1. Понятие четности возникает в связи с операцией инверсии. При инверсии относительно начала коордипат знаки декартовых координат всех частиц системы меняются на противоположиые, т. е. $x, y, z$ переходнт в $-x,-y,-z$ или $r$ заменяегя на – $\boldsymbol{r}$. В дальнейшем для сокращения записи под $\boldsymbol{r}$ обычио будет пониматься радиус-вектор не одной частицы, а совокупность радиус-векторов частиц всей системы. Если же в рассуждешии требуется явно указать, что частиц несколько, то мы (такне для сокращения записи) ограничимся случаем двух тастиц, пумеруя их индексами 1 и 2 . Это не вводит никаких ограничений. Onератор инверсии обозначается через $\widehat{P}$. Таким образом, по определению $\widehat{P} \psi(\boldsymbol{r})=\psi(-\boldsymbol{r})$. Операдию инверсии $r \rightarrow-r$ можно представить как зеркальное отражение относительно плоскости, проходящей через начало координат, с последующим поворотом на $180^{\circ}$ вокруг оси, перпендикулярной к этой плоскости.

Найдем прежде всего собственные зиачения $P$ оператора $\widehat{P}$. Они определяются уравнением
\[
\ddot{P}_{\psi}(\boldsymbol{r})=P \psi(\boldsymbol{r}) .
\]

Повторпое применепие оператора $\hat{P}$ дает
\[
\widehat{P}^{2} \psi(\boldsymbol{r})=P \widehat{P} \psi(\boldsymbol{r})=P^{2} \psi(\boldsymbol{r}) .
\]

Ho оператор $\widehat{p}^{2}$ есть тождественное преобразовапие, при котором шичего не меняется. Значит, $\psi(r)=p^{2} \psi(r)$, а потому $P^{2}=1$, $P= \pm 1$. Таким образом, собственные значения оператора $\widehat{p}$ будут +1 и -1. В соответствии с этим собственные функции оператора $\bar{P}$ разделяются на четные и нечетные. Четная фувкция определяется соотиошением $\psi(r)=\psi(-r)$, а нечетная – соотионением $\psi(\boldsymbol{r})=-\psi(-\boldsymbol{r})$. Число $P$ прияято называть четностью фуикции $\psi(r)$ или состояния системы. Для четных функций $P=+1$, для нечетных $P=-1$.
2. В уравнении Шредипгера
\[
i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\widehat{\mathscr{H}} \Psi
\]

гамильтониан $\widehat{\mathscr{H}}$ оцределяется выражением
\[
\widehat{\mathscr{H}}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m_{1}}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z_{1}^{2}}\right)+\frac{\hbar^{2}}{2 m_{2}}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z_{2}^{2}}\right)+U\left(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}\right) .
\]

Первые два слагаемых представляют оператор кинетической эпергии и не меняются при инверсии, если начало координат поместить в центре масс системы, что и будет делаться в дальнейшем. В этом случае оператор кинетической энергии не меняется при инверсии относительно начала координат, поскольку дифференциалы координат в него входят во второй степени. Ді 1956 г. считали, что оператор потенциальной энергии $U\left(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}\right)$ при инверсии также никогда не меняется. Действительно, при инверсии не изменяется относительное расположение любой пары частиц системы. Меняется на прямо противоположное только направлешие соединяющей их прямой. А от этого, как думали, потенциальная функция системы $U\left(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}\right)$ не претерпевает никаких изменений. После открытия в 1956 г. несохранения четности в слабых взаимодействиях было установлено, что әто заключение справедливо для электромагнитных и сильных взаимодействий и нарушается для слабых. Таким образом, при сильных и әлектромагнитных взаимодействиях гамильтониан $\widehat{\mathscr{B}}$ ше меняется при инверсии. В этом случае имеет место закои сохранения четности волновой функции. Это приближенный закон, справедливый с точностью до слабых взаимодействий.

Закоп сохранения четности является следствием уравнепия IIредингера (69.1). Действительно, допустим, что в момент времени $t=0$ волновая функци $\Psi=\Psi_{0}(r)$ либо четная, либо неметная. Для приращения $d \Psi$ за время $d t$ уравнение (69.1) дает
\[
d \Psi=\frac{\partial \Psi}{\partial t} d t=\frac{d t}{i \hbar} \widehat{\mathscr{C}} \Psi(r),
\]

пли с точпостью до членов более высокого порядка малости
\[
d \Psi=\frac{d t}{i \hbar} \widehat{\mathscr{C}} \Psi_{0}(\boldsymbol{r}) .
\]

Но гамильтопан $\widehat{C \mathscr{C}}$ не меняется при инверсии координат. Значит, функция $\widehat{\mathscr{H}} \Psi_{0}(r)$, а с вей и фупкция $\Psi_{d t}(r) \equiv \Psi_{0}(r)+$ $+d \Psi$ обладают той же четностью, что и начальная функция $\Psi_{0}(r)$. Применяя этот процесс дальше, докажем, что это справедливо и для функции $\Psi_{t}(\boldsymbol{r})$ чри любом конечном значении времени $t$.

Доказательство предполагало, что волновая функция $\Psi(\boldsymbol{r})$ либо четная, либо нечетная. Определенной четностью волновая функция обладает только для певырожденного состояния системы (например, для основного состояния ядра), ошисываемого единственной собственной волновой функцией (разумеется, определенной с точностью до песущественного фазового множителя $\left.e^{i 6}\right)$. Во всяком вырожденном состоянии волновая функция в общем случае может быть представлена линейной суперпозицпей двух функций, из которых одна четная, а другая нететпая. В таком случае закоп сохранения четности означает сохранение относительной доли обоих состояний с определепной четностью. Доказательство, нриведенное выше, без всяких затруднений обобщается и на отот случай.

Заметим, что это доказательство осповано на уравнении (69.2), а оно не учитывает возможности рождешия частиц. Более общее рассмотрение показывает, что с точностью до слабы взаимодействий четность волновой функции системы не меняется при любых процессах (включая рождешие и поглощение частиц).
3. Из приведенного нами доказательства видно, что закон сохранения четности есть свойство гамильтониана $\mathscr{\mathscr { C }}$, т. е. свойство самой системы, а пе функции $\psi$, характеризующей ее состояние. Поэтому-то из закона сохранения четности, как из всякого закона, можно вывести определеншые физические следствия, доступные экспериментальной проверке. В качесгь цримера в конце этого параграфа мы прпводим вывод шравила отб̄ра при излучении по орбитальному квантовому числу $l$.
4. Важное значение пмеет задача определепи четности волновой функции системы, состоящей из нескольких составных частей. Донустим для простоты, что система состоит из двух частей $A$ и $B$. Если можно пренебречь взаимодействием межгу ними, то волновая функция сложной системы может быть представлена в виде
\[
\Psi_{A+B}=\Psi_{A} \Psi_{B} \Psi_{l_{A}} \Psi_{l_{B}},
\]

где $\Psi_{A}$ и $\Psi_{B}$ – волновые функции, описывающие внутренние движения подсистем относительно их центров масс, а $\Psi_{l_{A}}$ и $\Psi_{l_{B}}$ – движения тех же центров масс отпосительно центра масс всей сложной системы. Испытано па четпость полной волновой функции $\Psi_{A+B}$ сводится к последовательному повторению того же испытания для каждой из четырех функций $\Psi_{A}, \Psi_{B}, \Psi_{l_{A}}$, $\Psi_{l_{B}}$ в отдельности. Поэтому для четносты всей системы можно написать
\[
P_{A+B}=P_{A} P_{B} P_{l_{A}} P_{l_{B}}
\]

Чтобы определить четность сложной системы по четностям составляющих ее подсистем, падо знать явный вид волновых функций $\Psi_{l_{A}}$ и $\Psi_{l_{B}}$ для относительного движепия центров әтих подсистем. Эта задача сводится к нахожденио волновой фуикции частицы при ее движении относительно неподвижного ценгра. Она решается в квантовой механике. Мы пе предполагаем ее решать, а лишь заимствуем пеобходимые результаты из квантовой механики. В сферической системе координат положение частицы относительно неподвижного центра задается расстоянием до него $r$, полярным углом $\vartheta$ и азимутальным углом $\varphi$. Волновая функция частицы в такой системе имеет вид
\[
\Psi_{l}=R(r) P_{l}^{m}(\cos \vartheta) e^{i m \varphi},
\]

где $l$ и $m$ – квантовые числа орбитального момента и его проекции на полярную ось, а $P_{l}^{m}(\cos \vartheta)$ – так пазываемые $n$ рисоединенные полиномы Лежандра (1752 – 1833).

Явный вид функции $R(r)$, а также присоединенных полипомов Лежандра в рассматриваемой пами задаче не требуется. Достаточно указать, что при замене $\cos \vartheta$ на $-\cos \vartheta$ полином $P_{l}^{m}(\cos \vartheta)$ приобретает множитель $(-1)^{t-m}$. При инверсии значение радиуса $r$ не меняется, а углы $\vartheta$ и $\varphi$ заменяются соответственно на $\pi-\vartheta$ и $\varphi+\pi$, так что
\[
\cos \vartheta \rightarrow \cos (\pi-\vartheta)=-\cos \vartheta, \quad e^{i m \varphi} \rightarrow e^{i m(\varphi+\pi)}=(-1)^{m} e^{i m \varphi} .
\]

Поэтому
\[
\Psi_{l} \rightarrow R(r)(-1)^{l-m} P_{l}^{m}(\cos \vartheta) \cdot(-1)^{m} e^{i m \varphi}=(-1)^{l} \Psi_{l}
\]

Таким образом, четность волновой функции отпосительного движения равна $P_{t}=(-1)^{l}$, а четность системы $A+B$
\[
P_{A+B}=(-1)^{l}(-1)^{l_{B}} P_{A} P_{B},
\]

если моменты имеют определенные значения. Эта формула триниально обобщается на случай сложной системы, состоящей из произвольного числа частей.
5. Части $A$ и $B$, из которых состоит система, могут быть и элементарными частицами с отличной от нуля массой покоя. Как показывает опыт, каждая элементарная частица с точностью до слабых взаимодействий характеризуется определенной четностью, не связанной с ее двияением как целого. Такая четность называется внутренией четностью частицы. Впутренняя четность – такое же неотъемлемое свойство частицы, как и ее спин. Частицы, у которых внутренняя четность равна +1 , называются четными, а частицы с внутренней четностью -1иечетиыми. Правило (69.5), если пренебречь зффектами слабых взаимодействий, распространяется и на системы, состоящие из элементарных частиц (с отличными от нуля массами покоя), по с учетом их внутренних четностей. Внутренние четности протона, нейтрона и электрона могут быть заданы произвольно. Это соглашение и применяется в дальнейшем. Обычно они принимаются равными +1. После этого внутренние четности атома, ядра и большинства элементарных частиц однозначно онределятся из экспериментальных данных на основе закона сохрапеиия четности.

Атомное ядро является сложной системой, состоящей из движущихся внутри него нуклонов. Если взаимодействием между ними можно пренебречь, то четность ядра будет (-1) ${ }^{\Sigma l_{i}}$, где $l_{i}$ – орбитальное квантовое число, определяющее характер движения $i$-го нуклона. Состояние нуклона в ядре будет четным, если его орбитальное квантовое число $l$ четное, и печетным в противоположном случае. Так, протоны и нейтроны в $s$-состолнии являются четными нуклонами, а в $p$-состоянии – нечетшыми. В качестве примера онределим четность ядра ${ }_{3}^{7} \mathrm{Li}$. В модели ядерных оболочек (см. гл. X) показывается, что это ядро в основном состоянии состоит пз четырех $s$-нуклонов и трех $p$-нуклонов. Поэтому четность такого ядра равна $(-1)^{3}=-1$. Напротив, $\alpha$-частица состоит из четырех пуклонов в $s$-состоянии ее внутренняя четность равна +1. Опыт показывает, что при эшергиях падающего протона, меньших примерно $0,5 \mathrm{M
i B}$, ядерная реакция
\[
\mathrm{p}+{ }_{3}^{7} \mathrm{Li} \rightarrow \alpha+\alpha+17,1 \mathrm{M} \text { эB, }
\]

несмотря на ее высокую экзотермичность, подавлена (т. е. идет с малой вероятностью). Дело в том, что четность двух $\alpha$-частиц равна +1. Такова же четность протона при указанпых энергиях. Четпость же ядра ${ }_{3}^{7} \mathrm{Li}$ равна -1 , так что в рассматриваемой реакции закон сохранения четности парушается.

Основное состояние четно-четных ядер имеет положительую четность. Основные состояния других ядер могут быть как четными, так и нечетными. Ядра в возбужденных состояниях могут иметь различную четность, не обязательно совпадающую с четностью основного состояния. На схемах ядерных уровней обычно указываются спин и четность каждого уровня. Спии обозначается числом, а четность-знаком «十» или «-». Ндпример, символ $2^{+}$означает четшый уровень со спином 2 , а символ $(1 / 2)^{-}$- нечетный уровень со спином $1 / 2$. Совокупность значений спина и четности называется характером уровия ядра.
6. Все изложенное относится к частицам с непулевой массой покоя. Для фотонов, как и для всяких релятивистских частиц с нулевой массой покоя, понятия состояпия с определепшы значением орбитального момента $l$ не суцествует. Вместо этого вводится аналог этого понятия, называемый мультиполел. Мультиполь электромагнитного поля – это состояние свободно распространяюцегося поля, обладающего определенным полным моментом $L$ и определенной четностыо $P$. Для свободного фотона возможны состояпия с полшым моментом $L=1,2,3, \ldots$ Частиый случай $L=1$ уже был подроб̈о рассмотрен в § 37.

Состолния с нулевым полным моментом $L$ для фотона не существует. Состояние фотона с моментом $L$ и четностью $(-1)^{L}$ называется электрическим $2^{L}$-полем, а состояние с таким же моментом и четностью (-1) ${ }^{L+1}$ – магнитным $2^{L}$-полем. Состояние с $L=1$ называется дипольным, с $L=2$ – квадрупольным, с $L=$ $=3$ – октупольным и т. д. В соответствии с этим электрический диполь и магіитный квадруполь нечетны, а магнитный диполь и электрический квадруполь – четны. Для обозначения квапта электрического мультиполя ставится буква $E$, которой приписывается значение полного момента $L$. В случае кванта магнитиого мультиполя буква $E$ заменяется на $M$. Например, электичесиий дипольный квант обозначается через $E 1$, магнитный дипольный квант – через $M 1$, электрический квадрупольный – через $E 2$ и т. д.

Мультипольная терминология основана на классическом попятии мультиполя (см. следующий параграф). Так, при колебаниях әлектрического динольного момента возникает электромагнитное излучение, которое с квантовой точки зрения состоит из $E 1$ фотонов.

Если приведенная длина фотона $\chi \equiv \lambda / 2 \pi$ много больше размеров $R$ физической системы, с которой он взаимодействует ( $R \ll \pi$ ), то в этом взаимодействии участвуют преимущественно мультиполи наинизшего порядка, допускаемые законами сохрапения момента и четности. При прочих равных условиях отношение вероятности испускания (или поглощения) электрического квантового мультиполя $2^{L}$ к соответствующей вероятности испускания (или поглощения) кванта $E 1$ порядка ( $R / \hbar)^{2(L-1)}$. В случае испускания (поглощения) магнитпого кванта той же мультипольности $2^{L}$ то же отношение – порядка $(R / \pi)^{2 L}$, т. е. в $(\AA / R)^{2}$ раз меньше. Поэтому, например, вероятности испускания кваптов $E 2$ и $M 1$ обычно близки между собой. Это связано с тем, что по порядку величины отношение $(R / \lambda)^{2}$ равно $(v / c)^{2}$, где $v$-скорость заряженной частицы в системе (например, протона в ядре), а отношение напряженностей электрического и магнитного полей, генерируемых движущимся зарядом,- порядka $v / c$.

Изложепное в этом пункте в равной степени применимо к мультиполям молекул, атомов, ядер и элементарных частиц. В качестве примера рассмотрим правило отбора (40.1). Опо относится к испусканию (или поглощению) при наличии в атоме одного внешнего (валентного) электрона. Испускаемый электрический дипольный фотон, как мы видели,– нечетный. Четность атома в результате испускания такого фотона меняется на мижитель (-1) ${ }^{\Delta l}$, а всей системы «атом – испущенный фотон» – на мноліктель $(-1)^{\Delta t \pm 1}$. Закон сохранения четности при дипольном излучении допускает только значения $\Delta l= \pm 1$. Зпачение $\Delta l=$ $=0$ (хотя и допускаемое законом сохранения момента) запрещено законом сохранения четности. Следует, однако, еще раз подчеркнуть, что этот запрет относится $\kappa$ электрическому дипольиому испускаıию. Испускание электрических квадрупольных и магнитных дипольных квантов возможно и приводит к появлению в спектре так называемых запрещенных линий. Но вероятность электрического квадрупольного и магнитного дипольного испускания примерно в $(\chi / R)^{2}$ меньше, чем вероятность электрического дипольного испускания. Она проявляется существешно только тогда, когда последнее излучение по каким-либо причинам запрещено.

За счет слабых взаимодействий волновая функция системы всегда содержит малую примесь состояния с противоположной четностью. Поэтому если, например, разрешен по четности и моменту $M 1$-переход, то он будет сопровождаться слабым $E 1$ переходом. Интерференция $M 1+E 1$ приводит к циркулярной поляризации квантов или к асимметрии их вылета по спину іг против спина.