1. Біагодаря малой массе при каждом столкновешии движущейся легкой частицы (электропа или позитрона) измепепие ее пмпульса относительно велико. Поэтому путь легкой частицы в среде не прямолинейный, а извилистый. Если пучок частиц направить на однородную среду, то он ведет себя по-разному в зависимости от того, состоит ли он из тяжелых частиц или из легких. В случае тяжелых частиц интенсивность пучка остается постоянной, если пройденный им путь $x$ меньше длипы пробега $\boldsymbol{R}$. В очень же тонком стое вблизи границы $x=R$ частицы выбывают из пучка, и он резко обрывается. В случае же пучка из легких частиц интенсивность пучка убывает плавно и непрерывно на всем его протяжении. Поэтому об определенном пробеге $R$ легкой частицы говорить не приходится. Можно ввести понятне максимального (или экстраполированного) пробега и средпего пробега. Максимальным пробегом называется минимальная толщина слоя вещества, в котором задерживаются все частицы. Оп, очевидно, совпадает с полной длиной криволинейного пути, проходимого в веществе отдельной частицей. Чтобы получить средиий пробег, надо взять длину прямолинейного пути, проходимого частицей в веществе до того, как она выбывает из пучка, и этот путь усреднить по всем частицам пучка.

Вторая особенность в поведении легких частиц состоит в том, что при изменении импульса в результате столкновения электрон (или позитрон) излучает. Поэтому, помимо ионизади$\cdot$ онных, появляются радиационные потери, т. е. потери энергин на излучение фотонов.

Наконец, в-третых, при движении этектропа в среде проявляются кваитовые обмениые әффекты, наблюдающиеся во всякой системе тождественных частиц. Такие эффекты, разумеется, не вознинают нри двпжении позитропа в среде, поскольку алектроп и позитрон – не тождественные частицы. Зато в этом слутае возможен процесс анииаляции позптрона с элегтроном. Впрочем, роль процессов апиилляции, а также әффектов обмена отиосительно невелика. Поэтому торможение электропа и повптрона в среде происходит практически одинаково. Ниже для копкетности имеется в виду торможение әлектронов, так каю позитронные пучн примепяются в эксперименте значительно реже.
2. Качественно механизм понизационны потерь в случае легких частиц такой же, что и в случае других заряженных частиц. Поэтому для электронов применима прежтяя формула (80.2) с той только разпицей, что из-за малости массы әлектрона и кваптовомеханических әффектов обмена пределы интеграла торых других факторов Бете (р. 1906) получил следующую формулу для понизационных потерь электронов:
\[
\begin{array}{c}
-\frac{d \mathscr{E}}{d x}=\frac{2 \pi n e^{4}}{m v^{2}}\left[\ln \frac{m v^{2} \mathscr{E}}{2 \bar{I}\left(1-\beta^{2}\right)}-\ln 2\left(2 \sqrt{1-\beta^{2}}-1+\beta^{2}\right)+\right. \\
\left.+1-\beta^{2}+\frac{1}{8}\left(1-\sqrt{1-\beta^{2}}\right)\right]
\end{array}
\]

где $\bar{I}$ – средпий попизациониый потенциал атомов поглотителя, даваемый прежней прибльженной формулой (80.5), а $\mathscr{E}$ – релятизистская кинетическая энергия электрона:
\[
\mathscr{E}=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}-m c^{2} .
\]

В перелятивистском пределе $\beta \rightarrow 0$ :
\[
-\frac{d \mathscr{E}}{d x}=\frac{4 \pi n e^{4}}{m v^{2}} \ln \frac{m v^{2}}{2 \vec{I}} \quad \text { (нерелятпв.). }
\]

В ультрарелятивистском случае
\[
-\frac{d \mathscr{E}}{d x}=\frac{2 \pi n e^{4}}{m c^{2}}\left[\ln \frac{\mathscr{E}^{2}}{2 \bar{I}^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}}+\frac{1}{8}\right] \text { (ультрарелятив.). (81.4) }
\]

Ввиду малости массы электрона все три формулы (81.1), (81.3) и (81.4) паходят практическое применение. Например, для электрона $m c^{2}=0,511$ МэВ, а потому әлектропы с энергиями в несколько мегаэлектронвольт уже являются ультрарелятивистскими.

3. При сравнении ионизационных потерь тяжелой и легкої частиц главное внимание следует обратить на то, что в формулах (80.10) и (80.11), с одной стороны, и (81.1), (81.3), (81.4)с другой, определяющим является множитель перед логарифмом, так как логарифм медленно меняется с изменением параметров, характеризующих движение частиц. А этот множитель в случае движения одпократно заряженных частиц фактически одинаков во всех формулах. Поэтому при одинаковых скоростях́ движения ионизациониые потери тяжелой и легкой частиц иримерно одипаковы. Это и понятно. Иопизационные потери возникают из-за воздействия электрического поля движущейся частицы на электроны среды. А эти поля́ соверщено одинаковы в случае тяжелой и легкой частиц, если только одипаковы их заряды и скорости двияения.

Не так обстоит дело, когда сравниваются ионизационнье потери легкой и тяжелой одпозарядшых частиц одинаковой энергин. В том случае, когда движение обеих частиц нерелятивис гское, скорости частиц находятся в обратном отношении квадратпых корней из их масс. Благодаря әтому тяжелая частпца более длительно эффективно воздейєтвует на каждый электрон среды и поэтому быстрее теряет энергию. В этом случае, как мы видели в предыдущем параграфе, ионизацпонные потери эшергии пропорциона.шны массе частицы. Например, иопизациоппые потери протона примерно в 2000 раз превосходят иопизациониые потери электрона той же энергии.

Более иптересеп случай, когда электрон ультрарелятивистский, по протоп тоӥ же энергии епе может считаться перелятивистским. В этом случае электрическое поле движущегося протопа сферически-симметрично, тогда как у электропа опо спльно сплющено в направлении движения и растяпуто в поперечпом направленит. За счет этого понизациопы потерп энергип электрона сильно возрастают. Сравним, например, әлектрон II протон с кинетической эпергией $\mathscr{E}=5 \mathrm{M}$ В. При такой энергип электрон уже может считаться ультрарелятивистским, тогда как протоп остается перелятивистским. Так как эпертия покоя электрона $\mathscr{E}_{0}=0,5 \mathrm{M} \mathrm{B}$, а кинетическая эюргия шрактически совпадает с полной, то $\mathscr{E} \approx \mathscr{E}_{0} / \sqrt{1-\beta^{2}}$, так что $1 / \sqrt{1-\beta^{2}} \approx 10$. Сравнивая формулы (80.13) и (81.4), получаем

где
\[
\frac{(d \mathscr{E} / d x)_{\mathrm{p}}}{(d \mathscr{E} / d x)_{\mathrm{e}}}=\frac{M c^{2}}{\mathscr{E}} \frac{\ln A}{\ln B}
\]
\[
A=\frac{2 \mathscr{E} m}{M \vec{I}}=\frac{2 \cdot 5 \cdot 10^{6}}{2000 \cdot 10} \approx 5 \cdot 10^{2}
\]
(мы положили $\bar{I}=10$ эВ),
\[
B=\frac{\mathscr{E}^{2}}{2 \bar{I}^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{5^{2} \cdot 10^{12} \cdot 10}{2 \cdot 10^{2}} \approx 2,5 \cdot 10^{12},
\]

т. е.
\[
\begin{array}{l}
\ln A=2 \ln 10+\ln 5=2 \cdot 2,3+1,6=6,2, \\
\ln B=12 \ln 10+\ln 2,5=12 \cdot 2,3+0,9=28,5 .
\end{array}
\]

Таким ои́разом, отношение логарифмов равно всего около $1 / 5$, а множитель при логарифах $M c^{2} / \mathscr{E}=938 / 5 \approx 200$. Ионизационные потери протона превынают шонизадиониые потери электрона приб.тизительно в 40 раз.

Наконец, рассмотрим случай, когда обе частицы, тяяелая и легкая, – ультрарелятивистские и обладают одной и той же кинетической энергией, которую в рассматриваемом случае монно считать равной полной энергии: $\mathscr{E}=m c^{2} / \sqrt{1-\beta_{\mathrm{e}}^{2}}=M c^{2} / \sqrt{1-\beta_{\mathrm{p}}^{2}}$, где $\beta_{e}$ – отношение $v / c$ для легкой частицы, а $\beta_{p}$ – для тяжелої. Таким образом,
\[
\frac{1}{\sqrt{1-\beta_{\mathrm{e}}^{2}}}=\frac{\mathscr{E}}{m c^{2}}, \quad \frac{1}{\sqrt{1-\beta_{\mathrm{p}}^{2}}}=\frac{\mathscr{E}}{M c^{2}} .
\]

Для тяжелой частицы (протона) пользуемся формулой (80.10), полагая в ней $v=c$, для легкой – формулой (81.4) и получаем
\[
\frac{(d \mathscr{E} / d x)_{\mathrm{p}}}{(d \mathscr{E} / d x)_{\mathrm{e}}}=2 \frac{\ln A}{\ln B}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
A=\frac{m c^{2}}{\bar{I}\left(1-\beta_{p}^{2}\right)}=\frac{m}{M} \frac{\mathscr{E}^{2}}{\bar{I} M c^{2}} \\
B=\frac{\mathscr{E}^{2}}{2 \bar{I}^{2} \sqrt{1-\beta_{\rho}^{2}}}=\frac{\mathscr{E}^{3}}{2 \bar{I}^{2} m c^{2}} .
\end{array}
\]

Возьмем числовой пример: $\mathscr{E}=10$ ГәВ $=10^{10}$ эВ, $I=10$ эВ, $m / M=1 / 2000, M c^{2}=1$ ГәВ $=10^{9}$ эВ, $m c^{2}=0,5 \mathrm{MəB}=0,5 \cdot 10^{6}$ əВ. Тогда $\ln A=15,4, \ln B=50,6$ и
\[
\frac{(d \mathscr{E} / d x)_{p}}{(d \mathscr{E} / d x)_{e}} \approx 0,6 .
\]

Ионизационные потери ультрарелятивистского әлектрона в этом случае даже больше (примерно в два раза), чем ультрарелятивистского протона той же энергии. Причина этого в том, что по сравнению с электрическим полем неподвижной частицы әлектрическое поле ультрарелятивистского әлектрона изменяется более зпачительно (сплющивается сильнее в направлении движения и расширяется в поперечном направлении), чем электрическое поле ультрарелятивистского протона той же энергии $\left(\beta_{\mathrm{e}}>\beta_{\mathrm{p}}\right)$.

Отличие в поведении заряженных частиц различных энергий проявляется, например, при их регистрации. Так, протон с энергией 5 МэВ оставляет в ядерной фотоэмульсии отчетливый следа электрон с той же энергией практически незаметеп. Ультрарелятивистские же частицы (например, в пузырьковой камере) трудно отлитить друг от друга по оставляемым ими трекам, так как треки всех заряженных ультрарелятивистских частид имеют практически одинаковую толщину.
4. Ускоренно движущаяся заряженная тастица, как известно, испускает электромагнитные волны. В частности, это происходит при ее столкновениях с частицами вещества, через которые она проходит. Возникающее электромагнитное излучение называется тормозиым, а потери энергии частицы на тормозноө излучепие – радиациониыми. IІрмером тормозного излучения может служить непрерывный рентеновский спектр, возникающий при торможении электронов на аптикатоде рентеновской трубки. Торможение электронов высоких эпергий используетсл в әлектронных ускорителях для получения пучков $\gamma$-лучей. В т. III, § 141 показано, что интенсивность тормозного излучепия (т. е. электромагнитная энергия, испускаемая частицей в единицу времени) в нерелятивистском некваптовом приближении определяется выражением
\[
w=\frac{2}{3} \frac{z^{2} e^{2}}{c^{3}} \dot{\boldsymbol{v}}^{2}
\]

где zе – заряд частицы, а $\dot{v}$ – ее ускорение. Ускорение равно $\dot{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{F} / m$, где $\boldsymbol{F}-$ сила, действующал на частицу, а $m$ – ее масса. Отсюда следует, что практически все радиационное торможение приходится на излучение электронов, так как излучение протона при равных действующих силах в $\left(m_{\mathrm{p}} / m_{\mathrm{e}}\right)^{2}=1836^{2} \approx$ $\approx 3,4 \cdot 10^{6}$ раз слабее, чем у электрона. Иопизационшые потерп эшергии движущегося электрона обусловлепы столкиовениями его с электронами атомных оболочек. Они в основном пропорциональны числу әлектронов $Z$ в атоме среды. Радиационные потери, напротив, в основном обусловлены столновениями цвижущегося электрона с атомиыи ядрами среды. Они пронорционалыпы квадрату кулоновской силы притяжения между движущимся электроном и ядром. Эта сила в свою очередь пропорциональна $Z e$, а потому радиациопные потери долыны возрастать пропорционально второй, а не первой степени $Z$. Этот вывод остается справедливым и в последовательной релятивистской квантовой теории радиационного торможения, развитой Бете и Гайтлером (1904-1981).
5. Тормозное излучение, возникающее в каждом индивидуальном акте столкновения электрона с атомом, существенно зависит от степени әкранирования электрического поля ядра атомными өлектронами. С классической точки врения эта вависимость определяется соотношением между прицельным расстоянием налетающего электрона $b$ и \”радиусом ядра» $a$. Если $b / a \ll 1$, то әкранирование несущественно, а при $b / a \gg 1$ экранирование полное. Все же основное зпачение имеет торможепие әлектрона электрическим полем ядра. В пренебрежении экранированием әнергия, теряемая электроном на радиационное торможение при прохождении одного и того же пути $b$ в веществе, пропорциональна числу ядер, мимо которых пролетает әлектрон. Иными словами, эта әнергия пропорциональна плотности вещества $\rho$ и проходимому әлектроном пути $d x$. Поэтому радиационные дотери энергпи электрона определяются выражением
\[
-(d \mathscr{E} / d x)_{\text {рада }}=\mathscr{E} / l_{r},
\]

где постоянпая $l_{\text {r }}$ называется радиациониой длиной. Как уяө говорилось в предыдущем параграфе (пункт 6), при рассмотрении процессов поглощения вместо истинной толщины $x$ вводят ее произведение на плотность вещества $\rho x$ (называя эту величину также толщиной). Во избежание недоразумений радиационную длину, понимаемую в таком смысле, мы будем обозначать. большой буквой $L_{r}$. В таблицах обычно дают значения $L_{r}$ в граммах на квадратный сантиметр. Не приводя теоретических выражениӥ для $L_{r}$, к которым приводит теория Бете и Гайтлера
Таблица 13
Радиационные длины и критические энергии для различных веществ

ограничимся приведепием числовых зпачений $L_{\mathrm{r}}$ для пекоторых веществ (см. табл. 13). Из этой таблицы паходим, например, что для сухого воздуха при температуре $18{ }^{\circ} \mathrm{C}$ и нормальном давлении ( $\rho=0,001213 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$ )
\[
l_{r}=\frac{36,5}{0,00121}=30200 \mathrm{~cm}=302 \mathbf{м} .
\]

Согласно формуле (81.6) радиационные потери линейпо растут с әнергией, тогда как ионизационные потери при высоких энергиях меняотся с энергией логарифически, т. ө. от энергии шрактически не зависят. Для сравнения можно пользоваться приближенным соотношением
\[
\frac{(d \mathscr{E} / d x)_{\text {naд }}}{(d \mathscr{E} / d x)_{\text {иониз }}} \approx \frac{Z \mathscr{E}}{800}
\]

где эпергия $\mathscr{E}$ измеряется в мегаэлектронвольтах. Из формулы видно, что при $\mathscr{E}>800 / Z$ радиационшые потери превышают понизационшые. Эпергия $\mathscr{E}_{\text {нр }}$, при которой радиационные потери становятся равными иопиационшым, называется критической. Д:я этой энергии приближепиа формула (81.7) в мегаэлектронвольтах дает $\mathscr{E}_{\text {ір }} \approx 800 / Z$. При очень высоких энергиях нопизационными потерями можно пренебрречь и уравнеии (81.6) проинтегрировать. Тогда получится
\[
\mathscr{E}=\mathscr{E}_{0} e^{-x / l_{r}} .
\]