32,\left(\frac{\partial^{2} p}{\partial v^{2}}\right)_{S}>0$, то пунктирная линия, заключенная между адиабатами $S=S_{A}$ и $S=S_{B}$, целиком лежит ниже прямой, так что в волне
\[
p+M v<p_{A}+M v_{A} .
\]

В этом случае из уравнения находим $\eta M \frac{d v}{d x}<0$, в волне $v$ уменьшается, происходит сжатие; волна разрежения требовала бы отрицательной вязкости. Рассмотрение структуры фронта при действии вязкости привело нас к тем же выводам относительно связи возможности волн сжатия или разрежения со знаком $\left(\frac{\partial^{2} p}{\partial v^{2}}\right)_{S}$, к которым мы пришли иным путем раньше.

При полном отсутствии теплопроводности уменьшение коәффиџиента вязкости приведет только к уменьщению ширины фронта, так что увеличится производная $\frac{d u}{d x}$, произведение $\eta \frac{d u}{d x}$ останется постоянным, траектория в плоскости $p, v$ не изменится.
1 В состовннях $A$ и $B$, очевидно, $\frac{d u}{d x}=0$; при интогрировании надо учесть, что $\varrho u=$ const по уравнению сохранения вещества.

При наличии теплопроводности уменьшение ширины и рост производных по $x$ при уменьщении вязкости окажется ограниченным; при достаточно малом значении $\eta$ окажется малым весь член $\eta \frac{d u}{d x}$, и мы приблизимся к выполнению уравнения $p+M v=$ const, т. е. уравнения прямой $A B$ (ср., впрочем, сделанные выше замечания о сильных ударных волнах, в которых на отрезке прямой $A B$ имеет место максимум температуры; в этом случае в определенной части фронта именно вязкость, как бы она ни была мала, определяет величину производных).

Для опенки порядка величины ширины фронта воспользуемся молекулярно-кинетическими выражениями коәффиџиентов теплопроводности и вязкости. Ґегко найдем в обоих предельных случаях:
\[
\Delta x \sim l \frac{v}{\Delta v} \sim l \frac{p}{\Delta p} \sim l \frac{c}{u_{1}-u_{2}},
\]

где $l$ есть длина свободного пробега молекул в газе. ${ }^{I}$
Для воздуха при атмосферном давлении, принимая критерий Прандтля (отношение кинематической вязкости к температуропроводности) равным 1, Тэйлор [93], [24] через коэффидиент диффузли $B$ дает следующее выражение ширины фронта ударной волны
\[
\Delta x=\frac{4.4 B}{u_{1}-u_{2}} .
\]

Дяя воздуха при атмосферном давлении $B=0.18 \mathrm{~cm}^{2} /$ сек,
\[
\Delta x=\frac{1}{u_{1}-u_{2}}=4.10^{-5} \frac{1}{\Delta p}\left(\Delta x-\text { см, } u-\text { см/сек, } \Delta_{p}\right. \text {-атм). (XII-16) }
\]

Все оџенки согласно указывают на то, что в сколько-нибудь мошных ударных волнах, в которых $\Delta v \cong v$ и $\Delta p \sim p$ ширина
1 Во всех приведениых выше расчетах мы рассматривали идеалъный ras, для которого (по крайней мере по порядку величнны) имеют место следую
\[
\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{S} \simeq-\frac{p}{v} ; \quad \frac{\partial^{2} p}{\partial v^{2}} \simeq \frac{p}{v^{2}} .
\]

В общем случае легко уетановить, что при прэчих равных условиях ширина Фронта обратно пропоруиональна величине $\left(\frac{\partial^{2} p}{\partial \psi^{2}}\right)_{S}$, в соответствия с ролью, которую эта величина играет в теории ударной волны.

Фронта порядба длины свободного пробега; в этих условиях детальные расчеты структуры и применение дифференциальных уравнений гидродинамики теряют смысл.