Мы подошли к теории ударной волны, рассматривая движение, получающееся при сжатии газа поршнем, в определенный момент ( $t=0$ ) начавшим двигаться с постоянной скоростью. В этом случае мы пришли к режиму, в котором ударная волна сразу образуется у поршня в момент начала его движения и дальше распространяется с постоянной интенсивностью. При конечной массе поршня такое движение требовало бы преодоления бесконечно большой силы инерции в начальный момент при мгновенном изменении скорости поршня.

Рассмотрим движение газа, возникаюшее при постепенном ускорении поршня, сжимающего газ и покоящегося в начале движения. Мы можем легко сконструировать движение, заменяя непрерывное ускорение большим числом мельчайших скачков скорости, т. е. заменяя плавную кривую в плоскости $\boldsymbol{x}-\boldsymbol{t}$ ломаной, составленной из хорд этой кривой. ${ }^{1}$

Рассмотрим подробно первые этапы движения. Поршень начинает двигаться и дзижется в течение времени $t_{1}$ с малой постоянной скоростью $w_{1}$.
В течение атого времени по газу распространяется ударная
1 Мы ограничиваемея здесь ясылкой на работу Каньяра [43], рассматривающего движения с малой амплнтудой. В отличие от всех остальных работ, Кавъяр с самого начала рассматривает уравнония движения, содершацио вязкостные члены, так что расчеты описывают не только образованде удар. ной волны, но и стац́ионарную структуру фронта волны. Физич зский интерес такого рассмотрения невелик, так как до образования ударной волны действио визкости ничтожно, а стадионарная структура может быть более эффективно найдена прямыми мотодами, в которых яаранее предполагается стадионарность волны.

волна постоянной интенсивности, причем скорость движения вещества, подвергшегося действию ударной волны, постоянна и равна скорости поршня $w_{1}$. Иными словыми, относительно непосредственно примыкающего к нему газа поршень покоится. В момент, когда произойдет следующий скачок скорости до величины $w_{2}$, повторится то же самое, и по газу, примыкающему к поршню и сжатому первой ударной волной, пойдет вторая ударная волна, характеризующаяся скачком скорости $w_{2}-w_{1}$, и т. д.

На рис. 36 показана картина распределения скорости в пространстве после трех таких скачков. Совершенно аналогичный вид имеют графики распеделения давления и плот-: ности в тот же момент времени.
Рис. 36. Распространение ряда последорательных импульсов. С течением времени точка 3 догоняет 2, обе догоняют 1. По оси ординат отложена скорость движения гаяа.
Фундаментальное значение приобретают сейчас показанные в обџем виде Жуге ([58,60], см. также Дюгем [48]) свойства ударных волн; скорость распространения волны 7 относительно сжатого в ней газа в отрезке 2-1 меньше скорости эвука в состоянии $I$.

Напротив, скорость волны 2 относительно состояния $I$, которое для этой волны является начальным, должна быть больше скорости звука в состоянии $I$ и, согласно Жуге, тем более превышает скорость распространения волны 1 .

Отсюда видно, что волны догоняют друг друга, имеют тенденџию кумулироваться (накапливаться), объединяясь в мощную ударную волну. Гюгонио связывает с этим обстоятельством устойчивость ударной волны [56]. Адамар [54] и Беккер [38] рассчитывают момент и место начала кумуляџии в зависимости от ускорения поршня.

В плоскости $x, t$ кум уляции соответствует пересечение характеристик (линий, изображающих движение отдельных ударных волн) впереди поршня.

В случае разрежения (движения поршня от газа) характеристики расходятся веером, не пересекаясь, и найденное решение (ср. § VI) остается правильным неограниченно долго. Уменьшая отдельные скачки скорости и увеличивая их число, мы придем к непрерывной плавной кривой движения поршня и к непрерывному распределению плотности, давления, скорости в газе перед поршнем вместо ступенек.

Однако в случае сжатия такое решение будет правильным только до момента пересечения характеристик, т. е. момента, когда одна волна догонит предыдущую.

При уменьшении величины скачка скорости $w_{n}-w_{n-1}$, с одновременным пропоруиональным уменьшением интервала времени между двумя последовательными скачками время и место соединения двух волн (гочка пер әсечения в плоскости $x-t$ ) стремятся к вполне определенному пределу. Найдем этот предел. Скорость рас юостранения весьма слабой волны не отличается от скорости звука. В движущемся газе к скорости звука добавляется скорость движения самого газа, равная скорости поршня, так что скорость распространения слабой волны в пространстве равна $c+w$. За время $\Delta t$ волна уйдет на расстояние $(c+w) \Delta t$.

Если за это время скорость поршня изменилась на величину $\Delta w$ и вывванное изменением скор сти поршня сжатие изменило скорость звука на величину $\Delta c$, скорость распространения увеличилась на $\Delta w+\Delta c$. Сумма $\Delta w+\Delta c$ и представляет скорость, с которой одна волна догоняет другую (разность их скоростей), так что встреча прсизойдет через время $\boldsymbol{t}=\frac{c+w}{\Delta c+\Delta w} \Delta t$.

Используя найденные в акустике законы изменения состояния в слабых волнах (мы могли бы по чучить их и предельным переходом от уравнений ударных волн), мы легко вычислим последнюю величину:
\[
t=\frac{c+w}{\Delta c+\Delta w} \cdot \Delta t=\frac{c+-w}{\frac{\Delta c}{\Delta w}+1} \frac{\Delta t}{\Delta w} .
\]

После предельного перехода лолучим:
\[
\frac{\Delta t}{\Delta w}=\frac{1}{d w_{j} d t}=\frac{1}{g},
\]
(XIV-2)

где $g$ есть ускорение поршня.
\[
\frac{\Delta c}{\Delta w}=\frac{d c}{d w}=\frac{d c}{d 2} \frac{d Q}{d w} .
\]
(XIV-3)

В акустике мы нашли:
\[
d u=\frac{c}{\varrho} d \varrho ; \quad c=\sqrt{\frac{\partial p}{\partial \varrho}} .
\]

Так как скорость газа $и$ равна скорости поршня $w$, получим
\[
\frac{d \varrho}{d w}=\frac{\varrho}{c} ; \quad \frac{d c}{d \varrho} \frac{d \varrho}{d w}=\frac{\varrho}{c} \frac{d c}{d \varrho}=\frac{d \ln c}{d \ln \varrho} .
\]
(XIV-4)
Для идеального газа легко найдем:
\[
\begin{array}{c}
c \sim \sqrt{T} \sim \varrho^{\frac{k-1}{2}} ; \quad \frac{d \ln c}{d \ln \varrho}=\frac{k-1}{2}, \\
t=\frac{c+w}{1+\frac{k-1}{2}} \frac{1}{g}=\frac{1}{g} \frac{2}{k+1}(c+w) .
\end{array}
\]

В случае произвольного уравнения состояния преобразуем знаменатель (XIV-1) следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d c}{d w}+1=\frac{\varrho}{c} \frac{d c}{d \varrho}+1=\frac{1}{2 \varrho c^{2}}\left(2 \varrho^{2} c \frac{d c}{d \varrho}+2 \varrho c^{2}\right)= \\
=\frac{1}{2 \varrho c^{2}} \frac{d}{d \varrho} \varrho^{2} c^{2}=\frac{1}{2 \varrho c^{2}} \frac{d}{d \varrho} \varrho^{2} \frac{d p}{d \varrho} .
\end{array}
\]

Переходя к более удобной переменной-удельному объему $\boldsymbol{v}=\frac{1}{\varrho} ; \frac{d}{d v}=\varrho^{2} \frac{d}{d \varrho}$, найдем:
\[
\frac{d c}{d w}+1=\frac{v^{3}}{c^{2}}\left(\frac{\partial^{2} p}{\partial v^{2}}\right)_{S}
\]
(XIV-8)

и в пределе при $w \rightarrow 0$
\[
t=\frac{c^{3}}{v^{3}\left(\partial^{2} p / \partial v^{2}\right)_{S}} \frac{1}{g} .
\]
(XIV-9)

Таким образом, сама возможность одной волне догнать предыдущую и возможность возникновения ударной волны связаны со знаком $\left(\partial^{2} p / \partial v^{2}\right)_{s}$, роль которого в термодинамической теории мы отмечали раньше в § XI.

Общее рассмотрение всей картины движения при произвольном задании движения поршня представляет большие трудности $[54,38]$. Возникают ударные волны конечной, но переменной амплитуды, после их прохождения изменяется энтропия газа; только в самое последнее время Кибелю, Франклю и Христиановичу удалось развить эффективные графические методы расчета, которые, однако, слишком сложны для нашего курса (см. [11]). Аналитические методы до сих пор удалось найти только для движения до образования разрыва [37].

Значительно легче найти такое движение поршня, при котором все характеристики пересекаются в одной точке, т. е. все волны одновременно и в одном месте нагоняют друг друга.

Зададимся местом и временем образования ударной волны (соединения всех слабых волн), которъе связаны между собой условием $x_{b}=c_{0} t_{b}$, получающимся из рассмотрения первой слабой волны, распространяющейся по невозмушенному еще неподізиному газу. Перенося начало координат в $x, t$ плоскости в эту точку (новые координаты $x^{\prime}, t^{\prime}$ ), мы заметим, что состояние газа постоянно вдоль прямых (характеристик), проходящих через начало новой системы координат; иными словами, состояние газа зависит только от отношения $x^{\prime} / t^{\prime}{ }^{1}$ В частности только от отношения $x^{\prime} / t^{\prime}$ зависит скорость газұ и равная ей скорость движения поршня.

Таким образом, дифференџиальное уравнение движения поршня является однородным
\[
w=\frac{d x_{n}{ }^{\prime}}{d t^{\prime}}=f\left(\frac{x_{n}{ }^{\prime}}{t^{\prime}}\right)
\]
(XIV-10)

и элементарными приемами интегрируется в квадратурах (см. Смирнов, Курс высшей математикй, т. II, стр. 80).
Вид функџии $f$ найдем, замечая, что наклон характеристики
\[
\frac{x^{\prime}}{t^{\prime}}=u+c .
\]
(XIV-11) пространяющимися в одном направлении (см. § VI), при отсутствии ударных волн (при постоянной энтропии) иногда легко получить в явном виде $\left[\right.$ идеальный газ $\left.u=\frac{2}{k-1}\left(c-c_{0}\right)\right]$. Эту связь всегда можно найти при известном уравнении адиабаты $p=p \quad(\varrho, S=\mathrm{const})$ в параметрическом виде $[u=u(\varrho)$, $c=c(\varrho)]$ – см. ф-лы (VI-10).
Преобразуем ее к виду
\[
u=f(u+c),
\]

где $f$ есть как раз функџия $f$ уравнения (XIV-10).
1 Вее расчоты отноятся к состоянию до возникновения ударной волны $t<t_{b}$, т. е. $\boldsymbol{t}^{\prime}<0$. Движение происходкт в области $x<x_{b}$, где $x^{\prime}<0$.

Так, для идеального газа в случае $k=c_{p} / c_{v}=1.4$ имеет место
\[
\begin{array}{c}
u=\frac{2}{k-1}\left(c-c_{0}\right)=5\left(c-c_{0}\right)=\frac{5}{6}\left(c+u-c_{0}\right), \\
\frac{d x_{n}^{\prime}}{d t^{\prime}}=\frac{5}{6}\left(\frac{x_{n}^{\prime}}{t^{\prime}}-c_{0}\right) .
\end{array}
\]

Введем безразмерный параметр $y$
\[
\frac{x_{n}{ }^{\prime}}{t^{\prime}}=y c_{0} ; \quad x_{n}^{\prime}=c_{0} t^{\prime} y ; \quad \frac{d x_{n}^{\prime}}{d t^{\prime}}=c_{0} t^{\prime} \frac{d y}{d t^{\prime}}+c_{0} y
\]

Согласно (XIV-14), получим уравнение:
\[
c_{0} t^{\prime} \frac{d y}{d t^{\prime}}+c_{0} y=\frac{5}{6}\left(y c_{0}-c_{0}\right) .
\]

Переменные разделяются:
\[
t^{\prime} \frac{d y}{d t^{\prime}}=-\frac{1}{6} y-\frac{5}{6} .
\]

Начальные условия:
\[
t_{0}^{\prime}=-t_{b} ; \quad x_{0 n}^{\prime}=-x_{b}=-c_{0} t_{b}=c_{0} t_{0} ; \quad y_{0}=1 \text { (XIV-18) }
\]

Решение имеет следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
t^{\prime}=-t_{b}\left(\frac{y}{6}+\frac{5}{6}\right)^{-6}, \\
x_{n}{ }^{\prime}=c_{0} y t^{\prime}=-t_{b} c_{0} y\left(\frac{y}{6}+\frac{5}{6}\right)^{-6}=-x_{b} y\left(\frac{y}{6}+\frac{5}{6}\right)^{-6} \cdot
\end{array}\right\} \text { (XIV-19) }
\]

Возвращаясь к системе координат, в которой в начальный момент поршень находился в начале координат, получим следующее уравнение движения поршня в параметрическом виде:
\[
\begin{aligned}
x_{n} & =x_{b}\left[1-y\left(\frac{1}{6} y+\frac{5}{6}\right)^{-6}\right], \\
t & =t_{b}\left[1-\left(\frac{1}{6} y+\frac{5}{6}\right)^{-6}\right] .
\end{aligned}
\]

В явном виде уравнение несколько гомоздко.

Кривая (XIV-20) – (XIV-21) вычерчена точно на рис. 37; на кривой помечены скорости поршня в различных точках; пувктиром проведена первая характеристика.

Амплитуда разрыва плотности, скорости и давления в кєсте встречи зависит от того, в какой момент движение поршня отклоняется от только что найденного закона. ${ }^{1}$

В момент соединения всех волн в месте соединения образуется конечный разрыв; легко видеть, однако, что этот разрыв не может распространяться дальше как одно целое, без изменения, так как в распространяющемся без изменения разрыве – ударной волне – имеют место другие соотношения между плотностью, давлением и скоростью. Так, до момента
Рис. 37. Движение поршня (сплошная линия), при котором все характеристики пересекаются одновроменно в одной точке $A$ в верхнем правом углу чертежа. В отдельных точках помечена скорость поршня. $c_{0}$ – скорость звука в газе до сжатия.

образования разрыва градиенты везде были невелики, действием диссипативных сил можно было пренебречь, энтропия не ияменялась, связь между давлением и плотностью удовлетворяла уравнению адиабаты Пуассона. В ударной волне выполняется уравнение Гюгонио, энтропия растет.

Рассмотрение движения, возникающего в момент образования разрыва, мы отложим до § XVI; в ближайшем § XV будут приведены некоторые опытные данные, касаюшиеся возникновения ударных волн.
1 При $t \rightarrow t_{b}$ уравнения (XIV-20) и (XIV-21) приводят к $x_{n} \rightarrow x_{b}$, что отвечает бесконечному сжатию (конечное количество вещества с отрезка $0-x_{b}$ сжимается в стремящийся к нулю интервал между $x_{n}$ и $x_{b}$ ), бесконечному давлению и скорости.