Согласпо классическм представлепиям при айсолютиом пуле температуры движение частиц тела прекрапается. Одпако воллй аб̈солютпого пуля класситеская физика пепримепима. Там существелно проявляотея квантовые свойства вецества. Поведение электрошого и всякого газа пз фермонов подчнняется кваптовой статцстике Ферми – Дирай. Рассмотрим поведение идеальпого ферми-газа в простейпем случае, когда абсолютная температура равна нулю. Нас будет интересовать в первую очередь әлектропиый газ.

Пусть $n$-общее число частиц в единице объема газа. Найдем число тастиц $d n$ в единице объема с импульсами между $p$ и $p+d p$. Число квантовых состояний в указанном иптервале рявпо объему $4 \pi p^{2} d p$, шриходяцемуся па этот интервал имнульспого прострапства, деленному на объем одпой кваптовой ячейки $h^{3}$. ІІри абсолютном нуле заполпяются все пизшие кваптовые состояния, а все высшие остаются свободными. При этом, согласно прицциу Паули, в каждом заполненном состоянии могут паходиться два фермиопа с противоположно паправленными сшпшами. Таким образом, распределепие числа тастиц по заполненному пространству импульсов определяется формулой
\[
d n=2 \cdot\left(4 \pi p^{2} d p / h^{3}\right) .
\]

Согласпо условию нормировни
\[
\int d n=8 \pi r_{F}^{3} / 3 h^{3}=n,
\]

где $p_{F}$ – максимальное зиачение ияпульса, которое может прпнимать частппа при задапном $n$. Это значепе называется граничсй Ферми. Таким об́разом,
\[
p_{F}=\sqrt[3]{3 / 8 \pi} h n^{1 / 3}=3,28 \cdot 10^{-27} n^{1 / 3} .
\]

Уравпепие (102.15) и дает распределепие ферми-тастиц в импульспом прострапстве. В него пе входит темпсратура. Это и попятно, так как опо описывает распределепие тастиц в пмульспом простраистве при ао́солютном пуле температуры и в его блинайнсї окрестностп. Соотвотствующео состонне берии-газа пазывается вырождениым. Таким образом, в вырождепом состоянии ферми-газа существует только один пезависимый макроскоппческий параметр, папример плотность, которым определиются и все остальные параметры.

Грапичпая энергия $\mathscr{E}_{F}$, т. с. энергия, соответетвующая импульсу $p=$ $=p_{F}$, связана с конентрацией газа соотиопснием
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{E}_{F}=\frac{p_{F^{\prime}}^{2}}{2 m}=\left(\sqrt[3]{\frac{3}{8 \pi}}\right)^{2} \frac{h^{2}}{2 m} n^{2 / 3} \quad \text { прі } \quad \mathscr{E}_{F} \ll m c^{2}, \\
\mathscr{E}_{F}=c p_{F}=\sqrt[3]{\frac{3}{8 \pi}} h c n^{1 / 3} \quad \text { чрл } \mathscr{E}_{F} \gg m c^{2} .
\end{array}
\]

Для э.тектропного газа
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{E}_{F}=0,584 \cdot 10^{-26} n^{2 / 3} \text { эрг }=3,65 \cdot 10^{-21} n^{2 / 3} \mathrm{MoB} \text { при } \mathscr{E}_{F} \ll m c^{2}, \\
\mathscr{E}_{F}=9,78 \cdot 10^{-17} n^{1 / 3} \text { эрг }=0,610 \cdot 10^{-10} n^{1 / 3} \mathrm{MэB} \text { прн } \mathscr{E}_{F} \gg m c^{2} .
\end{array}
\]

В ультрарелятивистском случае, когда $m c^{2} \ll \mathscr{E}_{F}$, а потому $\mathscr{E}=p c$, эпергия Ферми $\mathscr{E}_{F}$ выражается формулами (102.18) и (102.19) одипаково дпи всех частиц, пезависимо от их массы. То же относится и ко всем другим соотношениям в ультрарелятивистском случае. В нерелятивистском приближепии это пе так. Так, в этом случае $\mathscr{E}_{F}$ обратно пропорциопальпа массе частицы $m$.

Газ может считаться вырожденным, когда его температура ниже так пазываемой температуры вырондения $T_{\text {выр }}$. Последпяя определяется соотношением
\[
k T_{\mathrm{owp}}=\mathscr{E}_{F}
\]

Дія электропов в перелятивистском случае из формулы (102.19) получаем
\[
T_{\text {ныр }}=0,423 n^{2 / 3} \cdot 10^{-10} \text { If (олектропы, } \mathscr{E}_{F} \ll m c^{2} \text { ). }
\]

В ультрарелятивистском случае для всех ферми-тастиц (102.19) дает
\[
T_{\text {мыр }}=0,708 n^{1 / 3} \mathrm{~K}\left(\mathscr{E}_{P} \gg m c^{2}\right) .
\]

Для свои́одпых электропов в металлах при обыпых плотпостях $n \sim$ $\sim 10^{22}$ температура вырондения $T_{\text {внр }} \approx 20000 \mathrm{~K}$. При плотностях $\rho \sim$ $\sim 10^{6} \mathrm{r} /$ см $^{3} T_{\text {ныр }} \approx 2 \cdot 10^{3} \mathrm{~K}$. В случае ультрарелятивистспих частиц той жө плотвости $T_{\text {выр }} \approx 10^{9} \mathrm{~K}$. Приведенные оцепки показғвают, что при темпсратуре белих карликов электронный газ действптельно может считаться вырождетним.

Рассхитаем теперь давление $\mathscr{P}_{\text {raз }}$ ферми-газа. В нерелятивистском слутаe
\[
\mathscr{P}_{\text {Газ }}=\frac{1}{3} n m \overline{v^{2}}=\frac{n \overline{p^{2}}}{3 m}=\frac{1}{3 m} \int_{0}^{p_{F}} p^{2} d m=\frac{h^{2}}{15 m} \cdot\left(\frac{3}{8 \pi}\right)^{5 / 3} n^{5 / 3} \quad\left(\mathscr{E}_{F} \ll m c^{2}\right) .
\]

Здесь давление газа при задапной копџептрации частиц $n$ обратно пропорциональпо массе частицы $m$. Поэтому давлением газа пуклонов можпо пренебречь по сравненио с давлелием электроншого газа. В релятивистском случае точњое вычислелие давления газа потребовало бы знания фувиции раєпределения че только при $p \ll p_{F}$, но и во всем интервале изменепия импульсов. Такое вычисление довольно громоздко, и мы его приводить не будем Ограпичимся ультрарелятпвистским случаем, где все зпачительно упрощается. В препебрежени энергисй покоя связь между эпергией и пмпульсом тастицы припимает вид $\mathscr{E}=p c$, т. е. такой же, как и для фотопа. Поэтому можно воспользоваться результатом вычисления давлепия для фотопного газа (см. т. II, § 61). Когда $\mathscr{E} \gg m c^{2}$, можно принять приближенио, тто все тастицы ультрарелитивистские. Тогда
\[
\mathscr{P}_{\text {газ }} \approx \frac{1}{3} n \mathscr{E}_{F}=\frac{1}{3} n c p_{F}=\sqrt[3]{\frac{1}{72 \pi}} h c n^{4 / 3} \quad\left(\mathscr{E}_{F} \geqslant m c^{2}\right) .
\]

Плотность газа $\rho=n_{N} m_{N}$, где $n_{N}$ и $m_{N}-$ концептрация и масса нуклонов, так как массой электронов монпо препебречь. Если $\mu$ – число пуклопов, приходящееся па один электрон, то $n_{\mathrm{N}}=\mu n_{\mathrm{e}}$, где $n_{\mathrm{e}}$ – копцептрация электронов. Таким образом,
\[
n_{\mathrm{e}} \approx \rho / \mu m_{\mathrm{N}}
\]

Для водородной плазмы $\mu=1$. Если же вещество состоит из отпосительно легних ядер, то $N=Z$, а нотому $\mu=2$. Для вырождепного әлектронного газа легіо получить
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{P}_{\text {газ }}=10^{7}(\rho / \mu)^{5 / 3} \text { дин } / \text { см }^{2} \quad\left(\mathscr{E}_{P} \ll m c^{2}\right) \text {, } \\
\mathscr{P}_{\text {газ }}=1,2 \cdot 10^{9}(\rho / \mu)^{i / 3} \text { дин } / \text { см }^{2} \quad\left(\mathscr{E}_{p} \gg m c^{2}\right) . \\
\end{array}
\]

При $\mathscr{E}_{p}=m c^{2}$ плотность вырожденного электронного газа $\rho \approx 2 \times$ $\times 10^{6} \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$. Для ориептировки укажем, что при $\rho \approx 10^{7} \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$ давление вырожденного электронного газа $\mathscr{P}_{\text {газ }} \approx 10^{12}$ атм $(\mu \approx 2)$.