Уравнение связи между давлением и плотностью в веществе, подвергшемся действию ударной волны, выведенное нами из элементарных соображений и рассмотрения законов сохранения, привело к неожиданному результату-росту энтропии при сжатии идеального газа ударной волной. При этом рост әнтропии получается непосредственно из сопоставления начального и конечного состояний вещества, которые связаны между собой уравнениями сохранения. Мы не рассматривали проџессы, протекаюшие между контрольными поверхностями $A$ и $B$ (рис. 23б), которые привели к росту энтропии. Формально одни уравнения сохранения, как мы уже указывали, симметричны относительно $\varrho_{1}, p_{1}$ и $\varrho_{2}, p_{2}$. Уравнениям сохранения мы могли бы удовлетворить также, рассматривая обратное движение – волну разрежения, в которой разрежение происходило бы внутри какого-то, ближе не рассматриваемого, малого интервала $A B$ в согласии с уравнением Гюгонио. Однако такое движение в действительности является невозможным, как это следует из того, что в нем имело бы место падение энтропии (упомянутая выше так называемая теорема Цемплена [99]). Вот әта особенность результата § IX, в котором мы, не рассматривая диссипативных проџессов, пришли к изменению энтропии, создает определенные трудности в понимании теории ударной волны, которые могут быть полностью устранены лишь в том случае, если мы рассмотрим продессы внутри самой области изменения состояния (между контрольными поверхностями $A$ и $B$ рис. 23 б) и которые вначительно задержали развитие теории ударной волны.

Замечательно, что три первые важнейшие работы по теории ударных волн были произведены, хотя и в разное время, но, повидимому, совершенно независимо одна от другой. Это даст нам возможность рассматривать их не в хронологическом порядке, ибо безотносительно к тому, какая работа была календарно сделана раньше, по содержанию эти работы совершенно независимы.

Риман [81] в своем мемуаре, составив первые два уравнения, – сохранения вещества и сохранения количества движения, в качестве третьего уравнения принимает уравнение Пуассона, т. е. заранее задает сохранение энтропии в ударной волне, по аналогии с сохранением энтропии в движениях безударных волн, в которых действие диссипативных сил-вязкости и теплопроводности ие рассматривается. Полученное им соотношение между давлением и плотностью и общая картина движения обладают рядом общих черт с истинной картиной. Однако уравнения $\rho_{\text {имана }}$ приводят к тому, что закон сохранения әнергии оказывается невыполненным. Поэтому мы должны признать их ошибочными.

Любопытно, что даже в издании 1925 г. известной книги „ДиФференциальные уравнения в частных провзводных математической физики\”, составленной Вебером по лекџиям $P_{\text {и- }}$ мана [97], после того как весь вопрос был полностью выяснен, Вебер попрежнему выражает странные сомнения – не могут ли при учете турбулентности все же иметь место уравнения Римана.

Вывод Гюгонио [56], с именем которого принято связывать уравнение (VIII-7), воспроизведен нами в предыдущем параграфе.

Мы перейдем сейчас к мемуару Ренкина [78], наиболее интересному с точки зрения физической газодинамики, с точки зрения отчетливого понимания сущности происходящих в ударной волне явлений.

Ренкин рассматривает движение, которое могло бы распространяться неограниченно далеко, не меняя своей формы, т. е. рассматривает стауионарно распространяющееся по газу возмущение. Таким же способом, который мы применили в выводе адиабаты Гюгонио, Ренкин выделяет две контрольные плоскости и составляет закон сохранения вещества и закон сохранения количества движения. Ренкин рассматривает вещество, хотя и не обладающее вязкостью, но обладаюшее теплопроводностью. У него сформулированы важнейшие для ударных волн принципы автомодельности. Именно, $\rho_{\text {енкин }}$ особенно подчеркивает, что численно коэффиџиент теплопроводности вещества может быть сколь угодно мал, но тем не менее в ударной волне мы не можем им пренебречь, потому что заранее никак не задана сама ширина волны, не задана величина градиентов в ударной волне. Чем меньше коәффиџиент теплопроводности, тем бо́льших градиентов мы можем ожидать в ударной волне, так что произведение градиента температуры на коәффиџиент теплопроводности (равное количеству тепла, переносимого теплопроводностью в единицу времени) может оставаться конечным при стремлении самого коәффиџиента теплопроводности к нулю. Этим кладется основа отчетливого понимания того, как можно пренебрегать диссипативными силами, в частности теплопроводностью, там, где величина градиентов определена извне, заранее задана самими уравнениями движения без теплопроводности, и почему нельзя пренебрегать теплопроводностью там, где величина градиента сама по себе не определена. Примером первого рода является волна разрежения, для которой мы построили решение в предположении отсутствия теплопроводности. Мы нашли, что ширина волны разрежения того же порядка, что и пройденное возмущением расстояние, ширина волны разрежения линейно растет со временем и по порядку величин равна
\[
\Delta x=\frac{\Delta p}{p} c t .
\]

Если мы будем считать это первым приближением, поскольку в построении волны разрежения не учитывались теплопроводность и вязкость, и захотим в следующем приближении учесть действие теплопроводности и вязкости на поля температуры и скорости, найденные в первом приближении, то увидим, что чрезвычайно скоро все градиенты окажутся настолько малыми, что теплопроводность и вязкость практически совершенно не будут влиять на результат. Не то в ударной волне. Если за первое приближение мы захотели бы принять бесконечно крутой разрыв, который получается при равных иулю теплопроводности и вязкости, то в следуюшем приближении, вводя теплопроводность и вязкость, мы получили бы бесконечные потоки тепла, бесконечно большое возрастание энтропии. В случае ударной волны, где уравнения движения без теплопроводности и вязкости не дают никакого определенного значения ширины волны, величина градиентов и связанная с ней ширина волны могут быть получены только из рассмотрения диссипативных сил, и при өтом ширина оказывается как раз такой, чтобы дать требуемое уравнениями сохранения возрастание энтропии. При этом, обратно, если в волне разрежения при конечной, соизмеримой с размерами системы ширине мы могли пренебречь действием диссипативных сил, то в ударной волне, для того чтобы диссипативные силы давали конечное возрастание энтропии, необходимо, чтобы ширина ударной волны была весьма мала по сравнению с размерами системы. Благодаря этому везде, кроме поверхностей ударных волн, мы и можем исключить диссипативные силы. Качественно для частного случая, когда единственным диссипативным фактором является теплопроводность вешества, эти соотношения совершенно отчетливо выяснены Ренкиным

Дальнейшее изложение Ренкина страдает излишней сложностью. Так, уравнение энергии он составляет совершенно правильно, однако в общем случае произвольного вещества функцию давления и плотности; вместо этого он пользуется общими термодинамическими соотношениями, включающими энтропию.

На пооуессы переноса тепла внутри разрыва Ренкин накладывает условие: $\int T d S=0$, физический смысл которого заключается в том, что в ударной волне происходит лишь обмен тепла между соседними слоями, так что количество тепла, отнятое от одного слоя, равно количеству тепла, полученному другим, – нет внешних источников тепла.

В комбинаџии с общими термодинамическими соотношениями Ренкин, правда не без труда, получает систему уравнений, эквивалентную системе уравнений § VIII, и выписывает уравнения для идеального газа. Таким образом, из содержащихся в работе Ренкина формул уравнение адиабаты Гюгонио в его обычной форме VIII-10 могло бы быть получено элементарными алгебраическими преобразованиями. Напомним, что работа Ренкина на 15 лет опередила мемуар Гюгонио.

Рейлэй [79], подводя в 1910 г. итоги истории ударных волн, особенно подчеркивает несправедливость, заключающуюся в термине „адиабата Гюгонио\”.

Из отдельных указаний любопытно отметить, что еще в 1858 г. весьма близок к созданию теории ударных волн был английский свяџенник Ирншоу [49]. Подобно Риману, он исходил из рассмотрения волны сжатия конечной ширины, в которой (см. \& II) гребень волны перегоняет область низкого давления, приводя к образованию разрыва. Однако, подойдя вплотную к уравнениям, Ирншоу неожиданно делает вывод, что природа не терпит скачков, и говорит нечто невразумительное об отражениях, о том, что природа как-нибудь да избежит возникновения ударной волны, возникновения разрыва. Мы видим здесь очень наглядный и поучительный пример дурного влияния ошибочной философии на научные исследования.

В более позднее время, уже после открытий Римана, Ренкина и Гюгонио, франџузский ученый Пьер Дюгем (один из вождей модного в начале XX в. течения „энергетиков“) отрицал существование ударных волн на том основании, что в уравнениях газодинамики с вязкостью и теплопроводностью не может быть строгого разрыва [46, 47]. Ученик Дюгема Эмиль Жуге вслед за Ренкиным указал на то, что диссипативные силы приводят к весьма малой ширине, пренебрегая которой можно говорить о разрыве, ударной волне; Жуге не только выяснил яаблуждение Дюгема, но и значительно продвинул вперед теорию ударных и детонационных волн $[58,59,60]$.

Однако, в связи с замечаниями Дюгема, во франдузской литературе до сих пор часто говорят о „квазиволнах („почти волнах“), имея в виду конечную ширину фронта.

В сущности, здесь мы касаемся общего вопроса о значении и смысле приближенных методов, приближенных решений в физике (см. замечательную статью В. А. Фока [29]), вопроса о том, когда приближенное выполнение тех или иных соотношений оправдывает создание новых качественных понятий.

Ренкин касается также вопроса о волнах разрежения и ссылается на устное сообщение Томсона, согласно которому волна разрежения должна быть неустойчивой механически. В действительности невозможность волны разрежения, при том именно невозможность, а не неустойчивость ее, уже заключена в ходе мысли самого Ренкина. Действительно, если мы рассматриваем проџессы теплопроводности внутри волны, то, кроме уравнения сохранения, написанного Ренкиным: $\int T d S=0$, уравнения, которое выражает, что в проџессе теплопроводности количество тепла, полученное одними слоями, равно количеству тепла, отданному другими слоями, мы должны хотя бы качественно учесть тот элементарный факт, что в проџессе теплопроводности тепло всегда переходит от тела более горячего к телу более холодному. Отсюда, естественно, мы получим, что в ударной волне энтропия может только возрастать. Таким образом, если бы мы попытались построить волну разрежения, обратив в ударной волне все скорости движения, то внутри фронта ударной волны, внутри „разрыва“ мы столкнулись бы с необходимостью обратить также поток тепла и осуществить переход тепла от более холодных к более горячим слоям газа, что невозможно. Остается пожалеть, что эти элементарные соображения иногда игнорируются и в современной литературе (см. гл. I џенной в других отношениях книги Власова [3]).