1. Тяжелая заряженная частица массы $M$ п высокой әнергии взаимодействует с электрическими полями электронов п атомных ядер. Она либо ионизует, либо возбуждает атомы. Осуществляется также и чисто ядерное взаимодействне частицы с атомнылы ядром. За счет этих процессов энергия частицы уменьшается п ее движение замедляется. Если частица заряжена положштельп, то в результате замедления она начнает энергитно захватывать электроны, отбирая их от атомов окружающей среды. В результате она превращается в ион или нейтральный атом и приходит в тепловое равновесие с окружающей средой. Такова же судьба и быстрой отрицательной частицы. Регулярное движенше частицы через среду прекращается – ее путь обрывается. Но процессы, происходящие с частицей в самом конце ее пути, здесь не рассматриваются. Не рассматриваются также ядерные превращения, которые может претерпевать двнжущаяся частица ирп столкновениях с атомпыми ядрами среды, так как из-за короткого действия ядерных сил такие превращения осуществляются гораздо реже, чем процессы, вызываемые кулоновскими счлами. Заметим только, что для адронов высоких энергий заметную роль играют и ядерные взаимодействия.

В этом параграфе преднолагается, что основную роль в замедлении частиды играют процессы ионизации и возбуждения электронных оболочек атома. Все они потучили собирательное название ионизационных потерь. Только такие процессы к учитываются в настоящем параграфе *). Из-за дальнодействующего характера кулоновских сил частица взаимодеӥствует сразу со многими әлектронами атомных оболочек, которые в свою очередь воздействуют па частицу. Это воздействие носит случайный, хаотический характер, так что путь частицы в веществе практически прямолинеен. Прямолинейность пути связана также с боль-
*) В § 80 и 81 соверпепно не затронут процесс многократиого расселиил частиц, в основе которого лежит резерфордовское рассенние частид на ядрах. Следует иметь в виду, что этот процесс приводит к заметному искривлению следов даже тяжелых частиц, а угол многократного рассеяния используется для определения характеристик частид, оставивших след,

шой массой тяжелой частицы по сравнению с массой легкого әлектрона, вследствие чего при каждом взаимодействии с электроном она отклоняется очень мало и теряет очень пебольшую долю от первоначальной энергии.

Осповной пнтерес представляют средние ионизационные потери энергии частицы – $d \mathscr{E} / d x$, отнесенные к единице пути, а также ее полный пробег $R$ в веществе. Приближение пахождение зависпмости этих величнн от характеристик частицы и среды и является целью пастоящего параграфа. Рассмотрим решение этой задачи в предположенип справедливости классической механик, а затем качественно учтем влияние кваптовых эффектов. Последовательный квантовый расчет выходит за рами этой книги.
2. Спачала рассчитаем потери энергип, вносимые отдельным электроном, а затем просуммируем эти потери по всем электронам среды. Таким образом, расчет будем проводить в приближении парных столкновений, т. е. будем считать, что взапмодействше каждого электрона с рассматриваемой частицей пропсходит так, как если бы других электронов не было. А поскольку энергия частицы предполагается высокой, электрон, с которым она взапмодеїствует, можно считать свободиыи. Более того, можно предполагать, что этот элегтрон покоится. Оправданием этого может служить следуюцее заметанпе: электрон входит в состав атомов п молекул п в среднем перемещается с ними с тепловыми скоростями. Сама же двпжущаяся частица имеет скорость, близкую к скорости света, или отличается от нее примерпо на порядок.

Только после иопизации электроп теряет связь с молекулой или атомом и начинает быстро набирать скорость, а потому предположение о неподвижности электрона может и не совсем выполняться. Но процесс ионнзации ироисходнт на малых расстояниях от движущейся частицы, так что ускорение әлектрона совершается кратковременно, и можно думать, что оно не играет существенноӥ роли. Саму тастицу, как уже было выяспено выше, при расчете можно считать движущейся прямолинейно с постоянпой скоростью $v$. Зарядовое число движущейся частицы будем обозпачать малой буквой $z$, оставляя больную букву $Z$ для обозначения зарядового числа атомных ядер окружающей среды.

Частица с зарядом $z e$, двнжущаяся мимо электрона $A$ в направлении осп $x$ (рис. 143), притягивает электроп с силой $F=z e^{2} / r^{2}$. Последняя за время $d t$ сообщает ему импульс $F d t$. Продольная составляющая этого импульса пе имеет значения, так как при переходе частицы через точку $O$ опа меняет зиак. В результате приращепие продольной составляющей будет компенсировано ее убыванпем. Только поперечная составляющая импульса электрона представляет интерес в нашей задаче. Обозначим пошеречную составляющую импульса просто через $p$. Тогда $d p=$ $=-F \sin \varphi d t$, или
\[
d p=-\frac{F \sin \varphi}{v} d x,
\]

где $d x$ – путь, пройдениый тастицей за время $d t$. Но $x=b \operatorname{ctg} \varphi$, $r=b / \sin \varphi$, а $b$ в нашем приближенип предполагается постоянпым. Таким образом, приняв за независпмую переменную угол $\varphi$, получим
\[
d p=\frac{z e^{2} \sin \varphi}{b v} d \varphi .
\]

Полный поперечный импульс, получеппый әлектроном, пайдется интегрированием по $\varphi$ в пределах от 0 до $\pi$. Таким путем паходим
\[
p=2 z e^{2} / b v .
\]
Рис. 143
Электроп получит энергию $p^{2} / 2 m$, п такую же энергию потеряет частица ( $m$ – масса электрона).
3. Допустим теперь, что частица пересекает бесконечий плоскопараллельный слой вещества толщиной $d x$, в единице объема которого содержится $n$ элентронов. В части этого слоя, ограпиченой цилипдрческими поверхпостями с радиусамп $b$ и $b+d b$, паходится $d N=2 \pi n b d b d x$ электронов. Еслі, как было предиоложено выне, электроны действуют независимо друг от друга, то взаимодействие частицы с $d N$ электронами вызовет потерю ее энергии па величипу – $d N p^{2} / 2 m$. Пlолная потеря эпергии частицы на едипице пути будет, таким образом,
\[
-\frac{d \mathscr{E}}{d x}=\frac{4 \pi n z^{2} e^{4}}{m v^{2}} \int \frac{d b}{b}
\]

где иттегрировапие распрострапено на всю область, заполнепную электронами, существенно влияюцими на торможепие частицы. Строго говоря, этот способ выражения не совсем тотен, так как он предполагает, что в этой области взапмодействне тастицы с электронами происходит именно по той схеме, которая прпменялась при вычислении. Но это далеко не так. Такая схема заведомо непрпменима при слицком больших и слишіом малых значениях параметра $b$, а при промежуточных зпачениях примепима только приближенно. Тем пе мепее, сознательно идя на потерю математической строгости, мы примем эту схему при промежуточных значениях, поскольку здесь она фнзчески оправдана. Нельзя только производить интегрпрование в пределах от $b=0$ до $b=+\infty$, так как это приводит $\kappa$ расходящемуся интегралу, что физически означает мгновенное торможение частицы, а это бессмысленно. Поэтому интегрирование в формуле (80.2), следует производить в пределах от некоторого миниального значения $b=b_{\text {мин }}$ до некоторого максимального зпачения $b=b_{\text {макс }}$. Оиределение этих пределов представляет нанболее трудную часть задачи, готорая вряд ли может быть решена с полной математической строгостью и достаточной физической ясностью. К счастью, в нодавляюцем большинстве случаев достаточно ограничнться сравнительно грубым физически оправданными оценкама. Приведем одну из наиболее простых тапих оденог.
4. Выясним прежде всего, почему необходимо ограничить верхний предел в итеграте (80.2). Это ограничепие связано с квантовыми свойствами атомов среды. Для возбуждения атома џешнее воздействпе должно быть достаточно сильны. Оно юлжио быть в состоянии перевести атом с одного энергетичек кого уровня на другої. В противном слутае атом возбуждаться не будет. Такой атом не випяет на замедлешие движущейся частицы и не вносит ниакого вклада в интеграл (80.2). Следуюцая элементарная оценка позволяет уяснить суть дела. Движущаяся частица эффективно воздействует ша электрон в течение времени $\tau \sim b / v$. Кулоновская сила, действующая па электрон, $F \sim z e^{2} / b^{2}$. Импульс, приобретаемый электроном, пропорционален $F \tau \sim z e^{2} / b v$, т. е. он тем меньше, чем больше $b$. Если $b$ превышает некоторую величину $b_{\text {макс }}$, то соответствующий әлектрон пе должен приннматься во внимание. Но если электроп рассматривается в течение времени $\tau$, то его эиергия не строго определена, и эта неопределенность $\Delta \mathscr{E}$ ограпичена соотношением $\tau \cdot \Delta \mathscr{E} \approx \hbar$. Ориентировочно атом будет возбуждаться только тогда, когда $\Delta \mathscr{E}$ не меньше $\vec{I}$, где $\bar{I}$ – средний ионизационный потенциал атома. Полагая $\Delta \mathscr{E}=\bar{I}$, получаем оценку $\tau \approx \hbar / \bar{I}$ для времени әффентивного взаимодействия әлектрона с рассматриваемой частицей. За это время частица проходит расстояние $b=$ $=v \hbar / \bar{I}$. Эту величну и можно припять в качестве грубого приближения для верхнего прелела $b$ :
\[
b_{\text {матс }}=h v / \bar{I} \quad \text { (нерелятив.). }
\]

Для средней энергии ионизации атома обычно принимают эмпирически установленную формулу
\[
\bar{I}=13,5 Z \text { эВ. }
\]

Формула (80.3) получена в нерелятивистском приближении, что и отмечено в скобках. Когда частица движется с релятивистской скоростью, в эту формулу следует ввести поправку. Дело в том, что при ее выводе использовался закон Кулона для электрического поля точечного заряда. При релятивистских скоростях движущегося заряда электрическое поле его изменяется. Электрические силовые линии движущегося точечного заряда по-прежнему остаются прямолинейными, но вся картина силовых линий сжимается в направлении движения. Это показано на схематическом рис. 144. Кроме того, продольпе поле, паправленное вдоиь линии движения частицы, уменьшается в $1 /\left(1-\beta^{2}\right)$ раз, а поперечное экваториальное поле увеличивается в $1 / \sqrt{1-\beta^{2}}$ раз. Первый эффект приводит к уменьшению әффективного времени взаимодействия частицы с электроном в $1 /\left(1-\beta^{2}\right)$ раз, а второї эффект – к увеличению поперечной папряженности электрического поля в $1 / \sqrt{1-\beta^{2}}$ раз. В результате прежняя величнна $F \tau$ приобретаст мнокитель $\left(1-\beta^{2}\right) / \sqrt{1-\beta^{2}}=\sqrt{1-\beta^{2}}$, а вместо выражения (80.1) получается
\[
p=\frac{2 z e^{2}}{b c} \sqrt{1-\beta^{2}},
\]

причем скорость частицы $v$ мы за-
Рис. 144
мепили на $c$, воскольку ее движеиие теперь релятивистское. Что касается әлектрона, то мы попрежнему предполагаем, что его движение, возпикающее после столкновения с частицеӥ, нерелятивистское. Поэтому приобретаемая им кинетическая энергия определяется прежним выражением $p^{2} / 2 m$. Таким образом, переход к релятивистскому случаю производится формальной заменой в формуле (80.1) величины $b$ на $b \sqrt{1-\beta^{2}}$. В результате верхний предел $b_{\text {мане }}$ в рассматриваемом случае увеличивается в $1 / \sqrt{1-\beta^{2}}$ раз, т. е.
\[
b_{\text {Matc }}=\frac{\hbar v}{\bar{I}} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \text { (релятив.). }
\]
5. Определим теперь нижниї предел интеграла в формуле (80.2). При классическом рассмотрении скорость, сообщаемая электрону при лобовом столкновении с тяжелой частицей, не может превышать $2 v$. Поэтому энергия, передаваемая электрону, не может превосходить $(1 / 2) m(2 v)^{2}=2 m v^{2}$. Значит, формула (80.1) может иметь смысл только при условии
\[
\frac{1}{2 m}\left(\frac{2 z e^{2}}{b v}\right)^{2}<2 m v^{2}, \quad \text { т. е. при } \quad b>\frac{z e^{2}}{m v^{2}} .
\]

Поэтому в качестве нижнего предела интеграла с класситеской точки зрения естественно принять выражение
\[
b_{\text {мин }}^{\text {кл }}=\frac{z e^{2}}{m v^{2}} \text { (нерелятив.). }
\]

К иному выражению приводит квантовое рассмотревие. Солисно соотношению неопределенностей импульс частицы $p=$ $=m v / \sqrt{1-\beta^{2}}$ и ее расстонние $b$ до электрона должны удовлетворять условию $b p \gtrsim \hbar$. Поэтому с квантовой точки зрения в качестве нижнего предела естественно принять выражение
\[
b_{\text {Мнн }}^{\text {Кн }}=\frac{\hbar \sqrt{1-\beta^{2}}}{m v} \text { (релятив.). }
\]

Пз двух выраякеий (80.7) и (80.8) следует выбирать наибольшее. Сравнение этих выражений в нерелятивистском приближении приводит к результату
\[
\frac{b_{\text {мнН }}^{\mathrm{KH}}}{b_{\text {мин }}^{\mathrm{KI}}}=\frac{\hbar v}{z e^{2}}=\frac{\hbar c}{e^{2}} \frac{\beta}{z}=137 \frac{\beta}{z} .
\]

В релятивистском приблпжении это отношение еще больше. Значит, ограничения, накладываемые квантовой механикой, пачинают сказываться раньше. Поэтому следует выбрать квантовое выраженше (80.8). В результате путем комбинации формул (80.2), (80.6) и (80.8) получается формула Бора:
\[
-\frac{d \mathscr{E}}{d x}=\frac{4 \pi n z^{2} e^{4}}{m v^{2}} \ln \frac{b_{\text {мак }}}{b_{\text {мнн }}}=\frac{4 \pi n z^{2} e^{4}}{m v^{2}} \ln \frac{m v^{2}}{\bar{I}\left(1-\beta^{2}\right)} .
\]

Не следует слишком смущаться грубостью оценок пределов в $b_{\text {инн }}$ и $b_{\text {ман }}$, лоторые былп пропзведены при выводе формулы (80.10), так как в нее входит логарифм отношения этих пределов, которыӥ слабо зависит от погрешностей, вносимых при оденках $b_{\text {чип }}$ и $b_{\text {мак. }}$. Существует несіолько более точных выражепий д.эя $-d \mathscr{E} / d x$. Ограничимся приведением простейших из них:
\[
-\frac{d \mathscr{E}}{d x}=\frac{4 \pi n z^{2} e^{4}}{m v^{2}}\left[\ln \frac{2 m v^{2}}{\bar{I}\left(1-\beta^{2}\right)}-\beta^{2}\right] .
\]

Для протонов с энергией 1 МэВ в воздухе при нормальных температуре и давлении логарифмический член в последней формуле равен приблизительно 9 .

Последовательная квантовая теория понизационных потерь энергии заряженных частиц в веществе была разработана Бете и Б.охом. На этом вопросе мы останавливаться не можем, поскольку изложенше теории Бете – Блоха требует знания математиеского аппарата квантової механини.
6. Формула Бора, по крайнеї мере качественно, а отчасти и количественно, позволяет понять, калими величинами оџределяется торможенпе тяжелых заряженшы частиц за счет ионизационных потерь в веществе в широком диапазоне энергий частицы (от $1 \mathrm{MəВ}$ до десятков и сотен гигаэлектропвольт).

Как видно из (80.10) или (80.11), основные потери определяются зарядом и скоростью частицы, числом электронов в единице объема среды и средним ионизационным потенциалом $I$ атомов среды. Зависимость от $\bar{I}$ логарифмическая, а потому слабая. Зависимость от $n$ сводится к зависпмости от илотности среды $\rho$ посрсдством формулы
\[
n=Z_{\rho} N_{A} / A,
\]

где $N_{A}$ – постояниая Авогадро, $A$ – атомная масса, $Z$ – порядиовый номер атомов среды. Следовательно, велична – $d \mathscr{E} / d(\rho, x)$ примерно одинагова для нсех веществ. Величину $\rho x$ обычио ввдят в качестве меры толицны вешества вместо линейной толиины $x$. Так поступают, например, расситывая толщину необходимой защиты от радиоактивных пзлучений, хотя в әтих случаях в основном требуется защита от $\gamma$-кваптов и нейтронов, а не от потоков заряженшы частиц. Потери сильо завпсят от скорости частицы – они тем больше, чем менцше скорость частицы. Вот цочему толщипа треков тяжелых заряжениы частиц в камеру Вильсона или в фотоәульсии значтельно возрастает к пх концу. Нри увеличении скорости частицы логарифмический член в (80.10) или (80.11) сначала убывает. Но при прпближении скорости к релятивистскому пределу, т. е. при $v \rightarrow c$, убывание сменяется возрастанием, так как числитель $2 m v^{2}$ становится пран:тически постоянным, а знаменатель $1-\beta^{2}$ приближается к пулю. В результате при $v \rightarrow c$ потери энергии – $\mathscr{E} / d x$ проходят чере мпнимум, которыї расположен примерно около $\mathscr{E}=2 M c^{2}$. Это чисто релятивнстский әффект.

Как видно из формулы (80.10) пли (80.11) при заданных скорости и заряде частицы потери не зависят от ее массы $M$. Поэтому в случае протопов и пионов, папример, потери одинаковы, если только эти частицы движутся с одинаковыми скоростями. Если же в нерелятивистском случае в формулу (80.10) ввести кинетическую энергию частицы $\mathscr{E}=M v^{2} / 2$, то нолучится
\[
-\frac{d \mathscr{E}}{d x}=\frac{2 \pi n z^{2} e^{4} M}{\mathscr{E} m} \ln \frac{2 \mathscr{E} m}{M \bar{I}}
\]

Отсюда видно, что в нерелятивистском случае прп одних и тех же заряде и массе частицы потери с логарифмической точностью пропорциональны массе частицы $M$. Поэтому треки у более тяжелой частпцы жирнее и короче, чем у лекой. Наконец, квадратичная зависимость от $z$ проявляется в сильном торможении $\alpha$ – и многозарядных частиц в веществе.

IIри очень малых и очень больших скоростях частиды формулы (80.10) и (80.11) дают завышенные значения для потерь өнергии частицы.
7. ІІри малых скоростях начинает сказываться захват электронов движущейся частицей. Такой захват в какой-то мере эквивалентеп уменьшению числа $z$, а это приводит $\mathrm{f}$ меньшим потерям энергии по сравнению с тем, тто дает формула Бора. Особенно сильно захват происходит в случае движения многократно заряженных положительных ионов, т. е. атомов, потерявпих много электронов. Вцрочем, иногда вместо захвата наблюдается II потеря электронов. Благодаря захвату әлектронов прп уменьшении скорости частицы кривая потерь не уходит в бесконечность, как это было бы согласпо формуле (80.10), а достигает максимум, после чего патинает постепенно снижаться.

Прп очень больших скоростях проявляется влияние поляризации среды, вызываемой әлектрическим полем частицы. Оло ослабляет или, как говорят, әкранирует поле частиды, что умепьшает потери эиергии последней. При нерелятивистских скоростях радиус экранироваиия (дебаевскиї радігус, см. т. III, § 121) превышает размеры атома. В этих случаях эюранировка монет проявиться лпшы на расстояниях, больших $b_{\text {чакс }}$, где ионизацион шые потери так и не возникают. Но в ультрарелятивистских случаях электрическое поле частицы сильно сплющено в направлении движепия, растянуто в понеречном направлении и становится сильпо неоднородным. $\mathrm{B}$ результате поляризация среды шачипает сказываться уже па сравиительно малых расстояниях. Влиянше поляризации и в особенности захвата электронов среды трудно поддается теоретическому расчету. Эти эффекты учитываются эмпирически, и результаты выражаются в виде ғривых пробег – энергия.
8. Расстояние, проходимое в веңестве частицей до ее полної остановки, т. е. до того момента, когда она приходит в тепловое равновесие с окружающей средой, называется пробегом. Для вычисления пробега $R$ замечаем, что на пути $d x$ кинетическая энергия частицы $\mathscr{E}=M v^{2} / 2$ меняется на величину $d \mathscr{E}$, так что $d x=$ $=(d x / d \mathscr{E}) d \mathscr{E}=(d x / d \mathscr{E}) M v d v$. Подставляя сюда вместо $d \mathscr{E} / d x$ выражепие (80.10), приходим к дифферснциальному уравнению
\[
d x=-\frac{M m v^{3} d v}{4 \pi u z^{2} e^{4} \ln \left[m v^{2} / \bar{I}\left(1-\beta^{2}\right)\right]},
\]

интегрирование которого дает
\[
R=\left(M / z^{2}\right) f\left(v_{0}\right),
\]

где $v_{0}$ – патальная скорость движения частицы, а фунция $f$ оиределяется интегралом
\[
f\left(v_{0}\right)=-\int_{v_{0}}^{0} \frac{m v^{3}}{4 \pi n e^{4} \ln \left[m v^{2} / \bar{I}\left(1-\beta^{2}\right)\right]} d v .
\]

Существенно, что эта функция для заданной среды одинакова для всех частиц. Если пренебречь слабой логарифмической зависимостью от скорости частицы, то
\[
R \approx\left(M / z^{2}\right) v_{0}^{4} .
\]

Однако, как мы видели, применимость формулы (80.10) ограничена әффектами захвата электронов среды. Уточненную формулу для $R$ можно получить из следующих простых соображений. Разделши весь путь двшжения частицы на две части: иа часть, где захвата электронов практически пе происходит и нрименима формула (80.10), и на оставшуюся часть, где существенную роль играют захваты. If первой части шрименимо выражепие (80.14). Діпна второй части пути от пачальной сюорости $v_{\theta}$ пе зависит, т. е. является некоторой постоянной $C$. Значение әтой постоянной различно для разых частиц и сред, в которых они движутся. Таким путем для полного пробега получается приблтиненная формула
\[
R=\left(M / z^{2}\right) f\left(v_{0}\right)+C .
\]

Діля $\alpha$-частицы в воздухе при комнатной температуре и порнальном давлении оиыт дает $C=0,2$ см. В алюминии пробег протона с энергией 5 МэВ равен 0,06 мм, а с энергией $10 \mathrm{MəB}-0,17$ мм.

Формула (80.17) справедлива при условии $R \ll \lambda_{\text {нд }}$, где $\lambda_{\text {нд }}$ – длина пробега относительного ядерного столкновения. Это условие не выполняется для адронов высоких әџергий.