Главная > ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ. T.V,Ч. 2 ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА (Д.В.Сивухин)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. Радиоактивпыї распад — яв.ение статистичекое. Все иредсказапия, которые могут быть сделаны на оспове законов радиоактивного распада, носят прпнинианьно вероятносгиый сярактср. Нельзя сказать, какие атомы в радноаттином оиразце раснадутся за рассматрнваемое вреня. Но можно практпесци с нолной достоверностью предсказать, сколько атомов раснадетея за это время. Например, в стучае радона ноновина атомов расуадется за 3.8 гия. И это вероятностное предсказание бутет выполияться тем точнее, чем с большим количеством радона пмеют дело.

Вероятность распада ядра за едипцу времени пазывается постоянной распаба λ радиоактивны ядер дапного сорта. Это зиачит, что нз N пмеющихся радиоактивпых ядер за едиицу нремепи в среднем распадается λN, а за время dtλNdt ядер. Величина λN называется активностью радиоативного источина (радноактивностью). Старейшеї, до сих пор панболее употребптельной единцей радиоативности является кюри (र̈) п ее дольные единицы: миликюри ( 1 мКи =103 Кй) и микрокюри (1 мкКи =106 Кл). По первонатальному оиредетению кори есть аютнвность, одного грамма изотопа радия 8%226Ka — О,нако дия удобства пзмерений это определепне в дальнейшем было заменено следующим:
1Kи=3,7001010pacн/c (точно). 

Активность же грамма радия тиш прпближенио составляет 1 Ки. Естественной едницеї аптивности является 1 распад в секунду. Эта едпнца получиа пазвание беккерель (Бк) и принята в Международиой системе СІ. В литературе унотреблястся также едница резерфорд: 1Px=106 Бк.

Поскольку радиоактивне превращения совершаются виутри ядра, внешние условия (темшература, давление, химиеске реакции п пр.) на ход радиоактивных превращениї практически пе оказывают никакого влиния. Во всяком случае такое влияние пе удалось обпаружить самыми точными способами, которыми располагала физнка до открытія эффекта Мёсбауэра. В частности, не удавальсь обнаружить зависимости от внешин условий постоянной радпоактивного распада λ. IІсключенем являлся только e-захват. Для него еще до пспользования мёссбауэровскої спектроскопии была обнаружена очень слабая завнснмость величины λ от внешних условиї. Но в этом случае явление определяется не только тем, что пронсходит внутрп ядра, по п в ближайших к нему участках электронной оболочки. Только методами мёссбауэровской спектроскопии (см. § 76) удалось отчетливо обнаружить влияпие электронпой оболочки атома на явления, происходящие внутри атомного ядра. Но в громадшом большинствө случаев әто влияпие не играет никакой роли. Постоянная λ пе завнсит и от времени. Образно говоря, радиоактивные ядра могут только умирать, го они никогда не стареют.
2. После этих замечаний сформулируем основной закон радиоактивного распада. Пусть N — чпсло (очень большое) радиоактивных ядер в момент времени t, а N+dN — в более поздний момент t+dt. Величина dN отрицательна, поскольку ядра могут только распадаться, т. е. число их убывает. На осповании изложенного выше
dN=λNdt.

Госкольку λ не зависит от времени, после иттегрирования получаем
N=N0eλt,
т. ө. число нераспавшихся ядер убывает во времени экспоненцпально. Время t можно отсчитывать от любого момента, принимаемого за пачальный. Постоянная N0 означает число пераспавшихся ядер в начальный момент времени. Формула (72.2) и выражает основной закон радиоактивного распада. Разумеется, она относится к тем атомам радиоактивного вещества, которие могут только распадаться, но не могут появляться или исчезать в результате каких-либо других процессов.

Постояную распада λ можно выразить через среднее вреля жизни радиоактивного ядра. Так как за промежуток времени между t п t+dt распадается dN ядер, то можно сказать, что каждое из этих ядер «живет» время t, считая от натала отсчета времени. Суммарное время жизни этих dN ядер составляет tdN, а суммарное время жизни всех Nθ ядер определяется интегралом
N00tdN=λ0tNdt=λN00teλtdt=N0λ.

Таким образом, среднее время жизни одного радиоактивного ядра будет τ=(N0/λ):N0, т. е.
τ=1/λ.

Оно не зависит от выбора начала отсчета времени. Это вполне естественно, поскольку все моменты времепи в отношении радиоактивного распада полностью равноправны. Различные моменты характеризуются различными значениями полного числа радиоактивных ядер N, но относительное число ежесекундно распадающихся ядер N~/N одно и то же для всех моментов времени и равно постоянной распада λ. Заметим еще, что время τ для сокращения обычно называют просто временем жизии ядра, опуская прилагательное «среднее».

С введением времени жизни формула (72.1) представптся в виде
N=N0et/τ.

Время T1/2, по истеченип которого тисло наличных радиоактивных атомов убывает в два раза, называется периодом или временем полураспада. Для его определения на осповапип (72.4) получим

откуда
N=N0/2=N0eT1/2/τ,
T1/2=τln2=0,6931τ.

Если одновременшо происходят два конкурирующих процесса, так что ядра N могут одновременно испускать частицы одного сорта N1, согласио уравнению dN1=λ1Ndt, и частицы дюугого сорта N2, согласіо уравнению dN2=λ2N2dt, то
dN=dN1+dN2=(λ1+λ2)Ndt.

Отсюда следует, что обратная велитина «результирующего» времени жизни τ разна сумме обратных величип времен жизвп τ1 и τ2 обоих конкурирующих процессов:
1/τ=1/τ1+1/τ2.
3. При радиоактивном распаде ядер исходного вещества могут возникать новые радиоактивные ядра. В таком слутае первне яцра называются материнскими, а вторые-дочерними. Обозначим числа этих ядер соответственно через N1 и N2, а их постоянные распада — через λ1 и λ2. Тогда изменения N1 и N2 будут онисываться уравнениями
dN1/dt=λ1N1,dN2/dt=λ1N1λ2N2.

Первое из этих уравневий с точностью до обозначений полностью совпадает с (72.1), поскольку число N1 может только убывать за счет радиоактивного распада материнских ядер. При этом из каждого материнского ядра возникает дочернее ядро. Это обстоятельство учитывается первым слагаемым в правой части второго уравнения системы (72.6). Другое же слагаемоо (λ2N2) учитывает убыль дочерних ядер из-за их радиоактивного распада.

Если дочерние ядра также радиоактивны, то при их распаде возникают новые ядра, число которых обозначим через N3, а постоянную распада — через λ3. В этом случае к системе уравнеший (72.6) добавляется третье уравнение
dN3/dt=λ2N2λ3N3

и т. д.
Важнейшим является случай системы уравнений (72.6), когда рассматриваются только материнские и соответствующие им дочерпие такие радпоактивные ядра. Этим случаем мы и ограпитися. Решение системы уравнений (72.6) имеет вид
N1=N10eλ1t,N2=N10λ1λ2λ1eλ1t+(N20N10λ1λ2λ1)eλ2t,

где N10 п N20 — патальные значения чисел атомов N1 и N2 материнского и дочерпего вещества. В тастном случае, когда в патальныї момснт дотерпее вещество еще не образовалось (N20= =0 ), формула (72.9) упрощается и переходит в
N2=N10λ1λ2λ1(eλ1teλ2t).

Потное число атомов N1+N2, как видно из формул (72.8) и (72.10), пе сохрапяется, если только дочерние ядра испытывают распад (λ2eq0) ). Но если дочерпие ядра не распадаются (λ2=0), то пз тех же формул получается N1+N2=N10= const, т. е. полное тисло атомов N1+N2 сохраняется. Тот же результат немедлино получается, если почленно сложить уравнения (72.6) и учесть, что λ2=0. Аналогично, если не распадаются ядра, возникающие из дочерних (λ3=0), то сложением уравнений (72.6) и (72.7) получим N1+N2+ +N3= const, и т. д.
Особенно важным является случай, когда материнское вещество — долгоживущее, а дочернео вещество по сравненио с ним распадается быстро (λ1λ2 ), притем время наблюдения t пренебрежимо мало по сравнению є временем жизни τ1 материнского Prc. 126 вещества (λ1t1). За это время пзменепием N1 можно пренебречь, т. е. N1 считать величиной постоянной. В таком случае из (72.8) и (72.10) полутается
N1= const ,N2=λ1N1λ2(1eλ2t),

так как велпчиной λ1 в знаменателе формулы (70.10) можно пренебречь. Число атомов N2 при t асимптотически стремится к насыщению N2()=λ1N1/λ2. Насыщение наступает практически через промежуток времени t3τ2 (рис. 126). Таким образом, в состоянии насыщения выполняется условие
λ1N1=λ2N2

Это равенство называют также условием радиоактивного равновесия. Как видно из (72.6), физический смысл его состоит в том, что распад атомов дочернего вещества в любой момент времени компенспруется увеличением их числа за сиет распада атомоз материнского вещества.
4. Статистический закон радиоактивного распада при палпчии очень большого количества радиоактивных атомов — иракти чески абсолютно точный закон. На его прицципе работают «атомиые часы», служащие в некоторых случаях, например в геологии или археологии, для пзмерения шромежутков времени. Oпшем два примененія радиоактивпости с этой целью.

Для оценки возраста мертвых организмов (древесппы, костей животных и пр.), не превышающего примерно 50000 лет, используется радоактивный шзотоп углерода 614C. Испытывая β-распад, он превращастся в азот 714 N. Период полураспада дия 614C составляет 5800 лег. Зная первоначальное количество атомов 614C в образце и измерив оставшееся количество их, можно вычислить время, прошецшее с момента появления образца. Радиоактивный изотоп 614C образуется в верхних слоях атмосферы при столкновения нейтронов, образовавшихся под действием космических лучей, с ядрами атомов азота 714 N, составляющим основную часть атомов воздуха (см. § 103, пункт 12). Образовавшийся углерод 614C быстро попадает в нижние слоп атмосферы, где перемешивается е обычным углеродом 612C. Обытный нерадиоактивный углерод 612C поглощаетея животными и растениями, а вместе с ним поглощается и небольшое количество радиоактивного изотопа 614C. Можно считать, что за времена геологического порядка интенсивность космических лучей в земной атмосфере не изменилась. А так как по сравнению с этими временамп период полураспада 614C (5800 лет) относптельно мал, то в земиой атмосфере установилось равновесное соотношение между радиоактивным 614C и нерадиоактивным 612C изотопами углерода, гогда вместо каждого распадающегося радиоактивного атома 614C космические лучи в среднем порождают такой же новый атом. Это соотношение прпмерно одпнаково и в живом организме, носкольку последний частично состоит из атмосферного углерода. Посло гибели организма он, естественно, не в состоянип больше поглощать ни углерод 12C, ни углерод 14C. При этом количество углерода 12C, накопленного организмом в течение времени жизпи, остается пеизменным, тогда как половина атомов 14C убывает за каждые 5800 лет. По меняющемуся соотношению между количествами углерода 12C и 14C и можно относительно тотно определить возраст мертвого организма.

Второй пример касается определения возраста Земли. Пригдипиальное (но численно грубое) решение его было дано еп на заре исследований явления радиоактивпости. «Атомпыми часами», пригодными для решения подобпых вопросов, могут служить долгоживущие ядра 238U (пернод полураспада 4,56 млрд лет) и 232Th (перпод полураспада 14 млрд лет). Конечными продуктами их радноактивного распада являются соответственно стабильные пзотопы свинда 206 Pb и 208 Pb. Они пазываются радиогенными в отличие от так называемого изначального свипца 204 Pb, не являющегося конечным продуктом радиоактивных превращениї. Ести ввести предположение, что весь радиогениый свпнед получплся в результате радиоактивного распада урана и тория, то можно вычислить возраст Земли. Для надежного выэиления падо точно измерить количество различных изотопов радиогенного свица, содержацихся, например, в радиї-урановых рудах. В настоящее время такой метод дает для возраста Земли приблизительно 4,5 млрд лет. Конечно, в оспове этого метода лежит предположение, что в момент возникновения Земли на пеї не существовало радиогенного свинда. Одпако определепие возраста Земли, основанное на этом предположении, хорошо согласуется с другими методами.
ЗАДАчИ
1. Уерез равные малые промежутки времени производится стет α-тастиц долгоживущего радиоактивного препарата. Найти вероятность Pn того, что в одим пз этих промежутков времени будет зарегистрироваио n-qастиц, если среднее число зарегистрированных в одном промеяутке временіг α-тастіпі равіо n¯.

Pеление. Пусть ва длительный промежутог времени радиоаттивпый пренарат пспустил всего N-тастиц, причем за это время его количеетво практически не измепилось. Обозначим через p вероятность того, что атом радиоактнвного вецества пснустил α-частицу в рассматриваемый промежуток времени. Тогда всроятность нспускания во все остальпые промежутки времеши будет 1p. Искомая вероятность определится соотношением
pn=N!n!(Nn)!pn(1p)Nn=N!n!(Nn)!(n¯N)n(1n¯N)Nn.

При N это выражепие аспптотпчески переходит в формулу Пуассопа
Pn=(n¯)nn!en¯

В самом деле,
Pn=[N(N1)(Nn+1)Nn]n¯nn!(1n¯N)(N/n¯)n¯(nN)/N.

Асимитотпиеси при N
(1n¯N)N/n¯=e

выраянепие в квадратных сгобках стремится и 1 , а дробь (nN)/N к -1 . В результате получается формула (72.13).

2. В настоящее время в природпом ураше содержится 99,28%238U п 0,72%235U. Вычислить возраст Земли t в предіоложении, что в момент образовачия Земли количества 238U и 235U были одинаковыми.
 Ответ. t=ln(N238/N235)λ235λ2381λ235ln(N238/N235)τ235ln(N238/N235)==T1/2235ln(N238/N235)ln25,5109 лет. 
3. Период полураспада 234U равен T1/2234=2,48105 лет. Какое количество атомов 234U осталось бы на Земле в настояцее время, если бы происходил только процесс радиоактивпого распада этого элемента? Как объяспить, что в природном урапе содержится примесь 234U в количестве 0,055% ? Визраст Земли t=4,5109 лет.

Ответ. N=N0et/τ=N0etln2/T1/2=N0105460, где N0 — количество атомов 234U в момент образования Земли. Если даже преднолоякить, что в этот момент Земля состояла только из 234U, то и тогда на Земле уже давно пе осталось бы пи одного атома 234U. Изотоп 234U существует на Земле благодаря α-распаду 238U и β-распаду 234Th и 234 Pa.

1
Оглавление
email@scask.ru