1. Радиоактивпыї распад – яв.ение статистичекое. Все иредсказапия, которые могут быть сделаны на оспове законов радиоактивного распада, носят прпнинианьно вероятносгиый сярактср. Нельзя сказать, какие атомы в радноаттином оиразце раснадутся за рассматрнваемое вреня. Но можно практпесци с нолной достоверностью предсказать, сколько атомов раснадетея за это время. Например, в стучае радона ноновина атомов расуадется за 3.8 гия. И это вероятностное предсказание бутет выполияться тем точнее, чем с большим количеством радона пмеют дело.

Вероятность распада ядра за едипцу времени пазывается постоянной распаба $\lambda$ радиоактивны ядер дапного сорта. Это зиачит, что нз $N$ пмеющихся радиоактивпых ядер за едиицу нремепи в среднем распадается $\lambda N$, а за время $d t-\lambda N d t$ ядер. Величина $\lambda N$ называется активностью радиоативного источина (радноактивностью). Старейшеї, до сих пор панболее употребптельной единцей радиоативности является кюри (र̈) п ее дольные единицы: миликюри ( 1 мКи $=10^{-3}$ Кй) и микрокюри (1 мкКи $=10^{-6}$ Кл). По первонатальному оиредетению кори есть аютнвность, одного грамма изотопа радия ${ }_{8 \%}^{226} \mathrm{Ka}$ – О,нако дия удобства пзмерений это определепне в дальнейшем было заменено следующим:
\[
1 \mathrm{Kи}=3,700 \cdot 10^{10} \mathrm{pacн} / \mathrm{c} \text { (точно). }
\]

Активность же грамма радия тиш прпближенио составляет 1 Ки. Естественной едницеї аптивности является 1 распад в секунду. Эта едпнца получиа пазвание беккерель (Бк) и принята в Международиой системе СІ. В литературе унотреблястся также едница резерфорд: $1 \mathrm{Px}=10^{6}$ Бк.

Поскольку радиоактивне превращения совершаются виутри ядра, внешние условия (темшература, давление, химиеске реакции п пр.) на ход радиоактивных превращениї практически пе оказывают никакого влиния. Во всяком случае такое влияние пе удалось обпаружить самыми точными способами, которыми располагала физнка до открытія эффекта Мёсбауэра. В частности, не удавальсь обнаружить зависимости от внешин условий постоянной радпоактивного распада $\lambda$. IІсключенем являлся только $e$-захват. Для него еще до пспользования мёссбауэровскої спектроскопии была обнаружена очень слабая завнснмость величины $\lambda$ от внешних условиї. Но в этом случае явление определяется не только тем, что пронсходит внутрп ядра, по п в ближайших к нему участках электронной оболочки. Только методами мёссбауэровской спектроскопии (см. § 76) удалось отчетливо обнаружить влияпие электронпой оболочки атома на явления, происходящие внутри атомного ядра. Но в громадшом большинствө случаев әто влияпие не играет никакой роли. Постоянная $\lambda$ пе завнсит и от времени. Образно говоря, радиоактивные ядра могут только умирать, го они никогда не стареют.
2. После этих замечаний сформулируем основной закон радиоактивного распада. Пусть $N$ – чпсло (очень большое) радиоактивных ядер в момент времени $t$, а $N+d N$ – в более поздний момент $t+d t$. Величина $d N$ отрицательна, поскольку ядра могут только распадаться, т. е. число их убывает. На осповании изложенного выше
\[
d N=-\lambda N d t .
\]

Госкольку $\lambda$ не зависит от времени, после иттегрирования получаем
\[
N=N_{0} e^{-\lambda t},
\]
т. ө. число нераспавшихся ядер убывает во времени экспоненцпально. Время $t$ можно отсчитывать от любого момента, принимаемого за пачальный. Постоянная $N_{0}$ означает число пераспавшихся ядер в начальный момент времени. Формула (72.2) и выражает основной закон радиоактивного распада. Разумеется, она относится к тем атомам радиоактивного вещества, которие могут только распадаться, но не могут появляться или исчезать в результате каких-либо других процессов.

Постояную распада $\lambda$ можно выразить через среднее вреля жизни радиоактивного ядра. Так как за промежуток времени между $t$ п $t+d t$ распадается $-d N$ ядер, то можно сказать, что каждое из этих ядер «живет» время $t$, считая от натала отсчета времени. Суммарное время жизни этих $-d N$ ядер составляет $-t d N$, а суммарное время жизни всех $N_{\theta}$ ядер определяется интегралом
\[
-\int_{N_{0}}^{0} t d N=\lambda \int_{0}^{\infty} t N d t=\lambda N_{0} \int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t} d t=\frac{N_{0}}{\lambda} .
\]

Таким образом, среднее время жизни одного радиоактивного ядра будет $\tau=\left(N_{0} / \lambda\right): N_{0}$, т. е.
\[
\tau=1 / \lambda .
\]

Оно не зависит от выбора начала отсчета времени. Это вполне естественно, поскольку все моменты времепи в отношении радиоактивного распада полностью равноправны. Различные моменты характеризуются различными значениями полного числа радиоактивных ядер $N$, но относительное число ежесекундно распадающихся ядер $-\tilde{N} / N$ одно и то же для всех моментов времени и равно постоянной распада $\lambda$. Заметим еще, что время $\tau$ для сокращения обычно называют просто временем жизии ядра, опуская прилагательное «среднее».

С введением времени жизни формула (72.1) представптся в виде
\[
N=N_{0} e^{-t / \tau} .
\]

Время $T_{1 / 2}$, по истеченип которого тисло наличных радиоактивных атомов убывает в два раза, называется периодом или временем полураспада. Для его определения на осповапип (72.4) получим

откуда
\[
N=N_{0} / 2=N_{0} e^{-T_{1 / 2} / \tau},
\]
\[
T_{1 / 2}=\tau \ln 2=0,6931 \tau .
\]

Если одновременшо происходят два конкурирующих процесса, так что ядра $N$ могут одновременно испускать частицы одного сорта $N_{1}$, согласио уравнению $d N_{1}=-\lambda_{1} N d t$, и частицы дюугого сорта $N_{2}$, согласіо уравнению $d N_{2}=-\lambda_{2} N_{2} d t$, то
\[
d N=d N_{1}+d N_{2}=-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) N d t .
\]

Отсюда следует, что обратная велитина «результирующего» времени жизни $\tau$ разна сумме обратных величип времен жизвп $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$ обоих конкурирующих процессов:
\[
1 / \tau=1 / \tau_{1}+1 / \tau_{2} .
\]
3. При радиоактивном распаде ядер исходного вещества могут возникать новые радиоактивные ядра. В таком слутае первне яцра называются материнскими, а вторые-дочерними. Обозначим числа этих ядер соответственно через $N_{1}$ и $N_{2}$, а их постоянные распада – через $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Тогда изменения $N_{1}$ и $N_{2}$ будут онисываться уравнениями
\[
d N_{1} / d t=-\lambda_{1} N_{1}, \quad d N_{2} / d t=\lambda_{1} N_{1}-\lambda_{2} N_{2} .
\]

Первое из этих уравневий с точностью до обозначений полностью совпадает с (72.1), поскольку число $N_{1}$ может только убывать за счет радиоактивного распада материнских ядер. При этом из каждого материнского ядра возникает дочернее ядро. Это обстоятельство учитывается первым слагаемым в правой части второго уравнения системы (72.6). Другое же слагаемоо $\left(-\lambda_{2} N_{2}\right)$ учитывает убыль дочерних ядер из-за их радиоактивного распада.

Если дочерние ядра также радиоактивны, то при их распаде возникают новые ядра, число которых обозначим через $N_{3}$, а постоянную распада – через $\lambda_{3}$. В этом случае к системе уравнеший (72.6) добавляется третье уравнение
\[
d N_{3} / d t=\lambda_{2} N_{2}-\lambda_{3} N_{3}
\]

и т. д.
Важнейшим является случай системы уравнений (72.6), когда рассматриваются только материнские и соответствующие им дочерпие такие радпоактивные ядра. Этим случаем мы и ограпитися. Решение системы уравнений (72.6) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
N_{1}=N_{10} e^{-\lambda_{1} t}, \\
N_{2}=N_{10} \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} e^{-\lambda_{1} t}+\left(N_{20}-N_{10} \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\right) e^{-\lambda_{2} t},
\end{array}
\]

где $N_{10}$ п $N_{20}$ – патальные значения чисел атомов $N_{1}$ и $N_{2}$ материнского и дочерпего вещества. В тастном случае, когда в патальныї момснт дотерпее вещество еще не образовалось $\left(N_{20}=\right.$ $=0$ ), формула (72.9) упрощается и переходит в
\[
N_{2}=N_{10} \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(e^{-\lambda_{1} t}-e^{-\lambda_{2} t}\right) .
\]

Потное число атомов $N_{1}+N_{2}$, как видно из формул (72.8) и (72.10), пе сохрапяется, если только дочерние ядра испытывают распад $\left(\lambda_{2}
eq 0\right)$ ). Но если дочерпие ядра не распадаются $\left(\lambda_{2}=0\right)$, то пз тех же формул получается $N_{1}+N_{2}=N_{10}=$ const, т. е. полное тисло атомов $N_{1}+N_{2}$ сохраняется. Тот же результат немедлино получается, если почленно сложить уравнения (72.6) и учесть, что $\lambda_{2}=0$. Аналогично, если не распадаются ядра, возникающие из дочерних $\left(\lambda_{3}=0\right)$, то сложением уравнений (72.6) и (72.7) получим $N_{1}+N_{2}+$ $+N_{3}=$ const, и т. д.
Особенно важным является случай, когда материнское вещество – долгоживущее, а дочернео вещество по сравненио с ним распадается быстро $\left(\lambda_{1} \ll \lambda_{2}\right.$ ), притем время наблюдения $t$ пренебрежимо мало по сравнению є временем жизни $\tau_{1}$ материнского Prc. 126 вещества $\left(\lambda_{1} t \ll 1\right)$. За это время пзменепием $N_{1}$ можно пренебречь, т. е. $N_{1}$ считать величиной постоянной. В таком случае из (72.8) и (72.10) полутается
\[
N_{1}=\text { const }, \quad N_{2}=\frac{\lambda_{1} N_{1}}{\lambda_{2}}\left(1-e^{-\lambda_{2} t}\right),
\]

так как велпчиной $\lambda_{1}$ в знаменателе формулы (70.10) можно пренебречь. Число атомов $N_{2}$ при $t \rightarrow \infty$ асимптотически стремится к насыщению $N_{2}(\infty)=\lambda_{1} N_{1} / \lambda_{2}$. Насыщение наступает практически через промежуток времени $t \approx 3 \tau_{2}$ (рис. 126). Таким образом, в состоянии насыщения выполняется условие
\[
\lambda_{1} N_{1}=\lambda_{2} N_{2} \text {. }
\]

Это равенство называют также условием радиоактивного равновесия. Как видно из (72.6), физический смысл его состоит в том, что распад атомов дочернего вещества в любой момент времени компенспруется увеличением их числа за сиет распада атомоз материнского вещества.
4. Статистический закон радиоактивного распада при палпчии очень большого количества радиоактивных атомов – иракти чески абсолютно точный закон. На его прицципе работают «атомиые часы», служащие в некоторых случаях, например в геологии или археологии, для пзмерения шромежутков времени. Oпшем два примененія радиоактивпости с этой целью.

Для оценки возраста мертвых организмов (древесппы, костей животных и пр.), не превышающего примерно 50000 лет, используется радоактивный шзотоп углерода ${ }_{6}^{14} \mathrm{C}$. Испытывая $\beta$-распад, он превращастся в азот ${ }_{7}^{14} \mathrm{~N}$. Период полураспада дия ${ }_{6}^{14} \mathrm{C}$ составляет 5800 лег. Зная первоначальное количество атомов ${ }_{6}^{14} \mathrm{C}$ в образце и измерив оставшееся количество их, можно вычислить время, прошецшее с момента появления образца. Радиоактивный изотоп ${ }_{6}^{14} \mathrm{C}$ образуется в верхних слоях атмосферы при столкновения нейтронов, образовавшихся под действием космических лучей, с ядрами атомов азота ${ }_{7}^{14} \mathrm{~N}$, составляющим основную часть атомов воздуха (см. § 103, пункт 12). Образовавшийся углерод ${ }_{6}^{14} \mathrm{C}$ быстро попадает в нижние слоп атмосферы, где перемешивается е обычным углеродом ${ }_{6}^{12} \mathrm{C}$. Обытный нерадиоактивный углерод ${ }_{6}^{12} \mathrm{C}$ поглощаетея животными и растениями, а вместе с ним поглощается и небольшое количество радиоактивного изотопа ${ }_{6}^{14} \mathrm{C}$. Можно считать, что за времена геологического порядка интенсивность космических лучей в земной атмосфере не изменилась. А так как по сравнению с этими временамп период полураспада ${ }_{6}^{14} \mathrm{C}$ (5800 лет) относптельно мал, то в земиой атмосфере установилось равновесное соотношение между радиоактивным ${ }_{6}^{14} \mathrm{C}$ и нерадиоактивным ${ }_{6}^{12} \mathrm{C}$ изотопами углерода, гогда вместо каждого распадающегося радиоактивного атома ${ }_{6}^{14} \mathrm{C}$ космические лучи в среднем порождают такой же новый атом. Это соотношение прпмерно одпнаково и в живом организме, носкольку последний частично состоит из атмосферного углерода. Посло гибели организма он, естественно, не в состоянип больше поглощать ни углерод ${ }^{12} \mathrm{C}$, ни углерод ${ }^{14} \mathrm{C}$. При этом количество углерода ${ }^{12} \mathrm{C}$, накопленного организмом в течение времени жизпи, остается пеизменным, тогда как половина атомов ${ }^{14} \mathrm{C}$ убывает за каждые 5800 лет. По меняющемуся соотношению между количествами углерода ${ }^{12} \mathrm{C}$ и ${ }^{14} \mathrm{C}$ и можно относительно тотно определить возраст мертвого организма.

Второй пример касается определения возраста Земли. Пригдипиальное (но численно грубое) решение его было дано еп на заре исследований явления радиоактивпости. «Атомпыми часами», пригодными для решения подобпых вопросов, могут служить долгоживущие ядра ${ }^{238} \mathrm{U}$ (пернод полураспада 4,56 млрд лет) и ${ }^{232} \mathrm{Th}$ (перпод полураспада 14 млрд лет). Конечными продуктами их радноактивного распада являются соответственно стабильные пзотопы свинда ${ }^{206} \mathrm{~Pb}$ и ${ }^{208} \mathrm{~Pb}$. Они пазываются радиогенными в отличие от так называемого изначального свипца ${ }^{204} \mathrm{~Pb}$, не являющегося конечным продуктом радиоактивных превращениї. Ести ввести предположение, что весь радиогениый свпнед получплся в результате радиоактивного распада урана и тория, то можно вычислить возраст Земли. Для надежного выэиления падо точно измерить количество различных изотопов радиогенного свица, содержацихся, например, в радиї-урановых рудах. В настоящее время такой метод дает для возраста Земли приблизительно 4,5 млрд лет. Конечно, в оспове этого метода лежит предположение, что в момент возникновения Земли на пеї не существовало радиогенного свинда. Одпако определепие возраста Земли, основанное на этом предположении, хорошо согласуется с другими методами.
ЗАДАчИ
1. Уерез равные малые промежутки времени производится стет $\alpha$-тастиц долгоживущего радиоактивного препарата. Найти вероятность $P_{n}$ того, что в одим пз этих промежутков времени будет зарегистрироваио $n$-qастиц, если среднее число зарегистрированных в одном промеяутке временіг $\alpha$-тастіпі равіо $\bar{n}$.

Pеление. Пусть ва длительный промежутог времени радиоаттивпый пренарат пспустил всего $N$-тастиц, причем за это время его количеетво практически не измепилось. Обозначим через $p$ вероятность того, что атом радиоактнвного вецества пснустил $\alpha$-частицу в рассматриваемый промежуток времени. Тогда всроятность нспускания во все остальпые промежутки времеши будет $1-p$. Искомая вероятность определится соотношением
\[
p_{n}=\frac{N !}{n !(N-n) !} p^{n}(1-p)^{N-n}=\frac{N !}{n !(N-n) !}\left(\frac{\bar{n}}{N}\right)^{n}\left(1-\frac{\bar{n}}{N}\right)^{N-n} .
\]

При $N \rightarrow \infty$ это выражепие аспптотпчески переходит в формулу Пуассопа
\[
P_{n}=\frac{(\bar{n})^{n}}{n !} e^{-\bar{n}} \text {. }
\]

В самом деле,
\[
P_{n}=\left[\frac{N(N-1) \ldots(N-n+1)}{N^{n}}\right] \frac{\bar{n}^{n}}{n !}\left(1-\frac{\bar{n}}{N}\right)^{-(N / \bar{n}) \bar{n}(n-N) / N} .
\]

Асимитотпиеси при $N \rightarrow \infty$
\[
\left(1-\frac{\bar{n}}{N}\right)^{-N / \bar{n}}=e
\]

выраянепие в квадратных сгобках стремится и 1 , а дробь $(n-N) / N-$ к -1 . В результате получается формула (72.13).

2. В настоящее время в природпом ураше содержится $99,28 \%{ }^{238} \mathrm{U}$ п $0,72 \%{ }^{235} \mathrm{U}$. Вычислить возраст Земли $t$ в предіоложении, что в момент образовачия Земли количества ${ }^{238} \mathrm{U}$ и ${ }^{235} \mathrm{U}$ были одинаковыми.
\[
\begin{aligned}
& \text { Ответ. } t=\frac{\ln \left(N^{238} / N^{235}\right)}{\lambda^{235}-\lambda^{238}} \approx \frac{1}{\lambda^{235}} \ln \left(N^{238} / N^{235}\right) \approx \tau^{235} \ln \left(N^{238} / N^{235}\right)= \\
= & T_{1 / 2}^{235} \frac{\ln \left(N^{238} / N^{235}\right)}{\ln 2} \approx 5,5 \cdot 10^{9} \text { лет. }
\end{aligned}
\]
3. Период полураспада ${ }^{234} \mathrm{U}$ равен $T_{1 / 2}^{234}=2,48 \cdot 10^{5}$ лет. Какое количество атомов ${ }^{234} \mathrm{U}$ осталось бы на Земле в настояцее время, если бы происходил только процесс радиоактивпого распада этого элемента? Как объяспить, что в природном урапе содержится примесь ${ }^{234} \mathrm{U}$ в количестве $0,055 \%$ ? Визраст Земли $t=4,5 \cdot 10^{9}$ лет.

Ответ. $N=N_{0} e^{-t / \tau}=N_{0} e^{-t \ln 2 / T_{1 / 2}}=N_{0} \cdot 10^{-5460}$, где $N_{0}$ – количество атомов ${ }^{234} \mathrm{U}$ в момент образования Земли. Если даже преднолоякить, что в этот момент Земля состояла только из ${ }^{234} \mathrm{U}$, то и тогда на Земле уже давно пе осталось бы пи одного атома ${ }^{234} \mathrm{U}$. Изотоп ${ }^{234} \mathrm{U}$ существует на Земле благодаря $\alpha$-распаду ${ }^{238} \mathrm{U}$ и $\beta^{-}$-распаду ${ }^{234} \mathrm{Th}$ и ${ }^{234} \mathrm{~Pa}$.