1. О размерах ядра нельзя говорнть с тої же определепностью и одиозначностью, как это делается в случае макроскопических тел. Наибольшей определенностью характеризуются размеры тяжелых ядер.

Различные методы определения размеров ядер можно разделить на две группы. В одних методах регистрируется иаличие ядерного вещества-в них используются явления, обусловленпые ядерными силами (или так называемыми сильными взапмодействиями). В других используются электромагнитные взаимоцействия и исследуется распределение электрического заряда в ядре. Обе группы методов приводят к несколько разлитным результатам. В точных исследованиях необходимо указывать, в каком смысле употребляется понятие размера ядра и какимп методами были определены эти размеры. Однако различия между результатами измерений размеров ядра разными методами нө так велики. Когда не требуется особая точность, можно не вданаться в подробности и говорить о «размерах ядра» вообще, не уточняя, о какой величине идет речь.

Если ядро считать сферическим, то все методы определения сго радиуса приводят к формуле
\[
R=r_{0} A^{1 / 3} .
\]

Для постоянної $r_{0}$ для тяжелых ядер различными методами получаются несколько отличающиеся результаты, но все они лежат в пределах
\[
r_{0}=(1,2-1,5) \cdot 10^{-13} \text { см. }
\]

Заметим, что за единицу расстояний в ядерной физике и фивике элементарных частиц удобно припимать ферми, равный $10^{-13}$ см, а за единицу әффективного сечешия барн $\left(10^{-24} \mathrm{~cm}^{2}\right)$.

Характерная скорость $\alpha$-частиц, испускаемых радиоактивными ядрами, порядка $10^{9} \mathrm{cм} / \mathrm{c}$. Время, в течение которого $\alpha$-тастица пролетает диаметр ядра, порядка $T_{\text {яд }} \approx 10^{-13}: 10^{9} \approx 10^{-22}$ с. Время порядка $10^{-23}-10^{-24}$ с принято называть ядерным временем.

Ниже рассматриваются некоторые методы определения $R$ и $r_{0}$.
2. Верхпий предел радиуса ядра можно грубо определить уже из опытов Резерфорда по рассеянию $\alpha$-частиц на атомных ядрах (см. § 9). Пусть $p$ – импульс $\alpha$-частицы, $m$ – ее масса, а $\mathscr{E}_{\text {кин }}=p^{2} / 2 m$ – кипетическая энергия. Так каћ при столкновении импульс сохраняется, а ядро до столкновения можно считать неподвижным, то кинетическая энергия после столкновения, связапшая с движением цептра масс системы, будет $p^{2} / 2(M+m)$, где $M$ – масса ядра. Для тяжелых ядер әтой величиной можно пренебречь, т. е. считать, что при упругом столкновении с ядром кинетическая энергия $\alpha$-частицы не изменяется. В таком случае расстояние $R$ между центрами ядра и частицы, соответствующе максимальному сближению $\alpha$-частицы с ядром, определится из формулы $\mathscr{E}_{\text {кин }}=2 Z e^{2} / R$. При численных расчетах величину $\mathscr{E}_{\text {кин }}$ удобпо представить в виде $\mathscr{E}_{\text {кин }}=2 e V$, где $2 e$-заряд $\alpha$-частиды, а $V$-«ускоряющий потенциал», соответствующий энергии $\mathscr{E}_{\text {кин }}$. Тогда $R=Z e / V$. Для золота $Z=79$. «Ускоряющий потенциал» $\alpha$-частицы $V=5 \mathrm{MB}=(5 / 3) \cdot 10^{4}$ СГСЭ. В этом случае
\[
R=\frac{79 \cdot 4,8 \cdot 10^{-10}}{(5 / 3) \cdot 10^{4}}=2,3 \cdot 10^{-12} \mathrm{~cm} .
\]

Поскольку для энергии $\mathscr{E}_{\text {квн }}=5 \mathrm{MэB}$ (и даже несколько большей) результаты опытов хорошо согласуются с теоретической формулой Резерфорда, отсюда следует, во-первых, что сумма радпусов ядра и $\alpha$-тастицы во всяком случае меньше $2 \cdot 10^{-12}$ см, во-вторых, что на расстояниях $2 \cdot 10^{-12}$ см взаимодействие между ф-частицей п ядром тисто әлектрическое и подчиняется закону Кулона.
3. Радиус ядра можно оценить с помощью полуэмпирической формулы Вейцзеккера (64.6). Третий член этой формулы $-C_{\text {кул }} Z^{2} A^{-1 / 3}$ связан с пулоновским отталкиванием протонов ядра. Если предположить, что электрический заряд ядра равномерпо распределен по его объему, то электрическая энергия ядра будет $(3 / 5) Z^{2} e^{2} / R$. Эта величина должна быть равна $C_{\text {кул }} Z^{2} A^{-1 / 3}$. Постоянную $C_{\text {кул }}$ удобно представить в виде $C_{\text {кул }}=e V_{\text {кул }}$, где согласно (64.7) $V_{\text {кул }}=0,71 \mathrm{MB}=2370$ СГСЭ. Это дает
\[
R=\frac{3}{5} \frac{e A^{1 / 3}}{V_{\mathrm{ку}}}=r_{0} A^{1 / 3}
\]

гдо
\[
r_{0}=\frac{3}{5} \frac{e}{V_{\mathrm{tг} \pi}}=\frac{3}{5} \frac{4,8 \cdot 10^{-10}}{2370}=1,22 \cdot 10^{-13} \mathrm{~cm} .
\]

Очевидно, этим методом измеряется «әлектрический радиус» ядра, т. е. радиус, обусловленный взаимодействием әлектрических зарядов. Надо заметить, что непрерывность и равномерность распределения әлектрического заряда в ядре, использованпую в приведенной оценке, следует рассматривать не как предноложение, а как точное определение того, что следует попимать под «әлектрическим радиусом» ядра.

Особым изяществом рассматриваемый метод отличается в применешии к двум зеркальным ядрам, из которых одпо, испытав $\beta$-превращение, переходит в другое. Допустим, например, что это есть $\beta^{+}$-превращение (позитронный распад). Пусть $Z$ и $A-Z$ числа протонов и нейтронов исходного ядра. Тогда после $\beta^{+}$-превращения оно переходит в зеркальное ядро с $Z-1$ протонами и $A-Z+1=Z$ нейтронами. Из последнего соотношения для исходного ядра получается $A-2 Z=-1$, а для зеркального ядра $A-2(Z-1)=+1$. Поэтому для обоих зеркальных ядер четвертый член в формуле Вейцзеккера (64.6) будет одним и тем же. Последнее слагаемое в той же формуле в обоих случаях равно пулю, так как при $\beta$-превращении массовое число $A$ не меняется, а оно, как мы видели, нечетное. Таким образом, әнергии связи обоих зеркальных ядер отличаются только третьим слагаемым. Поэтому разность эпергий связи ковечного и исходпого ядра будет
\[
\begin{aligned}
\Delta \mathscr{E}_{\mathrm{cв}}=-C_{\mathrm{ку}}(Z-1)^{2} A^{-1 / 3}+C_{\mathrm{кул}} Z^{2} A^{-1 / 3}=C_{\mathrm{кул}} A^{-1 / 3}(2 Z-1) & = \\
& =C_{\text {куд }} A^{2 / 3} .
\end{aligned}
\]

Измерив $\Delta \mathscr{E}_{\text {св }}$ п зиая $A$, можно найти $C_{\text {нул }}$, а затем вышеописанпым способом и радиус ядра $R$. Разумеется, приведенное рассуждение применимо и к зеркальным ядрам, одно из которых испытывает $\beta^{-}$-распад (электронный распад).
4. Размеры атомных ядер можно исследовать, изучая рассеяпие на ядрах нейтронов, әлектронов и других әлементарных частид. Для достаточно ваметного рассеяния необходимо, чтобы длина дебройлевской волны $\lambda$ рассеиваемой частицы была того же порядка или мевьше, что и диаметр ядра. Выразим әто условие через эпергию частицы. Исходной является формула $\lambda=$ $=h / p$. Будем считать нейтрон нерелятивистским и воспользуемся формулой $\mathscr{E}_{\text {кин }}=p^{2} / 2 m$. Из вее в комбипации с предыдущей формулой получается
\[
\mathscr{E}_{\text {нUH }}=\frac{h^{2}}{2 m \hat{\lambda}^{2}}=\frac{(h c)^{2}}{2\left(m c^{2}\right) \lambda^{2}} .
\]

Подставив сюда для нейтрова $m c^{2}=939,6 \mathrm{M}$, а также $h c=$ $=1,2399 \cdot 10^{-10} \mathrm{MəB} \cdot$ см, получим
\[
\mathscr{E}_{\text {кин }}=\frac{8.18}{\hat{\lambda}^{2}} \cdot 10^{-24} \mathrm{MəB}
\]

Для ультрарелятивистских частиц, к которым относятся быстрые электропы, $\mathscr{E} \approx \mathscr{E}_{\text {кин }}=h v$, т. е.
\[
\mathscr{E}_{\text {кин }}=\frac{h c}{\lambda}=\frac{1,2399}{\lambda_{\text {см }}} \cdot 10^{-10} \mathrm{MəB} .
\]

Если в качестве $\lambda$ взять $2 \cdot 10^{-12} \mathrm{~cm}$, то получится для нейтропа $\mathscr{E}_{\text {кин }} \approx 2 \mathrm{M}$ эВ, а для ультрарелятивистского әлектрона $\mathscr{E}_{\text {квн }} \approx$ $\approx 60$ МэВ. Таким образом, кинетическая энергия нейтронов должпа превосходить $5 \mathrm{MэB}$, а электронов – 100 МәВ.
5. Количественное описание производится наглядно с помощью так называемого әффективного сечения ядра. Напомним это понятие. Эффективное сечение вводится, в частности, для характеристики ослабления параллельного пучка частиц в результате того или иного процесса. Говорят, папример, об эффективном сечении упругого или неупругого рассеяния электрона па атоме, о полном сечении рассеяния электрона на атоме и т. д. Сейчас нас пнтересует полное ослабление параллельного пучка нейтронов, әлектронов и других частиц в результате их рассеяния на атомных ядрах. Действие ядра наглядпо можно описать так, как если бы оно представляло собой непроницаемую площадку размером $\sigma$, перпендикулярную к падающему пучку, которая выводит из пучка падающие на пее частицы. Площадка $\sigma$ и пазывается әффективным сечением (или просто сечением) ядра. Рассмотрим плоскопараллельный слой толщиной $d x$ и площадью $S$, перпендикулярпый к падающему пучу частиц, равномерно заполпенный рассеивающими ядрами. В таком слое содержится $S n d x$ ядер и связанных с ними площадок $\sigma$, где $n$ – число ядер в едипице объема. Общая площадь таких площадок равна $\operatorname{Sn\sigma dx}$, причем из-за малости толщины $d x$ площадки можно считать неперекрывающимися. Относительная доля частиц – $d N / N$, выводимая из пучка при прохождении рассматриваемого слоя, будет $S n \sigma d x / S=n \sigma d x$. Таким образом,
\[
\frac{d N}{N}=-n \sigma d x_{r}
\]

и, следовательш,
\[
N=N_{0} e^{-n \sigma x} .
\]

Измеряя ослабление интенсивности потока частиц $N$ при рассеянии на ядрах, монио найти эффективное сечение ядра $\sigma$.
6. Каю же связано полное эффективное сечение $\sigma$ с размерами ядра в случае падения на него, например, пучка нейтронов? Это, конечно, зависнт от эшергии нейтронов и от строения ядра. Простейшей является модель непрозрачного ядра. Для ее применимости необходимо, чтобы энергия нейтронов была нө особенно велика. В противном случае (например, при әнергиях, больших 100 МэВ) ядро, по крайней мере частичпо, стаповится прозрачшым, поглощая не все падающие на него нейтроны. Однако необходимо наложить на эиергию пейтронов еще и противоположшое требовапие. Она должна быть достаточно велика, чтобы длина дебройлевской волны пейтрона была заметно меньше диаметра ядра $2 R$. Обоим условиям удовлетворяют быстрые нейтроны с энергией 20 МәВ. Ядро будет поглощать и рассепвать дебройлевские волны так, как черный әкран. Для коротких длин воли вблизи ядра применима геометрическая оптика, а потому сечепие поглощепия будет равпо геометрическому сечешию ядра $\pi R^{2}$. Но нейтроны выбывают из пучка не только из-за поглощения, но и из-за дифракционного расселния в стороны. В случае коротких длин волн, указанных выше, дифракция будет фраунгоферовой, так как условие ее применимости
\[
x \gg \frac{(2 R)^{2}}{\lambda} \approx \frac{\left(2 \cdot 10^{-12}\right)^{2}}{0,5 \cdot 10^{-12}} \approx 8 \cdot 10^{-12} \mathrm{~cm}
\]

где $x$ – расстояние от ядра до точки наблюдения, для быстрых нейтропов, безусловно, вынолняется. Но в случае фраунгоферовой дифрагции черный экрап рассеивает столько же нейтронов, сколько и поглоцает. Это утверждение доказывается в точности так же, как и апалогичное утверждение в оптике (см. задачу к § 41 т. IV). Итак, для полного сечения ядра в рассматриваемой модели монно написать
\[
\sigma=2 \pi R^{2} .
\]

Измерив $\sigma$, можно по этой формуле вычислить $R$. Опыты с быстрыми нейтронами ( $\mathscr{E}_{n} \approx 15-25$ МэВ) привели $к$ результату $r_{0}=1,4 \cdot 10^{-13} \mathrm{cм}$, а с еще более быстрыми ( $\mathscr{E}_{\mathrm{n}} \approx 100$ МәВ и $\mathscr{E}_{\mathrm{n}} \approx 1000 \mathrm{M
i B)}$ дали $r_{0}=1,37 \cdot 10^{-13}$ см и $r_{0}=1,28 \cdot 10^{-13}$ см. Это указывает на частичную прозрачность ядер для очень быстрых нейтронов.
7. Наиболее точные результаты по измерению размеров ядер получаются при рассеянии быстрых әлектронов на ядрах. Как показано в пункте 4, при энергии электрошов порядка 100 МәВ длина дебройлевской волны становится сравнимой с размерами ядер. ІІри длинах волн такого порядка должна отчетливо проявиться дифракция электронов на ядрах атомов. По угловому распределению быстрых электронов при упругом рассеянии их на ядрах можно судить о размерах ядер. В первых опытах использовались электроны, ускоренные синхротроном до нескольких десятков мегаәлектронвольт. В последующих более точных опытах Хофштадтера (р. 1915) применялись электроны с әнергиями до сотен мегаәлектронвольт. В предположении, что әлектрический заряд равномерно распределен по ядру, обработка результатов измерениї дала $r_{0}=(1,2-1,3) \cdot 10^{-13}$ см.

Высокая точность опытов по рассеянию быстрых электронов на ядрах ( $\mathscr{E}>500 \mathrm{M} B$ ) позволила установить, что электрический заряд неравномерно распределен по объему ядра. Результаты опытов лучше всего согласуются с предіоложением, что плотность электрического заряда максимальна в центре ядра і для тяжелых ядер монотонно убывает $к$ периферии согласно формуле
\[
\rho=\frac{\rho_{0}}{1+\exp \left[\left(r-R_{0}\right) / \delta\right]},
\]

где $R_{0}$ – расстояние от центра ядра, на котором плотность убывает в два раза по сравнению с $\rho_{0}$, а величина $\delta \approx 0,55 \cdot 10^{-13} \mathrm{cм}$, т. е. одинакова для всех ядер. Для всех исследованных ядер $R_{0}=1,08 \cdot 10^{-13} A^{1 / 3}$ см. Отсюда следует, что в центре ядра $\rho_{0}$ практически совпадает с $\rho$.
8. Как уже указывалось во введении ( $\S 63$ ), в 1937 г. в космических лучах были открыты мюоны – нестабильные частицы с временем жизни $2,2 \cdot 10^{-6}$ с. Опи могут быть положителыным и отрицательными. Свойства отрицательного мюона аналогичны свойствам электрона. Эти частицы отличаются одна от другої только массої: $m_{\mu} \approx 207 m_{e}$. Замедляясь в веществе до определепной скорости, отрицательный мюон может захватываться атомом, замещая один из электронов атомной оболочки. Образовавпаяся система называется мезоатомом. Так как масса мюона в 207 раз больше массь әлектрона, то боровский радиус цля него в такое же число раз меньше. Он равен $r_{\mu в}=\hbar^{2} / Z m_{\mu} e^{2}$, где $m_{\mu}$ – масса мюона. Таким образом, мюон может очень близко подходить к атомному ядру. Уже при $Z \approx 30$ боровская орбита мюона лежит внутри ядра. Для свинца ( $Z=82$ ), например, эта формула дает $r_{\mu в}=3,11 \cdot 10^{-13}$ см. При переходе мюона с одного энергетического уровня на другой испускаются жесткие рентгеновские лучп. Их энергию можно измерить и рассчитать теоретически. Результаты вычпслений сильно зависят от предположений относительно размеров ялер и поэтому могут служить для определения последних. Особенно точные результаты получаются для тяжелых ядер, поскольку в этих случаях мюон может очень близко подходить к ядрv. Например, для свинца получается $r_{0}=1,17 \times$ $\times 10^{-13} \mathrm{~cm}$, а $R\left({ }^{207} \mathrm{~Pb}\right)=1,17 \cdot 10^{-13} \cdot 207^{1 / 3}=6,9 \cdot 10^{-13} \mathrm{~cm}$.
9. Радиусы $\alpha$-радиоактивных ядер могут быть найдены по времени их жизни относительно $\alpha$-распада. Об этом методе сказано в § 73 (пункт 11).
10. До открытия нейтрона общепринятой считалась электронно-протонная модель ядра, согласно которой ядро состоит из $A$ протонов и $C$ әлектронов, так что зарядовое число равно $Z=$ $=A-C$. Малые размеры ядер являются сильной аргументацией против такой модели. Действительно, возьмем, например, ядро с радиусом $R=3 \cdot 10^{-13}$ см, т. е. с диаметром $2 R=6 \cdot 10^{-13} \mathrm{cм}$. Если бы частида (протон. нейтрон или электрон) находилась внутри лдра, то ее импульс $p$ определялся бы там оценочной формулой
\[
p=h / 2 R \approx 1,1 \cdot 10^{-14} \mathrm{\Gamma} \cdot \mathrm{cм} / \mathrm{c},
\]

а энергия электрона по релятивистской формуле $\mathscr{E}=p c$ была бы равна $3,3 \cdot 10^{-4}$ эрг $\approx 200$ МәВ. Такого же порядка были бы и эиергии электропов внутри других ядер. Среди искусственно получаемых ядер встречаются $\beta$-активные ядра всех атомных чисел (за исключением протона). Маловероятно, что энергия $\beta$-электрона, вылетевшего из ядра, существенно отличалась бы от его энергии внутри ядра. При $\beta$-распаде не наблюдаются электроны с большими энергиями (порядка $100 \mathrm{M}$ эВ). Это противоречит протонно-электропной модели ядра. Электроны, получающиеся при $\beta$-распаде, не содержатся в исходном ядре, а образуются в результате этого процесса.

Совсем ипаче обстоит дело с протопами и нейтронами. Эпергпю каждой из таких частпц можно оценить по нерелятивистской формуле $\mathscr{E}=p^{2} / 2 m$, где $m$ – масса протона или нейтрона. Подстанөвка числовых значениї дает $\mathscr{E} \approx 10^{-5}$ эрг $\approx 6$ МәВ. Эторазумный результат, так как средняя әнергия связи в ядре на один нуклон составляет около 8 МэВ. Таким образом, протоны и нейтроны могут содержаться и действительно содержатся в ядре.

Приведепное здесь возражение против нахождепия электронов внутри ядра неприменимо к частидам, масса которых составляет несколько десятых масс нуклона, например ₹ $\pi$-мезонам или кваркам.

Современные эксперименты по глубоко неупругому рассеянию мюонов на ядрах (т. е. рассеянию с большим изменением импульса мюона и рождением вторичшх частиц) свидетельствуют о том, что в ядре могут содержаться кварковые ассоциации, богее тяжелые, чем нуклоны.