1. Звезды излучают эпергию за счет происходящих внутри иाх термоядерных реакций. Хотя әта мысль в общей форме давно высказывалась пекоторыми утеными, но основанная на ней подробпая колитественная теория источпиков звездной эпергии была развита Бете (р. 1906) только в 1939 г.
llo современным представлениям звезды рождаются из иротяженных газово-пылевых комплексов, состоящих преимущественно из водорода. Из-за гравитационной неустойчивости газово-пылевой комплекс распадается на множество более мелих частей – облаков. Каждое из этих облаков еще пе является звездой. Но облако может превратиться в звезду, если масса его достаточно велика. Поэтому его называют протозвездой. В результате гравитационного сжатия протозвезда разогревается. Когда внутри протозвезды начинают происходить протоп-протонные термоядерные реакции и далыейшее гравитационное сжатие ее останавливается силами возросшего газово-кинетического давления, протозвезда и становится звездой.
2. Оценим среднюю температуру звезды к момепту ее образования из газово-пылевого облака. Очевидно, для этого достаточно знать среднюю кинетическую энергию теплового движения частиц звезды. Для простоты будем предполагать, что звезда состоит из водорода, который при высоких температурах в педрах звезды полностью ионизован, т. е. состоит из «голых» атомных ядер (протонов) и электронов. Энергию теплового двиякения эті частицы получают за счет гравитационной энергии, освобождающейся при сжатии звезды. Однако це вся освобождающаяся гравптациопная эшергия идет на пагревапие звезды. Зпачительная часть ее тратится па излучение. Поэтому мы воспользуемся не законом сохрапения эпергии, а классической теоремой вириала.

Теорема вириала относится к поведению мехапической системы частиц, совершающей финитное движение. Если $\boldsymbol{r}_{i}$ – радиус-вектор $i$-й частицы, $m_{i}$ – ее масса, а $\boldsymbol{F}_{i}$ – действующая на нее сила, то
\[
\frac{d}{d t}\left(m_{i} \boldsymbol{r}_{i} \dot{r}_{i}\right)=m_{i} \dot{r}_{i}^{2}+r_{i} m_{i} \ddot{r}_{i}=2 K_{i}+\boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{F}_{i} .
\]

Просуммируем это соотношение по всем частицам системы в обозначим через $K$ ее кинетическую энергию. Тогда
\[
\frac{d}{d t} \sum_{i} m_{i} \dot{r}_{i} \boldsymbol{r}_{i}=2 K+\sum_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}} .
\]

Усредпив это равепство по физически бесконечно большому промежутку времени $T$, получим
\[
\frac{1}{T}\left[\sum\left(m_{i} r_{i} \dot{r}_{i}\right)_{t=T}-\sum\left(m_{i} r_{i} \dot{r}_{i}\right)_{t=0}\right]=2 \bar{K}+\overline{\sum r_{i} F_{i v}}
\]

где черта означает усредпение по времени. При $T \rightarrow \infty$ ввиду ограниченности пространства, в котором двияется система, левая часть обращается в нуль и в результате получится
\[
2 \bar{K}+\overline{\sum \boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{F}_{i}}=0 .
\]

Это равенство и выражает теорему вириала (вириалом пазывается выражение (1/2) $\overline{\sum \boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{F}_{i}}$ ). Теорема вириала есть точпое следствие ньютоновской классической мехапики, если только под $F_{i}$ понимать полную силу, действующую на $i$-ю частицу. Усреднепие в теореме вириала понимается в смысле усреднения по времени, а в нашей задаче требуется усреднение по совокупности частиц. Одпако если внешиие условия в течение времепи $T$ не меняются, то средние значения в указанных двух смыслах совпадают между собой.

В нашей задаче теорему вириала следует, конечно, применять пе к протозвезде, а к образовавшейся из нее звезде. Протозвезда подвергается гравитационному скатию и, следовательно, находится в нестациопарном состоянии. Для нее не имеет смысла говорить о средних величинах, о которых идет речь в теореме вириала. Только тогда, когда гравитационное скатие будет остановлено возросшими силами газово-кинетического давления, т. е. когда протозвезда станет звездой, наступает стационарное состояние, в котором средние значения кинетической (тепловой) энергии беспорядочного движения частиц, нотенциальной эшергии их гравитационного притяжения и другие величины прннимают определенные значения.
3. Вычислим теперь вириал для звезды, состоящей из равного числа протонов и электронов. Между этими частицами действуют кулоновские электрические силы. Однако при вычислении вириала әти силы учитывать не надо, так как звезда в цеюом электрически нейтральна. Действительпо, рассмотрим какуюлибо пару частиц $i$ и $j$. В сумму $\sum_{i} r_{i} \boldsymbol{F}_{i}$ эта пара вносит слагаемое
\[
\boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{F}_{i}+\boldsymbol{r}_{j} \boldsymbol{F}_{j}=\left(\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}\right) \boldsymbol{F}_{i j}=\boldsymbol{r}_{i j} \boldsymbol{F}_{i j}
\]

где $\boldsymbol{F}_{i j}$ – сила, с которой частица $j$ действует на частицу $i$, a $r_{i j}$ – радиус-вектор, проведенный от частицы $j$ к тастице $i$. Ес.ти частицы одноименно заряжены, то $\boldsymbol{F}_{i j}$ будет силой отталкивания, а произведение $\boldsymbol{r}_{i j} \boldsymbol{F}_{i j}$ – величиной положительной. Напротив, для разноименно заряженных частиц произведение $\boldsymbol{r}_{i j} \boldsymbol{F}_{i j}$ отрицательно. Пусть теперь звезда содержит $n$ протонов и $n$ электронов. Число пар протонов и пар электрошов, очевидно, равно $n(n-1) / 2 \approx n^{2} / 2$ – всего $n^{2}$ пар одноименно заряженных частиц. Но таково же будет и число пар разноименно заряженных частиц. Поэтому полная сумма $\sum \boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{F}_{i}$, относяцаяся к силам кулоновского взаимодействия, в среднем обратится в нуль.

Не падо учитывать и магнитные силы, если таковые имеются. Сила $\boldsymbol{F}$, действующая па частицу в магпитпом поле $\boldsymbol{H}$, пропорциональна $[v \boldsymbol{H}]$, где $v$ – скорость тастицы. Для одпой и той же частицы опа с одинаковой вероятностью может быть направлена как в одну, так и в прямо противоположную сторопу. Поэтому среднее значение скалярного произведения ( $\boldsymbol{r}[\boldsymbol{v} \boldsymbol{H}]$ ) равно нулю.

Единствепными существепными силами, определяющими зпачение вириала звезды, являются силь тяготения. Это силы притяжения, а потому для них сумма $\sum \boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{F}_{i}$ будет отрицательна. Силы тяготения потенциальны. Сумма $\sum \boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{F}_{i}$ может быть выражена через потепциальную энергию гравитационного взаимодействия частиц системы $U=\sum U_{i j}$, где
\[
U_{i j}=-\frac{G}{2} \frac{m_{i} m_{j}}{r_{i j}} .
\]

Здесь $m_{i}$ и $m_{j}$ – массы частиц $i$ и $j$, а $r_{i j}$ – расстояпие менду ними. Выделим какие-либо две частицы с номерами $i$ и $j$. Они вносят в сумму $\sum \boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{F}_{i}$ слагаемее $\boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{F}_{i j}+\boldsymbol{r}_{j} \boldsymbol{F}_{j i v}$ где $\boldsymbol{F}_{i j}$ – сила, с которой частица $j$ действует на частицу $i$. В силу равенства действия и противодействия $\boldsymbol{F}_{j i}=-\boldsymbol{F}_{i j}$, так что рассматриваемое слагаемое можно перенисать в виде
\[
r_{i} \boldsymbol{F}_{i j}-\boldsymbol{r}_{j} \boldsymbol{F}_{i j}=\left(\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}\right) \boldsymbol{F}_{i j}=\boldsymbol{r}_{i j} \boldsymbol{F}_{i j} .
\]

Но, очевидно, $\boldsymbol{F}_{i j}=-\operatorname{grad}_{i} U_{i j}$, где градиент берется по көординатам частицы $i$ в предположении, что частица $j$ остается неподвижной. Следовательно,
\[
\boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{F}_{i j}+\boldsymbol{r}_{j} \boldsymbol{F}_{j i}=-\boldsymbol{r}_{i j} \operatorname{grad}_{i} U_{i j}=-r_{i j} \frac{\partial U_{i j}}{\partial r_{i j}} .
\]

Здесь у $U_{i j}$ ипдексы монно опустить, если тастную производную по $r_{i j}$ брать в предположении, что меняется расстояние только между частицами $i$ п $j$, а все осталыые междучаститые расстояния остаются нензмениыи. Таким образом,
\[
\sum \boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{F}_{i}=-\sum_{i, j} r_{i j} \frac{\partial I}{\partial r_{i j}} .
\]

Но $U$ есть однородная фунгция междучастпчны расстояпий $r_{\bullet}$ стенеии -1. Поэтому в силу пзвестпой теоремы Эйлера об однородиых фупкциях
\[
\sum_{i, j} r_{i j} \frac{\partial U}{\partial r_{i j}}=-U .
\]

В результате соотпошепие (100.1) переходит в
\[
2 \bar{K}+\bar{U}=0 .
\]

С частиы случаем этого соотнонения мы уже встречались в механике (см. т. I, § 58). Это случай двияения ппанеты вопруг Солпца (или искусственого спутика вокруг Землп) по куговой оро́ите. Только в этом случае усреднеиия пе требуется, поскольку сами величины $K$ и $U$ постояпны.

Cопоставим соотношение (100.3) с законом сохранешия энергии. Гравитационая эшергия, освобоядающаяся в процессе скатия протозвезды, расходуется пе только на уветичение кинетической (тепловой) эңергии $K$ последией, но и тратится на электромагиитюе и нейтршиое излучепия. Обозначим через $\mathscr{E}_{\text {вля }}$ полпую энергию, упесенную излучением. Тогда
\[
K+U+\mathscr{E}_{\text {изл }}=0 .
\]

Јсреднив это соотношение и вычитая его из (100.3), получим
\[
\bar{K}=\overline{\mathscr{E}}_{\text {изл. }} .
\]

Таким образом, половина гравитационной энергии, освобожденной при гравитационном сжатии протозвезды к моменту превращения ее в звезду, идет на увеличение кинетической (тепловой) әнергии звезды, а другая, половина уносится излучением. Этот вывод имеет общее зпачешпе и не спязан со специальным предположепием, что звезда состоит только из водорода. Когда патпутся термоядерпые реакци п паступит стациопарное состояпие, величины $\bar{K}$ и $\bar{U}$ будут оставаться пепзменыыми. Тогда вся энергия, освобождающаяся при термоядерных реакциях, будет уиоситься излучением.
4. Теперь мы подготовлепы к тому, чтобы оценить среднюю температуру звезды $\bar{T}$. С этой целью обозначим через $m(r)$ массу звездиого вещества внутри сферы радиусом $r$, центр которой совпадает с дентром звезды. При падении на эту сферу из бесконечпости массы $d m$ выделяется гравитационная эпергия $G m d m / r$. Полная гравитационная әнергия, освободившаяся при ои́разоваши звезды, выражается питегралом
\[
G \int_{0}^{M} m d m / r
\]

где $M$ – масса образовавшейся звезды. Как доказано выше, половпна этой энергип идет на нагревани звезды. В дальейшем, когда гравитадионное сжатие прекратится, внутри звезды должпа выделяться эпергия в результате термоядерных реакций, чтобы поддержать температуру п излучение звезды па пензменпом уровне. В результате тепловая днергия зиезды $\bar{K}$ будет оставаться неизмениой п выражаться ноловной нанисанного выше интеграла. Этот иптеграл можно было бы вычислить точно, еслі бы была известпа плотность звездиого вещества $\rho=\rho(r)$. Из-за пезвапия фупкции $\rho(r)$ точное въчисление мы выпуждепы замепить оценкой. Отевпдио,
\[
\widetilde{K}=(G / 2) \int_{0}^{M} m d m / r=\left(G . I^{2 / 4}\right)\langle 1 / r\rangle_{,}
\]

йIII
\[
\bar{K}=\left(G H^{2} / 4 R\right)\langle R / r\rangle,
\]

где $R$ – радиус звезды, $\langle R / r\rangle$ означает усреднение определепшым образом зиачепне $R / r$, а пмено
\[
\langle R / r\rangle=\left(2 / M^{2}\right) \int_{0}^{M}(R / r) m d m .
\]

Мы занимаемся оценкой средией темературы пе звезды вообще, а звезды, только что образовавшейся из газово-пылевого облака, состоящего практически только из полностью ионизовапного водорода. К этому времени водород епе пе успел «выгореть» в результате термоядерных реакций. Из-за высокой телпературы к нему применима классическая статистика Больцмана, которая п используется в дальнейшем.

Средняя әнергия тенлового движешия протопа равна $3 / 2 k \bar{T}$, где $k$ – постолпная Больцмана. Такова же и среднял эпергия әлектрона. Число протопов (а также электронов) в звезде составляет $M / m_{\mathrm{p}}$, где $m_{\mathrm{p}}$ – масса протона. Поэтому тепловая эпергия всей звезды равна $3 M k \bar{T} / m_{\text {p }}$. Приравняв ее выражешию $(100.5)$, получим
\[
\bar{T}=\frac{G M m_{\mathrm{p}}}{1 \vartheta k_{R}}\left\langle\frac{R}{r}\right\rangle .
\]

Точиое вычисление по формуле (100.7) требует зпапия плотности вещества звезды $\rho$ в зависимости от расстояния $r$ до еө цептра. Только тогда можно шайти средшее значение отношепия

$R / r$. Но так кан $R / r>1$, то во всяном случае должно быть
\[
\dddot{T}>G M m_{\mathrm{p}} / 12 k R .
\]
5. Можно указать и более точпую оцепку пижней грапицы пля $\bar{T}$. Температура, стояцая в правой части формулы (100.8), получепа в предположении, что $R / r=1$. Тагую температуру звезда получила бы, если бы звездное вещество копдепсировалось только на ее поверхпость. Эта температура заведомо ниже дейстиительой температуры звезды, так как при дальшейшем шеремещении вещества і ее центру пронзводптся дополпительпая работа гравитационих сил, идущая на дальнейнее пагревапие звезды. Дополнителиую работу можно частичио учесть, если предположить, что кодденсация ограничивается образовапием звезды постоянпой илотиости $\rho$. В тагөм случае $m=$ $=(4 \pi / 3) \rho r^{3}, \quad d m=4 \pi \rho r^{2} d r$ п формула (100.6) дает $R / r=6 / 5$. В результате получается более точпая, по все еще запиненная оценка средней темнературы звезды
\[
\widetilde{T}>G M m_{\mathrm{p}} / 10 k R .
\]

Применим полученную оцешку к Солицу $\left(M_{\odot}=2 \cdot 10^{33} \mathrm{r}_{\text {n }}\right.$ $\left.R=7 \cdot 10^{10} \mathrm{~cm}\right)$, точнее – к водородной звезде с тањни же значениями массы и радиуса. Нолучим
\[
\bar{T}_{\odot}>\frac{6,67 \cdot 10^{-8} \cdot 2 \cdot 10^{33} \cdot 1,67 \cdot 10^{-24}}{10 \cdot 1,38 \cdot 10^{-16} \cdot 7 \cdot 10^{10}}=2,3 \cdot 10^{6} \mathrm{~K} .
\]

Этот результат по порядку велнчиш дает правпльое, хотя п значительно заникеппое значение средней темиературы Солна.

Оптичеспим методам достуша температура только поверхиости Солица. Опа составляет около $6000 \mathrm{~K}$. Однако в современпых модетях Солнца масса паружпой оболочки, в которой темпоратура менине $10^{6} \mathrm{~K}$, составляет всего оголо $1 \%$ общей массы Солща. Поэтому оболоча практически не сказывается на средней температуре Солица.
6. Для точпого вычисления температуры, как уже уюазывалось выше, пало зпать плотпость вещества в недрах Солшца. Но она также подисжит определению.

Вообще, топюе вычисление температуры в недрах Солнца п звезд-не пзолированная, а сложная комплексная задача. В нашем пзложении речь шла пе о тотпом вычислении, а о грубой оцепе темшературы. При строгой постановке должна быть ошределена пе только температура, но и вся совокупность взаимно связанных параметров, характеризующих состояние звезды: давление, плотность, температура, химический состав, светимость ввезды и пр. В частности, необходимо, чтобы при әтпх параметрах получилось равновеспое состояние звезды. Все это находится в результате громоздкого численного интегрирования. При өтом вместе с измерепными зпачениями массы и размеров Солтца используются уравпения сохранепия и переноса эпергии, уравнепия гидродинамического, лучистого и конвективного равновесия, закон Стефана – Больцмапа и ир. В оснону расчета кладутся определение модели Солиа. Согласовапость результатов позволяет выбрать правдоподойную модель Солнца. Все расчеты теперь выполпяются на ЭИМ методом шроб и ошибок. В теории эволюцип звезд такие не расчеты вынолияются діл моделей звезд с различными параметрами.

Не останавливаясь па этих вопросах, приведем дание, характеризующие Солие на современном этапе его эволюции. Солице состоит из водорода $Н$, гели Не и осталыны әлемептов. Относительпые содержания их по массам в астрофизике приято обозначать соответственно через $X, Y, Z$. Для впениих слоев Солнца путем усреднепия по разлипы моделям получено $X=$ $=0,71, Y=0,265, Z=0,025$. Такие дапие характериы п для всего Солнца на начаяыном этапе его эволюции. По волнзи центра $C$ Соница в пастоящее время $X_{C}=0,38$. Температура, давление и плотность в центре Солнца равны соответстиено $T_{c}=15 \cdot 10^{6} \mathrm{~K}, \mathscr{P}_{c}=3,4 \cdot 10^{17}$ дин $/ \mathrm{cm}^{2}, \rho_{c}=160 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$.
7. В проблеме источпик анергии звезд основной интерес представляет не средияя температура, а температура в глубоких недрах звезд, так как именно там пронсходят термоядерные реакции.

Нриведем одну из возможных оценок температуры в центре ввезды, хотя она и обладает теми же прппдипиалыныи нетостатками, что и приведенпая выше оцена средиеї температуры звезды. Будем преднолагать, что в звезде пет консекции. Для этого пеобходимо, чтобы температуриый градиент $d T / d r$ был пе меньше так пазываемого адиабатичекого темнературпого градиента (см. т. II, § 121). В реаньной звезде из-за местного перегревания ее при термоядерных реацция конвектиное перемешивапие, конечно, происходит п притом в пекоторых взездах весьма интепсивно. Но мы рассматриваем идеальнй случаї, когда влияние этого перемешивания на отьод выделяющегося тепла из звезды пе очень существенио. В пределе переменинани исчезает как раз тогда, когда температурный градиешт стапощится адиабатическим. Поэтому мы и принимаем, чо в звезде устанавливается адиабатическое распределение температуры. Если еще ввездное вещество считать идеальным газом, то должпо быть
\[
d T / d r=-g / c_{\mathscr{P}}
\]

где $c_{\mathscr{P}}$-удельная теплоемкость при постоянном давлении, а $g$ ускорение свободного падения (см. т. II, § 121). Иитегрирование этого уравпения дает
\[
T .(r)=T_{C}-\int_{0}^{r}\left(g / c_{\mathscr{P}}\right) d r_{\imath}
\]

где $T_{C}$ – температура в цептре звезды. Температуру $T(R)$ на поверхностп звезды можно прннять равної нулю, так как она пренебрежимо мала по сравнению с $T_{c}$. В этом предположепии
\[
T_{C}=\int_{0}^{R}\left[g(r) c_{\mathscr{P}}\right] d r .
\]

Если ввести массу вещества $m$ внутрь сферы радиусом $r$, то $g=$ $=G m / r^{2}$. Удельную тенлоемкость $c_{\mathscr{P}}$ оценпм в предилоненин, что звезда состоит из полшостью ионизванного водорода. На каждую частицу (протоп и әтектроп) приходятся средняя кинетиеческая әнергия $3 / 2 k T$ п теплоемность при ностоянном объеме $3 / 2 k$, а при цостоянном давлении $5 / 2 k$. Число частиц (иротонов + + электронов) в единше массы равно $2 \cdot\left(1 / m_{\mathrm{p}}\right)$. Поэтому $c_{\mathfrak{P}}=$ $=5 k / m_{\mathscr{P}} \cdot$ В результате
\[
T_{C}=\left(G m_{\mathrm{p}} / 5 k\right) \int_{0}^{R} m(r) d r_{s}^{\prime} r^{2} .
\]

Если бы плотность $\rho$ внутри звезды была ностояниї, то $m(r)=(4 \pi / 3) \rho r^{3}$. В әтом случае ннтеграл в (100.12) легно вычисляется. Получается
\[
T_{C}=G . M m_{1} / 10 k R,
\]

что в тотности равно средней температуре звезды, вычистиюї в тех же предположения. Тем не менее приведенная оценіа температуры в центре звезды не лишена смысла. Дело в том. что при пстинної зависимостн нлотности веңестна $\rho$ от радиуса $r$ подынтегральное выражение в формуле (100.11) зпачителию быстрее возрастает к цептру звезды, чем соответствующе поты дытегральное выражение в (100.6). Следствием этого являстся питуитивно отевидное утверждение, тто температура в цептре звезды выше ее среднейі температуры.

Насколько существенпо распределение плотности вещества в звезде влияет на температуру в ее центре, показывает стедующий пример. По современної модели Солнца в сфере рагиусом $r=R / 2$ сосредоточено около $9.1 \%$ полной массы. Если массой наружной оболочки пренебречь, то можно воспользоваться предыдущей формулой, замешив в пей радиус $R$ вдвое мешшей величнної. Тогда получилось бы
\[
T_{c}=G M m_{\mathrm{p}} / 5 k R,
\]

что вдвое больше оценки, полученноӥ ранее. На самом деле концентрация вещества во внутренних зонах Солица приводит $\kappa$ еще большему повышению температуры $T_{c}$.
8. Итак, гравитационное сжатие разогревает внутренние нетра звезды до температур порядка десяти миллионов кельвинов (1 кәВ) и выше. Этого достаточно, чтобы в недрах звезды начался синтез более тяжелых ядер из менее легких. Такой синтез и является источником энергии, пзлучаемой звездами. В основном өто синтез более тяжелых элементов (преимущественио гелия) из водорода, так как по современцым спектроскопическим дапным Вселеная состоит на $70 \%$ из водорода (по массе), $30 \%$ пз гелпя п $1 \%$ из осталины әлементов (углерода, кислорода и пр.). В протозвезде начавшийся спитез идет недостаточно пнтенсивно, так что потерп энергии на пзлученне в осповном компенспруются гравитациопным сжатием протозвезды. Когда же энергия синтеза достигает величины, достаточной для компенсации потерь энергип на излучение, гравитациопное сжатие протозвезды прекращается. С этого момепта протозвезда и становится звездой. В звезде гравитадионные силы уравновешиваются возросшим газово-кинетическим п отчасти световым давлением.

Как показывают ириведенные выше оценки, температура в недрах звезды прн заданных размерах приблизштельно пропорциональна ее массе $M$. Светимость яе звезды $L$, т. е. полная пзлучаемая ею энергия в епиницу времени, согласпо теории, пропорциопальна примерно $M^{3}$. Теоретические оценки показывают, тто прп $M \leqslant 0,1 M_{\odot}\left(M_{\odot}\right.$ – масса Солнца гравитационное сжатие педостаточно для достижения термоядерих температур. Вот почему процесс гравитациопного сжатия всех планет Солнетной системы (включая Юпитер) не привел к образованию звезд.
9. В космических масштабах гравитация сипмает основные трудности, которые надо преодолеть, чтобы практичеси осуществить управляемый термоядерной синтез. Громадное давлепие, создаваемое гравитацией, удержпвает термоядерную плазму в недрах звезд. Слой же вещества громадной толщины, отделяющий горячую плазму в цештральных областях звезды от холодної периферии, падежно обеспечивает ее термоизоляцию. Термоядерпая эпергия, освободившаяся в глубоких педрах звезды, перепосится к ее периферии в осповном посредством лучеиспускания. На своем пути излученная энергія поглощается и спова переизлучается с измененпем спектрального состава. Это переизлучение происходит практически изотропно-равномерно во всо сторопы. Перепос излучешия к периферии звезды папоминает диффузию и происходит сравнительно медленно. Как показывают расчеты, тепло, выделившееся в цептре звезды, доходит до ее периферии за времена порядка миллиона лет.
10. Основным процессом, в котором происходит освобождение термоядерной энергии в нормальных звездах, является превращение водорода в гелий. При этом масса вещества уменьшается примерно на $0,7 \%$ и освобождается энергия в соответствии с соотпошением Эйнштейна $\mathscr{E}=m c^{2}$. Если бы Солнце состояло только из водорода и весь водород затем превратился в гелий, то масса Солнда уменьшилась бы примерно па $\Delta M=0,007 M_{\odot}=$ $=0,007 \cdot 2 \cdot 10^{33}=1,4 \cdot 10^{31}$ г. 11ри этом освободплась бы эпергия $\Delta M c^{2} \approx 1,26 \cdot 10^{52}$ эрг. При пастояцем темпе пзлучения Солица пзлучаемая им әнергия составляет примерно $L_{\odot}=3,83 \cdot 10^{33}$ эрг/с. Еспй бы этот темп сохрапнтся в дальпейнем, то всей эиергии выгоревшего водорода хватпло бы па $\left(1,26 \cdot 10^{52}\right):\left(3,83 \cdot 10^{33}\right)=$ $=3,3 \cdot 10^{18} \mathrm{c} \approx 10^{11}$ лет.

Средияя интенспвность энерговыделения $\varepsilon$ прп термоядерлых реакциях в тппичпы взездах по земным масштабам исключптельно мала. Так, д.л Солица $\varepsilon=L_{\odot} / I_{\odot}=\left(3,83 \cdot 10^{33}\right):\left({ }^{2} \cdot 10^{33}\right) \approx$ $\approx 2$ эрг/(с.г). В результате жізнедеятельпост человечсского оргапизма выдетяется в сутки лримерпо 3000 ккал $=3 \cdot 10^{6}$ кат $=$ $=12,5 \cdot 10^{13}$ эрг. Припяв массу челоеека равной $60 \mathrm{\kappa г}=6 \cdot 10^{4} \mathrm{r}$, пайдем, что скорость выделения энергии в человеческом организме составляет около $2,4 \cdot 10^{4}$ эрг/(с $\cdot$ г). Это примерно в тесять тисяч раз больше, чем для Солшца. Малость величиы $\varepsilon$ позволпла выше оцешить температуру в недрах звезды, полностью отвлекаясь от эперговыделения при ядерных реакция. Одеако благодаря громадной массе Солнца пзлучаемая пм моцность очень велшка $\left(3,83 \cdot 10^{33} \mathrm{pr} / \mathrm{c}=3,83 \cdot 10^{26} \mathrm{BT}\right)$. Из-за излучения масса Солнца умешьшается примерно на 4 мли. т в секунду.
11. Іревращение водорода в гелиї пдет пе непосредственно, а через ряд промежуточны реакциї. Опо может выполпяться днумя путями: 1) в протонно-протонной (pp) цепочке реакцй, или водородном цикле; 2) в углеродно-азотном пли углеродно: цикле.

Водородный цикт начинается с реакции между двумя протопами, в результате которої образуются дейтроп, позитрон и пеїтрино (табл. 20). Эта реакцпя вызывается слабымп взапмодействиями, а потому пдет чрезвычайно метленно; в земиых условиях
Т аблиц а 20
Водородный цикл

опа непосредственно не наблюдалась. В недрах звезд киетическая энергия сталкивающихся протонов недостаточна, чтобы преодолеть кулоновскиї потепцильный барьер между ними. Как правило, все столкновения между протопами пропсходят упруго,

Тольћо примерно одна стомпллионная доля столкновениї завершается реагциё туннельным способом. При этом за время столкновения (порядка $10^{-21}$ с) один протоп должен превратиться в пейтрон с испусканием позитрона и пейтрино. Позитроп пемедленно аниглирует с электроном, а образовавшийся из $\mathrm{n}$ п $\mathrm{p}$ дейтроп очень быстро (в течепие нескольких секунд) вступает в реакцио с одпим пз блњайших протонов с образовапием ядра ${ }^{3} \mathrm{He}$. В дальпёшем возможны три ветви ядерных реакций.

Первая ветвь – это реакця между двумя ядрами ${ }^{3} \mathrm{He}$. Но так как в первых трех реакция ядро ${ }^{3} \mathrm{He}$ получается только одии раз, то в рассматриваемый вариант полного водородного цикла эта реакция должпа входить дважды, что и отмечено множителем 2 во втором столбце таблицы. В птоге цикла четыре протона превращаются в ядро ${ }^{4} \mathrm{He}$, два позптрона и два пейтрино. В таблице приведено эперговыделение в соответствующих реакциях, а также примерпое среднее время каждой реакции, рассчитанное для устовнй в центре Солнца. В скобках указана доля выделяющейся эпергии, безвозвратно уносимая пейтрино.

Прп достатотно болыших концентрациях ${ }^{4} \mathrm{He}$ и температурах $T>(10-15) \cdot 10^{6} \mathrm{~K}$ в полном энерговыделении начинает преобладать вторая ветвь водородного цикла. В этом варианте первыо трп реакцни такие же, гак и в предыдущем, по не повторяются диажды, а реакция ${ }^{3} \mathrm{He}+{ }^{3} \mathrm{He}$ замепяется па цепочку
\[
\begin{array}{c}
{ }^{3} \mathrm{He}+{ }^{4} \mathrm{He} \rightarrow{ }^{7} \mathrm{Be}+\gamma, \quad{ }^{7} \mathrm{Be}+e^{-} \rightarrow{ }^{7} \mathrm{Li}+v, \\
p+{ }^{7} \mathrm{Li} \rightarrow 2^{4} \mathrm{He} .
\end{array}
\]

При еще болсе высоких температурах преобладающим в энерговыдетении явтяется водородшый цнкл с завернающей це10 щкоӥ
\[
\begin{array}{c}
{ }^{3} \mathrm{Ie}+{ }^{4} \mathrm{He} \rightarrow{ }^{7} \mathrm{Be}+\gamma, \quad p+{ }^{7} \mathrm{Be} \rightarrow{ }^{8} \mathrm{~B}+\gamma, \\
{ }^{8} \mathrm{~B} \rightarrow{ }^{8} \mathrm{Be}+e^{+}+v, \quad{ }^{8} \mathrm{Be} \rightarrow 2^{4} \mathrm{He} .
\end{array}
\]

В обонх случаях основным птогом спова является превращение четырех протопов в ядро ${ }^{4} \mathrm{He}$.
12. В табл. 21 приведен углеродный (C-N) цикл. В пем, как и в водородпом цикле, освобождается энергпя 26,7 МэВ, причем около $6,8 \%$ этоӥ энергип уносится нейтрино. Характерпой особенностью углеродного цикла яляется воспропзводство углерода ${ }^{12} \mathrm{C}$, и прптом в таком жке количестве, накое было использовано в натале цикла. Углерод ${ }^{12} \mathrm{C}$ пе затрачивается, а выполняет роль катализатора, обеспечивающего превращение водорода в гелий. Для Солнца и менее ярких звезд преобладающим является водородный, а для более ярких – углеродный цикл.

Сказанное выше в основном относится к нормальным звездам, или к звездам главной последовательности, к которым относится и Солнце. В этих звездах эперговыделение пропсходит главным образом за счет превращения водорода в гелиї.
13. Для звезд-гигаптов (см. следующий параграф) с плотыими «выгоревшимп» (не содержащимп водорода) ядрамп сунественны гелиевый и неоновый циилы, протекающие при значтетьно более высокпх температурах и плотностях, чем водородиый п
Табл т па 21
углеродныӥ циклы. Основноӥ реакцией гелиевого цикла, птущей начиная с темшературы $200 \cdot 10^{6} \mathrm{~K}$, является реакция
\[
3^{4} \mathrm{He} \rightarrow{ }^{12} \mathrm{C}+\gamma_{1}+\gamma_{2}+7,3 \text { МэВ. }
\]
(Далее могут следовать реакции ${ }^{12} \mathrm{C}+{ }^{4} \mathrm{He} \rightarrow{ }^{16} \mathrm{O}+\gamma,{ }^{16} \mathrm{O}+{ }^{4} \mathrm{He} \rightarrow$ $\rightarrow{ }^{20} \mathrm{Ne}+\gamma$.)

Если продукты реакций гелневого цикла вступят в коптакт с $\mathrm{H}$, то осуществится пеоновый ( $\mathrm{Ne}-\mathrm{Na}$ ) цикл. В нем ядро 20 No выполняет роль катализатора в процессе превращения Н в Не. Последовательность реакций здесь вполпе аналогичиа углеролному (C-N) циклу (табл. 21), только ядра ${ }^{12} \mathrm{C},{ }^{13} \mathrm{~N},{ }^{13} \mathrm{C},{ }^{14} \mathrm{~N}$, ${ }^{15} \mathrm{O},{ }^{15} \mathrm{~N}$ заменяются соответственно ядрами ${ }^{20} \mathrm{Ne},{ }^{21} \mathrm{Na},{ }^{21} \mathrm{Ne},{ }^{22} \mathrm{Na}$, ${ }^{23} \mathrm{Na},{ }^{23} \mathrm{Mg}$. Мощность этого цикла как источника энергип относительно невелика.
ЗАДА Ч А
Оцегить пижний предел гравитационного давления $\mathscr{P}$ в цептре звезды. Чему было бы равно это давление, если бы звезда была одпородпа по плот ности? Провести численный расчет для Солнца.
Решение. Из уравпения гидростатикі

получаем
\[
\partial \mathscr{P} / \partial r=-\rho g
\]
\[
\mathscr{P}(r)=\mathscr{P}_{C}-\int_{0}^{r} \rho g d r
\]

где $\mathscr{P}_{C}$ – давление в цептре звезды. Опо пайдется из условня, что па поверхности звезды $\mathscr{P}(R)=0$. Это даст
\[
\mathscr{P}_{C}=\int_{0}^{R} \rho g d r=(G / 4 \pi) \int_{0}^{M} m d m / r^{4},
\]

или
\[
\mathscr{P}_{C}=\left\langle G M^{2} / 8 \pi\right\rangle\left\langle 1 / r^{4}\right\rangle,
\]

где угловые скобии озпатают падлежащим образом выполненпе усредиение. IIз $(100.13)$ стедует
\[
\mathscr{P}_{C}>G M^{2} / 8 \pi R^{4} .
\]

Дая Солнца $\mathscr{P}_{C}>4,4 \cdot 10^{14}$ дип/ $/$ см $^{2} \approx 4,4 \cdot 10^{8}$ атм. Если оы Соллце было однородно, то $\mathscr{P}_{C}$ было бы втрое больше, т. с. өколо $13,2 \cdot 10^{5}$ атм. В общем случае для звезды
\[
\mathscr{P}_{C}=\gamma M^{2} / R^{4},
\]

где $\gamma$-безразмерный көзффициент, вавлсящий только от закона изменения плотности $\rho$ вдоль радиуса звезды.

Насколько существенно возрастано плотности қ цептру звезды, показываст следующиї прилер. Вообразим, что наружная оболочка Солша с $r>R / 2$ удалена, а масса оставшегося вещества не нзменилась. Согласпо современпой модели Солица оставпаяся масса равна 0,9 ‘ $M_{\odot}$. Тогда пияпиї предел давлепия в центре пе уменыиится, а увеличится в
\[
\left(\frac{0.94 M_{\odot}}{M_{\odot}}\right)^{2}\left(\frac{R}{R / 2}\right)^{4} \approx 14 \text { раз. }
\]

По давлепию $\mathscr{P}_{C}$ можно было бы вычнслить, темшературу $T_{C}$ в цептре ввезды, пользуясь равепством $\mathscr{P}_{C}=2 n_{c} k T$, где $n_{C}=\rho_{c} / m_{\mathrm{p}}$ – число протонов в едиіиде обтема в центре звезды. Однано это вычвсление требует впания плотпости вещества $\rho_{C}$ в центре звезды.