Составим уравнения газовой динамики, пренебрегая действием массовых сил (силы тяжести), а также (см ниже) действием диссипативных сил, т. е. вязкости и теплопроводности. Для простоты запишем уравнения для одномерного случая; обобщение на двух- и трехмерные случаи не составит труда.

Начнем с уравнения неразрывности, т. е. уравнения, выражаюшего закон сохранения вешества.

Обозначая, как обычно, через $\frac{d}{d t}$ субстанџиальную производную по времени, т. е. производную, взятую для данной частиџы вдоль ее пути, и через $\frac{\partial}{\partial t}$ локальную производную по времени, характеризующую изменение рассматриваемых величин в данной точке пространства, мы напишем:
\[
\frac{d \varrho}{d t}=\frac{\partial \varrho}{\partial t}+u \frac{\partial \varrho}{\partial x}=-\varrho \frac{\partial u}{\partial x},
\]

или иначе
\[
\frac{\partial \varrho}{\partial t}=-\frac{\partial(\varrho u)}{\partial x}=-\varrho \frac{\partial u}{\partial x}-u \frac{\partial \varrho}{\partial x} \text {. }
\]

Обе формулы, конечно, совершенно эквивалентны. Для вывода первой мы следим за движением слоя вещества, заключающего постоянное количество вещества. Вторую мы выводим, рассматривая изменение плотности в данной точке пространства. для несжимаемых жидкостей. Оно гласит:
\[
\varrho \frac{d u}{d t} \leftrightharpoons \rho \frac{\partial u}{\partial t}+\varrho u_{d}^{\partial u}=-\frac{\partial p}{\partial x} .
\]

Наконед, третье уравнение является существенно новым и представляет характерную особенность газовой динамикиЭто есть уравнение изменения состояния.

В гидромеханике несжимаемой жидкости мы к первым двум уравнениям добавляли уравнение несжимаемости $\varrho=$ const. Как найти связь мөжду плотностью и дазлением в сжимаемой жидкости?

Плотность, давление и температура жидкости связаны т. н. уравнением состояния. Зная теплоемкость, мы свяжем температуру и энергию. Для того чтобы определить связь плотности и давления, необходимо составить еще одно уравнение – уравнение әнергии движущейся жидкости. При отсутствии диссипативных сил – вязкости и теплопроводностимы имеем:
\[
d E=-p d v ; \frac{d E}{d t}=-p \frac{d v}{d t}=-p \frac{d\left(\frac{1}{\varrho}\right)}{d t}=\frac{p}{Q^{2}} \frac{d \varrho}{d t},
\]

где $v$-удельный объем, величина обратная плотности $\varrho$.
Энергия того или иного рассматриваем эго элемента вещества может изменяться лишь за счет работы сжатия, которую производят над ним окружающие объемы жидкости (газа).
Вспоминая основную формулу термодинамики
\[
d E=T d S-p d v,
\]

из уравнения әнергии мы легко получим для рассматриваемого случая отсутствия диссипативных сил естественный вывод:
\[
T d S=0 ; \frac{d S}{d t}=0 .
\]

Другими словами, состояние вешества меняется по адиабате, меняется при постоянной энтропии.

Для идеального газа постоянной теплоемкости, как известно, уравнение адиабаты гласит:
\[
p=A \varrho^{k},
\]

где $k=\frac{c_{p}}{c_{v}}, k=$ const. Оно может быть найдено и без рассмотрения энтропии и исторически впервые было найдено Пуассоном в 1818 г. именно так, интегрированием уравнения
1 Уравноние (I-4) относится к определенной совокупности молекул жидкости (лагранжево представлоние). В вйл эровом представлении для определенного элемента объема, фиксированного в пространстве, уравненио энергии имеет более сложный внд.
2 Уранение (I-5) применяетея нами к веществу, состояиие которого вполно определяется задтнием удельного объема $v$ и удельной энтропви $S$. Оно неприменимо например, к системе, но находяшейся в химическом равновесиг, в которой во время движения происходит необратимая химическая реакция.

(I-4), в которое для идеального газа подставим выражение закона Клапейрона:
\[
E=c_{v} T=\frac{c_{v}}{R} R T=\frac{c_{v}}{R} p v ; d E=\frac{c_{v}}{R} p d v+\frac{c_{v}}{R} v d p .
\]

Каковы условия применимости написанных выше уравнений, ${ }^{1}$ в которых не учтено действие вязкости и теплопроводности? Прежде всего очевидно, что для применимости этих уравнений необходимо, чтобы были велики число Рейнольдса и число Пекле. Как известно из теории подобия и гидродинамики несжимаемой жидкости, число Рейнольдса характеризует отношение инерџионных сил к силам вязкостным. Число Пекле играет аналогичную роль, характеризуя отношение молярного переноса тепла движущейся жидкостью к потокам тепла, переносимым молекулярной теплопрозодностью.

Таким образом, больщое значение числа Рейнольдса означает возможность пренебрежения силами вязкости в уравнениях газовой динамики. Большое значение числа Пекле означает возможность пренебрежения теплопроводностью, означает, что вдоль линии тока движение происходит практически адиабатически.

Из молекулярно-кинетической теории следует, что для газов отношение теплопроводности к объемной теплоемкости (т. н. температуропроводность) приблизительно равно отношению вязкости к плотности (т. н. кинематической вязкости). Поэтому для потока газа число Рейнольдса весьма близко к числу Пекле и оба условия (большое число Рейнольдса и большое число Пекле) совпадают.

Следуя Карману, мы можем дать иную формулировку условию большого числа Рейнольдса. Воспользуемся молекулярным выражением коэффиџиента вязкости:
\[
\eta=
u \varrho=\frac{1}{3} \varrho c^{\prime} l,
\]

где $l$ – длина свободного пробега молекул в газе, $c^{\prime}$ – скорость молекул, величина, равная по порядку величины скорости звука, $v$ – кинематическая вязкость (см²/сек).

Подставляя выражение для вязкости в формулу числа Рейнольдса, получим:
\[
\mathrm{Re}=\frac{U \varrho d}{\eta}=\frac{U d}{v}=3 \frac{U d}{c^{\prime} l} \approx \mathrm{Ba} \cdot \frac{d}{l}
\]

где $d$-характеристический размер, $U$-характеристическая скорость рассматриваемого движения.
1 Общие уравнения газодинамики с учетом вязкости и теплопроводности вынесены в приложение в конџе настоящего праграфа, которое читатель может пропустить без ущерба для понимания дальнейшего, приняв на веру утверждения об условиях применимости уравнений (I-1)-(I-6).

Отношение скорости движения к скорости звука носит название критерия Барстоу
\[
\frac{u}{c}=\mathrm{Ba} .
\]

В интересующей нас области гаяовой динамики, где скорость движения порядка скорости звука Ва 1 , число Рейнольдса оказывается по порядку величин равным отношению размеров системы $d$ к длине пробега молекул $l$.

Высказанное выше условие $\operatorname{Re} \gg 1$, в котором возможно пренебрежение диссипативными силами (вязкостью и теплопроводностью), приводит к требованию, чтобы размеры системы были значительно больше длины свободного пробега молекул.

Однако, как мы увидим дальше, выполнение этого условия, т. е. большой размер системы, в действительности не всегда обеспечивает малость диссипативных сил и возможность рассмотрения только адиабатических проџессов. Как мы увидим дальше, при наличии ударных волн в потоке возникают чрезвычайно большие градиенты всех рассматриваемых величин, причем величина этих градиентов уже не зависит от размеров системы и не падает с увеличением размеров системы. В этих случаях, как бы велико ни было число Рейнольдса, нам придется считаться с возможностью изменения әнтропии.

Однако, несмотря на то, что и в этих случаях принџипиально возможность роста әнтропии связана с диссипативными силами, все наблюдаемые макроскопические свойства потока, в частности численное значение прироста энтропии в ударной волне, от величины вязкости и теплопроводности не зависят (автомодельны относительно теплопроводности и вязкости); законы изменения состояния в ударной волне могут быть получены без рассмотрения структуры фронта ее, из одних уравнений сохранения материи, количества движения и энергии, примененных к состояниям до и после прохождения волны.

При больших числах Рейнольдса мы могли бы ожидать значительного влияния турбулентности. В действительности, исследования совместного действия турбулентности и весьма высоких – порядка скорости звука – скоростей очень немногочисленны. С одной стороны, в этом повинна, повидимому, сложность такой пограничной области. С другой стороны, в большинстве типических задач газовой динамики мы имеем дело с короткими трубами и соплами, короткими обтекаемыми телами; в короткой трубе турбулентность не успевает равиться и при большом значении Re. Наконеш̈, в гидродинамике малых скоростей при $\mathrm{Ba}<1$ образование вихрей и турбулентность представляют единственный механизм сопротивления при $\operatorname{Re} \gg 1$; учет их абсолютно необходим для рассмотрения сил, действующих на движущееся в жидкости тело.

При сверхзвуковой скорости появляется так называемое волновое сопротивление и возможность необратимой диссипации энергии в стаџионарных ударных волнах; отличное от нуля сопротивление может быть найдено и без рассмотрения турбулентности.
Приложение
Для суждения о применимости уравнений (I-1)-(I-6) приведем обџий вид уравнений газодинамики (см. например $[23,27])$.
Уравнение движения имеет влд:
\[
\varrho \frac{d u_{x}}{d t}=\varrho X-\frac{\partial p}{\partial x}-\frac{\partial T_{x x}}{\partial x}-\frac{\partial T_{x y}}{\partial y}-\frac{\partial T_{x ; s}}{\partial z},
\]

где величины $X, Y, Z$ суть компоненты объемной силы, отнесенной к единиџе массы, а велинины $T_{x x}$, $T_{x y}$ и т. д. компоненты тензора напряжений, происходящих от действия сил вязкости. Действие вязкости зависит от относительного движения соседних частиџ жидкости. Из условий симметрии тензора, ограничиваясь членами, пропоруиональными первым производным скорости по координате, принимая инвариантную сумму нормальных напряжений на три взаимно перпендикулярные площадки равной утроенному давлению и выделяя давление из тензора напряжений, как это уже сделано в формуле (I-12), мы приходим к следующему выражению тензора напряжений:
\[
\begin{array}{c}
T_{: x}=\frac{2}{3} \eta\left(\frac{\partial u_{i t}}{\partial x}+\frac{\partial u_{y y}}{\partial y}+\frac{\partial u_{z}}{\partial z}\right)-2 \eta \frac{\partial u_{x}}{\partial x} ; T_{x z}=-\eta\left(\frac{\partial u_{z}}{\partial x}+\frac{\partial u_{x y}}{\partial z}\right) ; \\
T_{x y}=-\eta\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial x}+\frac{\partial u_{u t}}{\partial y}\right) .
\end{array}
\]
$У_{\text {равнения движения по }}$ по двум другим координатам получатся из (I-12) и (I-13) цикличєской перестановкой индексов.
Козффиџиенты в (I-13) подоб раны так, что
\[
T_{x x}+T_{y y}+T_{x z}=0 .
\]

В одномерном случае
\[
u_{x}=u(x), u_{y}=u_{s}=0, \frac{\partial u_{x}}{\partial y}=\frac{\partial u_{x}}{\partial z}=0
\]

и уравнение движения (I-12) упрощается:
\[
\varrho \frac{d u_{\partial t}}{d t}=\varrho X-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{4}{3} \frac{\partial}{\partial x} \eta\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial x}\right) .
\]

При учете вязкости и теплопроводности, дополнительные члены появляются и в уравнении энергии: в общем случае трехмерного движенгя ( $\lambda$ – теплопроводность)
\[
\begin{array}{c}
\varrho \frac{d\left(E+\frac{u_{x i}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}{2}\right)}{d t}=\varrho\left(u_{x} X+u_{y} Y+u_{z} Z\right)- \\
-\frac{\partial}{\partial x}\left[u_{x}\left(p+T_{x x}\right)+u_{y} T_{x_{y}}+u_{z y} T_{i z}\right]-\frac{\partial}{\partial y}\left[u_{y}(\ldots)+\ldots\right]- \\
-\frac{\partial}{\partial z}\left[u_{z}(\ldots)+\ldots\right]+\frac{\partial}{\partial x} \lambda \frac{\partial T}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} \lambda \frac{\partial T}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z} \lambda \frac{\partial T}{\partial z} \cdot(\mathrm{I}-1
\end{array}
\]

Напомним, что $T$ без индексов-абсолютная температура. Используя уравнение неразрывности, уравнения движения в форме (I-12) и термодинамическое соотношение $d E=-p d v+T d S$, можно преобразовать (I-15) к следующему виду:
\[
\begin{array}{c}
\varrho T \frac{d S}{d t}=-T_{x x} \frac{\partial u_{x}}{\partial x}-T_{x y} \frac{\partial u_{z}}{\partial x}-T_{x z} \frac{\partial u_{z}}{\partial x}-T_{y x} \frac{\partial u_{x}}{\partial y}-T_{y y} \frac{\partial u_{y}}{\partial y}- \\
-T_{y z} \frac{\partial u_{g}}{\partial x}-T_{z x} \frac{\partial y_{x}}{\partial z}-T_{z y} \frac{\partial u_{y}}{\partial z}-T_{z y} \frac{\partial u_{s}}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial x} \lambda \frac{\partial T}{\partial x}+-(\mathrm{I}-16) \\
+\frac{\partial}{\partial y} \lambda \frac{\partial T}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z} \lambda \frac{\partial T}{\partial z} .
\end{array}
\]

Подставляя выражения (I-13) компонент тензора вязких напряжений, приведем выражение работы сил вязкости, необратимо преврашающейся в тепло в (I-16), к виду, показывающему существенную положительность этой величины:
\[
\begin{array}{c}
\varrho T \frac{d S}{d t}=\eta\left\{\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial y}+\frac{\partial u_{y}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial z}+-\frac{\partial u_{z}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial z}+\frac{\partial u_{s}}{\partial y}\right)^{2}+\right. \\
\left.+\frac{4}{3} \eta\left[\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial x}-\frac{\partial u_{y}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial y}-\frac{\partial u_{s}}{\partial z}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u_{s}}{\partial z}-\frac{\partial u_{x}}{\partial x}\right)^{2}\right]\right\}+ \\
+\frac{\partial}{\partial x} \lambda \frac{\partial T}{\partial x}+-\frac{\partial}{\partial y} \lambda \frac{\partial T}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z} \lambda \frac{\partial T}{\partial z} .
\end{array}
\]

В одномерном движении
\[
\varrho T \frac{d S}{d t}=\frac{4}{3} \eta\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\frac{\partial}{\partial x} \lambda \frac{\partial T}{\partial x} .
\]

Введем безразмерные переменные: координаты, отнесенные к характеристическому размеру системы $d$, скорость, отнесенную к характеристической скорости (средней скорости или скорости в какой-то произвольной, но определенной точке системы) $U$, и время, отнесенное к величине $d / U$. Безразмерные переменные отметим штрихом:
\[
x^{\prime}=x / d ; \quad u^{\prime}=u / U ; \quad t^{\prime}=t U / d .
\]

Энтропию отнесем к теплоемкости газа: $S^{\prime}=S / c_{p}$. Переходя к безразмерным переменным, найдем:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d u_{x}^{\prime}}{d t^{\prime}}=\frac{X d}{U^{2}}-\frac{1}{\rho U^{2}} \frac{\partial p}{\partial x^{\prime}}-\frac{\eta}{\varrho U d}\left\{\frac{4}{3}\left[\frac{\partial^{2} u^{\prime}}{\partial x^{\prime 2}}+\frac{d \eta}{i d x^{\prime}}\left(\frac{d u^{\prime}}{\partial x}\right)^{2}\right]+\cdots\right\}, \\
\frac{d S^{\prime}}{d t^{\prime}}=\frac{\varrho U 2}{c_{p} T} \frac{\eta}{\varrho U d}\left\{\left[\left(\frac{d u_{x}^{\prime}}{\partial y^{\prime}}+\cdots\right\}+\right.\right. \\
+\frac{\lambda}{\varrho U c_{y} d} \cdot\left\{\frac{1}{T} \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{\prime 2}}+\frac{1}{T} \frac{\partial T}{\partial x^{\prime}} \frac{1}{\eta} \frac{\partial \lambda}{\partial x^{\prime}}+\cdots\right\} .
\end{array}
\]

Внешние силы входят в безразмерные уравнения умноженными на характеристический размер. Для движений не слишком большой пространственной протяженности, но большой скорости, ими можно пренебречь; изучение движений сжимаемой жидкости is поле силы тяжести представляет предмет динамической метеорологии, которого мы не касаемся. Члены, описывающие влияние вязкости и теплопроводности, в соответствии с утверждением стр. 9, вошли с коэффиџиентами
\[
\frac{\eta}{\rho U d}=\frac{1}{\operatorname{Re}} \quad \text { и } \frac{\lambda}{\varrho U c_{p} d}=\frac{1}{\mathrm{Pe}},
\]

где $\operatorname{Re}$ и $\mathrm{Pe}$ – число Рейнольдса и число Пекле.
Предположение о том, что инвариантная сумма нормальных напряжений на три взаимноперпендикулярные площадки не отличается от утроенного давления, содержит элементы произвола. Конечно, всегда можно определить давление $p$ именно таким образом, как одну треть суммы трех нормальных напряжений, но в действительности мы в последующем идем дальше и делаем физическое допущение, что определенное так давление при данном состоянии вещества (определяемом его составом, плотностью, энергией, энтропией, температурой) не отличается по величине от давления $p_{\text {ст. }}$, измеренного в статических условиях, в покоящемся газе. Между тем, с требованием инвариантности физических законов относительно преобразований координат вполне совместимо более общее предположение, что инвариантная сумма напряжен ий зависит от инварианта, составленного из производных от компонент скорости по координатам. Таким инвариантом является выражение расходимости (дивергенџии) скорости:
\[
\operatorname{div} u=\frac{\partial u_{x}}{\partial x}+\frac{\partial u_{y_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial u_{z}}{\partial z} .
\]

В предположении, что можно ограничиться старшим членом в разложении (так же, как это было сделано выше при составлении выражения вязких напряжений), мы получим:
\[
p=p_{\mathrm{cr}}(\varrho, E)-\xi \operatorname{div} u .
\]

Для полной характеристики поведения вешества необходимо, таким образом, задание двух независимых коэффидиэнтов вязкости $\eta$ и $\xi$.

В самом общем виде, совместимом с инвариантностью уравнений, выражение тензора напряжений гласит:
\[
T_{x x}=\eta^{\prime}\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial x}+\frac{\partial u_{y}}{\partial y}+\frac{\partial u_{z}}{\partial z}\right)-2 \eta \frac{\partial u_{x}}{\partial x} ; \quad T_{x y}=-\eta\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial y}+\frac{\partial u_{y}}{\partial x}\right) .
\]

где $\eta^{\prime}$ – величина размерности вязкости, которая, также как и $\eta$, должна быть определена на опыте.
$\Pi_{\text {роизв }}$ оизольно полагая $\eta^{\prime}=\eta .2 / 3$, мы получили (I-13). В общем случае, не делая этого предположения, получим из (I-23) и (I-22)
\[
-3 \xi=3 \eta^{\prime}-2 \eta \text {. }
\]

Молекулярно-кинетическая теория легко описывает и вычисляет первый коэффиџиент вязкости ( $\eta$ ), одинаково существенный и при наличии и при отсутствии сжимаемости. Величина $\eta$ вводится из рассмотрения срезываюшего напряжения в потоке, в котором $u_{y}=u_{s}=0, u_{x}=a+b y$. Это напряжение обязано обмену количеством движения между слоями, скользядими один над другим с разной скоростью, благодаря хаотическому поперечному движению молекул из одного слоя в другой. Из этих соображений, рассматривая слои, находящиеся на расстоянии длины свободного проє ега $l$, так что средняя скорость (скорость массового движения $u_{x}$ ) разнится на величину $\frac{\partial u_{x}}{\partial y} l$, подсчитывая число молекул, переходящих в единицу времени из одного слоя в деугой, и переносимое ими коли-
\[
T_{x y}=\eta \frac{\partial u_{x}}{\partial y} \sim n c^{\prime} m \frac{\partial u_{x}}{\partial y} l \sim \varrho c^{\prime} l \frac{\partial u_{x}}{\partial y} ; \quad \eta \sim \varrho c^{\prime} l,
\]

где $n$-число молекул в единице объема, $m$-масса отдельной молекулы, $c^{\prime}$– скорость движения молекул.

Каков смысл второго коэффиџиента вязкости $\xi$ ? $\xi$ входит множителем при величине $\operatorname{div} u$, которая уравнением сплош_ ности тождественно связывается со скоростью изменения плот ности вещества:
\[
-\frac{1}{\varrho} \frac{d \varrho}{d t}=\operatorname{div} u \text {. }
\]

Таким обргзом, $\xi$ описывает зависимость давления от скорости изменения плотности, т. е. описывает тот факт, что при изменении объема не сразу устанавливается статическое значение давления. Тот случай, когда второй коэффициент вязкости $\xi$ того же порядка, что и $\eta$, не нуждается в спедизлъном сбъяснении: этот случай отвечает времени установления статического давления порядка времени свободного пробега молекул между дзумя столкновениями, $l / c^{\prime}$.

В некоторых случаях, однако, мы встречаемся с аномально большим значением $\xi$.

В § II мы подробно рассмотрим важнейший пример молекулярного механизма подобного поведения вещества: при наличии внутренних степеней свободы, дающих добавочную теплоемкость и возбуждаемых сравнительно медленно, давление при данной плотности и данной әнергии газа эависит от степени возбуждения внутренних степеней свободы. При сжатии (увеличении энергии) давление несколько больше, при быстром расширении несколько меньше статического (отвечающего равновесному возбуждению). Влияние этого эффекта при медленных проџессах может быть описано формулой (I-22), причем чем труднее возбуждаются внутренние степени свободы, чем больше время их реласкадии, тем при меньшей скорости изменения состояния станет заметным рассматриваемый эффект, тем больше второй коэф риџиент вязкости $\xi$.

Однако при быстрых проуессах дэстигаются условия, в которых уже недопустимо пользование линейными формулами ( $\mathrm{I}-22,23$ ), так как время изменения состояния становится сравнимым или даже меньше времени релаксаџии внутренних степеней свободы. При этом необходимо в явном виде вводить әнергию возбуждения внутренвих степеней свободы и находить ее зависимость от времени, решая дифференциальное јравнение кинетики установления равновесия, без упрошающего предположения (допустимсго при малой скорости изменения параметров), что отклонение от равновесия пропордионально скорости изменения параметров. Рассмотрение таких задач см. в §II (акустика) и § XIII (ударные волны в газе с замедленным возбуждением). Трактовка второго коэффициента вязкости принадлежит Леонтовичу и Мандельштаму $[16,17]$.