1. Из одночастичных моделей наибольшее значение имсет оболочечная модель ядра. Оказывается, тто ядра обладают известной периодичностью, аналогичпой перпотичости атомов, пашедшей свое отражение в пернодической системе Менделеена. Ядра, содержащие магическое число пейтронов или протонов $(2,8,20,50,82$ п 126 для нейтропов $)$, и в особешности дваиды магические ядра, выделяются среди остальных ядер особой прочностью. Кроме того, для ядер, содержацих магическое число протонов, характерна сферическая симметрия распределения зарядов в невозбужденных состояниях, т. е. отсутствие квадруполыих электрических моментов. В этом отношении магические ядра іапоминают атомы инертных газов, характернзующиеся сферической симметрией, химической пассивностью и связанными с неї напбольшими энергиями ионизации. Однако зарядовые тисла инертных атомов $(Z=2,10,18,36,54,86)$, за исключешием $Z=2$, не совпадают с магическими числами для ядер.
2. Магические свойства ядер проявляются прекде всего в том, что энергия присоединения последнего нуклопа (равная эгергии его отделения) при образовании магического ядра аномалью велика по сравнению с эиергией присоединения последнего пуклона для предыдущих и последующих соседних пуклонов. Рассхотрим, например, ряд самых легких ядер ${ }_{1}^{1} \mathrm{H},{ }_{1}^{2} \mathrm{H},{ }_{2}^{3} \mathrm{He},{ }_{2}^{4} \mathrm{He}$; каждое из которых получается из предыдущего присоединенгем одного нейтрона или протона. Оказывается, что в этом случае элергии присоединения одного нуклона к предыдущему ядру соответственно равны 2,$2 ; 5,5 ; 20,6$ МәВ, т. е. резко возрастают но мере приближения к дважды магическому ядру ${ }_{2}^{4} \mathrm{He}(Z=N=2)$. Однако при дальнейшем добавленип к ядру ${ }_{2}^{4}$ Не нейтропа пл протона, т. е. при образовапии ядер ${ }_{2}^{5} \mathrm{He}$ п ${ }_{3}^{5} \mathrm{Li}$, в обопх случаях энергия присоединения отрицательпа, так что оба ядра ${ }_{2}^{5} \mathrm{He}$ и ${ }_{3}^{5} \mathrm{Li}$ неустойчивы и в природе не встречаются (см. § 64, вадача 5). Особая прочность дважды магического ядра ${ }_{2}^{4} \mathrm{He}$ проявляется также в том, что такие яңра ( $\alpha$-частицы) испускаются шри $\alpha$-распаде.

Увеличение энергии присоединепия последнего нуклона по мере приближения к магическому ядру имеет место и для других ядер, хотя для тяжелых ядер оно выражено и не так резко, как для легких. При иллюстрации такого увеличения необходимо принять во внимание повышенную прочность стабильных ядер с четными числами нуклонов определенного типа по сравнению с нечетными числами нуклопов того же типа. А так как все магические числа четные, то нриходится сравнивать только ядра с четным числом протонов или с четным числом нейтронов. В качестве примера укажем, что эпергии присоединения протона $ћ$ четно-четным ядрам ${ }_{4}^{8} \mathrm{Be}$ и ${ }_{6}^{12} \mathrm{C}$ соответственно равны $-0,18$ п +1,9 МэВ, тогда как для магического ядра ${ }_{8}^{16} \mathrm{O}$ энергия присоединспия протона (в результате чего образуется ядро ${ }_{9}^{17} \mathrm{~F}$ ) мииималиа и составляет $0,6 \mathrm{M}$ В. Аналогичная картина наблюдается и в случае присоединения нейтрона $к$ тем же ядрам. Эти факты и свидетельствуют о повышенной прочности магического ядра ${ }_{8}^{16} \mathrm{O}$ по сравпению с соседшими четно-четными ядрами.

В случае тяжелых стабильных ядер, когда числа $Z$ и $N$ значнтельно отличаются друг от друга, приходится сравнивать ядра с тетными тислами протопов при неизменнөм числе нейтронов или ядра с четными числамп нейтронов при неизменном число протощов. Так, при переходе от $Z=80$ к магическому числу $Z=82$ энергия присоединения протона при всех $N$ резко падает, что свидетельствует о повышенной стабильности ядра с магическим тислом шротопов $Z=82$. Аналогичное явление имеет место в окрестности магического числа $N=126$. Здесь также энергия присоединепия нейтропа к ядру для всех $Z$ резко уменьшается при переходе от ядра с $N=124$ к магическому ядру с $N=126$.
3. Магические свойства ядер проявляются и в относительной распространенности химических элемептов. Большей распространенностью обладают стабильные ядра с магическими тислами $Z$ пли $N$ по сравнению с ядрами с соседними четнымп значениями этих тисел. Папример, для $Z=20$ (20Са) имеются пять стабильпых изотопов, для которых число нейтронов $N$ четное. Как уже указывалось выше, сравнивать следует ядра, у которых $N$ или 7 отлпчаются от магического числа на два, так как четно-четные ядра обладают большей стабильностью, а потому и большей распространенностью в природе. При $Z=18$ и при $Z=22$ число стабильих ядер с четным $N$ равно трем. Особенность областіг около $Z=20$ проявляется даже и у ядер с нечетным массовым числом, так как при $N=19$ или $N=21$ не существует пи одного стабильного ядра. Существующий в природе изотоп калия ${ }_{19}^{40} \mathrm{~K}$ ( $Z=19, N=21$ ) радиоактивен, хотя и обладает очень большим периодом полураспада $\left(1,4 \cdot 10^{9}\right.$ лет). Магические свойства нроявляются и для нейтронов при $N=20$. Существуют пять изотопов прп $N=20$, два прп $N=18$ и два при $N=22$.

Аргументация приведенного типа для случая $N=50$ не очень убедительна, но существуют другие, не мепее убедительные аргументы. При $N=82$ приведенная аргументация вновь стаповится весьма убедительной. Имеется семь стабильных ядер с $N=82$, три с $N=80$ и два с $N=84$. Олово ( $Z=50$ ) имеет наибольшео число стабильных изотопов (10), причем три из них – с печетным $A$. Но, как и для случая $N=50$, это не может счнтаться достаточно убедительной аргументацией, так как кадмиї ( $Z=$ $=48$ ) и теллур ( $Z=52$ ) имеют каждый восемь изотопов.

Последним стабильшым ядром с $Z=N$ является дважды магическое ядро ${ }_{20}^{40} \mathrm{Ca}$. Его содержание среди естественной смесп изотопов кальция составляет $97 \%$. Предшествующее четно-четное ядро с $Z=N\left({ }_{18}^{36} \mathrm{Ar}\right) \quad$ в естественной смеси изотопов аргона составляет $0,34 \%$, а следующий четно-четный ${ }_{22}^{44} \mathrm{Ti}$ среди пзотопов титана совсем не встречается.

Среди различных изотопов данпого элемента обычно самым распространенным является изотоп со средпим значением массового числа $A$. Исключение составляют случап, когда среди изотопов әлемента имеются изотопы, содержащие магические чпсла нейтронов $N=50$ или $N=82$. В этих случаях, как правило, самыми распространенными являются изотопы с $N=50$ и $N=82$, независимо от значения массового числа $A$.
4. Существует общее правило, что если наиболее тяжелый (или паиболее легкий) стабильный изотоп әлемента с тетныи $Z$ имеет $N$ нейтронов, то наиболее тяжелый (или наиболее легкиӥ) стабильный изотоп элемента с зарядовым числои $Z+2$ имеет не меньше $N+2$ пейтронов. Однако существуют пять исключений из этого правила, в которых ядра указанного типа имеют одпо и то же число нейтронов. Сюда относятся три пары наиболее тяжелых из сравниваемых изотопов:
\[
{ }_{20}^{48} \mathrm{Ca}-{ }_{22}^{50} \mathrm{Ti}, \quad{ }_{36}^{86} \mathrm{Kr}-{ }_{38}^{88} \mathrm{Sr}, \quad{ }_{54}^{136} \mathrm{Xe}-{ }_{56}^{138} \mathrm{Ba}
\]

и две пары наиболее легких:
\[
{ }_{40}^{90} \mathrm{Zr}-{ }_{42}^{92} \mathrm{Mo}, \quad{ }_{60}^{142} \mathrm{Nd}-{ }_{62}^{144} \mathrm{Sm} .
\]

У обоих ядер первой пары $N=28$, у двух пар $N=50$, а у двух остальных $N=82$. Существование таких исклютений указывает на более слабую связь для 29 -, 51 – и 83 -го нейтронов по сравнеиию с обычной, а следовательн, более сильную связь для 28-, 50 – и 82-го нейтронов. Но последние два числа как раз и являются магическими, а число 28 также часто относят к магическим для нейтронов.
5. Отметим, наконец пекоторые закономерности $\alpha$ – п $\beta$-распада.
1) Все три радиоактивных семейства, встречающихся в природе, заканчиваются свинцом ${ }_{82} \mathrm{~Pb}$, т. е. элементом с магическим числом $Z=82$. Ядра с $Z<82$ из числа встречающихся в природе, как правило, стабильны.
2) Энергия испускаемых $\alpha$-частиц увеличивается с ростом $Z$, как п должно быть согласно полуэмширической формуле Вейңвеккера. Исключение составляют ядра с $Z=84, N=84, N=128$, которые после $\alpha$-распада переходят в магические ядра с $Z=82$, $N=82, N=126$ и испускают при әтом $\alpha$-частицы с большей энергией по сравнению с соседними ядрами. Изотопы же полония ${ }_{84}^{210} \mathrm{Po}$ и ${ }_{84}^{212} \mathrm{Po}$ испускают также и длиннопробежные $\alpha$-частицы.
3) Аналогичные результаты справедливы для максимальной опергии электронов, возникающих при $\beta$-распаде. Такая әнергия достигает паибольшей величины при $\beta$-переходах с образованием магических ядер и наименьшей величины при $\beta$-распадах самих магических ядер.
6. Можпо было бы привести и другие аргументы, свидетельствующие о существованип магических ядер. Но мы нө будем делать этого. Периодическую повторяемость свойств атомиых ядер и многие другие экспериментальные факты, связанные с суцествованием магических ядер, и пытается объяснить оболочечная модель ядра. Она строится по аналогии с теорией периодитеской системы химических элемептов. Последняя, как известно, иредполагает, что имеет смысл говорить не только о состоянии электронной оболочки в целом, но и о состоянии каждого электрона в отдельности. Каждый электрон независимо движется в самосогласованном центрально-силметричном поле, как если бы между электронами не существовало никакого взаимодействия. На самом деле взаимодействпе есть, и отнодь не слабое. Но опо әфђективно учитывается посредством самосогласовапного поля. Это поле образуется кулоновским полем ядра и усредненным әлектрическим полем всех электропов за исключением рассматриваемого. Этим и обеспечивается кажущаяся независимость движепия әлектропов, при которой сохрапяется энергия, а в силу центральпой симметрии поля – и момент импульса отдельного әлектрона иџн его орбитальном движении. Это в свою очередь дает возможность характеризовать состояние каждого электрона квантовыми числами, что и делается при построениш шериодической системы химических әлемевтов. Хотя такой способ учета взаимодействия электронов в атоме и представляется логитески не совсем последовательным, но при построении теории периодитеской спстемы химических элементов он ириводит к правнльным результатам. Іритина этого уже была указана в § 47.

Казалось бы, что для ядра теория, построенная по аналогичгой схеме, невозможна. Во-первых, потому, что у ядра нет силового центра для формирования центрально-симметричного самосогласованного поля, в котором двигались бы нуклоны. Во-вторых, в отличие от атомпых оболочек, где әлектроны расположены далеко друг от друга, в ядре вуклоны упакованы отень плотно (концентрақия вуклонов в ядре $n \approx 10^{38} \mathrm{~cm}^{-3}$ ), а ядерные силы, действующие между ними, очень велики. По этим причинам средняя длина свободного пробега нуклона в ядре от столкновеиия до столкповения, если ее оденивать классически, порядка размеров самого ядра и даже меньше. При таких условпях, казалось бы, не имеет смысла говорить о регулярном независимом орбптальном движении нуклонов в ядре.

Однако, как уже отмечалось в предыдущем параграфе, пеобходимо принять во внимание следующие обстоятельства. В невозбужденном ядре нуклоны запимают все энергетически самые низке состояния, а принцип Паули запрещает двум одинаковым пуклонам паходиться в одном и том же пваптовом состоянии (шоскольку спии нуклопа равен $1 / 2$ ). Прп столкновении двух нуклонов одип пз них должен терять энергию п перейти в эиергетптески более низкое состояние. А такої процесс невозможеп, поскольку в певозбужденном ядре все такие состояния уже заняты. Еслп же потери энергіи нет, то нуклоны просто обмениваются местами, а это, как также отмечалось в предыдущем параграфе, совсем не меняет состояния ядра, как если бы вообще никакого столкповепия не было. В результате если ядро находітся в певозбужденном состоянии, то эффективно все это проявляется так, как будто бы средняя длина свободного пробега нуклопа в ядре стала больше и даже во много раз превосходила размеры самого ядра. В таком случае в нулевом приближении можно говорить как бы о независимом двнжении нуклонов в ядре. ‘(Это справедливо и для квазичастиц.) Сильное же взаимодеїствие между нуклонами, а таюже малый радиус действия ядерных спл позволяют надеяться ввссти центрально-симметрпчное нуклонное поле, в котором в нулевом приближении независимо If движутся нуклоны.
7. Шаткость приведених соображениї, копетно, не обеспечивает надежности теорип, которая строится на их основе. Реть идет о рассматриваемой здесь оболочечной модели ядра. Тем пе мепее такая модель была создана. В неї реальные силы, деїствующие между пуклонами, заменяются самосогласованым полем, в котором пезависимо друг от друга и движутся нуклоны. Конечно, оболочечпая модель ядра по своей обосновапности і результатам зпачптельно уступает теорип периодической системы химических элементов. Причина этого ясна из изложенного выше. Другая причнна состопт в том, тто в отличие от атома, где действуют детально изученные электритеские силы, силы между нуклонами в ядре пзучены еще очень мало. Поэтому самосолласоваппое поле в ядре мы вынуждены подбпрать әмпирически, руководствуясь при этом только тем, чтобы возможно лучше согласовать результаты оболочечной модели с экспериментальными фактами. Приблизительное соответствие результатов оболочечної модели опытным фактам и должно рассматриваться как ее истиннов обосновапие.

C учетом электрических взапмодействий между нуклопами самосогласованные поля должны нодбираться различно для протонов в нейтронов, Однако, как уже отмечалось, ядерные силы между протонами одинаковы с ядерными сплами между пейтронами. Протоны отличаются от нейтронов дополнительными силами электрического отталкивания. А последние на малых расстояниях, на которых проявляются ядерные силы, в сотни раз слабеө ядерных. Электрпческие силы, благодаря их дальнодействующему характеру, могут быть заметными только для самых тяжелых ядер. Поэтому в первом приближении можно учитывать только ядериые силы, пренебрегая электрпческими. В этом прнближении самосогласованные поля для протонов II нейтропов одинаковы. Это проявляется в том, тто, как показывает опыт, магическиө числа протонов совнадают с магическими числами нейтронов. Поэтому в дальнейшем говорптся о иуклонном самосогласованном поле, прпчем под пуклоном с равным основанием можно подразумевать как протон, так п нейтроп.
8. Замена реальных сил самосогласованным полем, одинаковым для всех пуклонов ядра, сводит задачу многих тел к задачө об одной частице, двидущейся в этом самосогласованном поте. Соответствующий әтому полю нуклонный потепциал, как уке сказано выше, подӧрается эмпирически. Прежде всего дтя сферических ядер самосогласованный нуклониый потенциал $V(r)$ должен быть сферическп-симметрпгным. А из-за малости радиуса действия ядерных сил $V(r)$ приближенно должен меняться в зависнмости от расстояния $r$ до центра ядра аналогично плотности ядерного вещества (см. § 65). Для средиих и тяжелых ядер приппмается, что $V(r)$ приблизительно постоянен внутри ядра, а в окрестности грапицы последиего очень ғруто (но все же плавно) спадает практически до нуля. Для легких ядер самосогласованиый потепдиал по форме напоминает потенциал трехмерного осциллятора, т. е. ппутри ядра $V(r)$ предетавняется приилиженпой формулой $V(r)=(1 / 2) k r^{2}$ с ностоянным $k$. Разумеется, вне ядра $V(r)=0$. Приближениыі вид обычио
Pirc. 141
применяемого әмпирического самосогласованшого нуклонпого потенциала прецставлен кривої па рис. 141.

ГЈсле выбора самосогласованого нуклонпого потенциала зач дача сводится к репенио одночастичного уравнепия Шрединге ра. Посмотрим спачала, к кажим магическим числам прпводит предположение, что $V(r)$ представляется потепциалом трехмерного гармопического осцилятора, т. е. внутри ядра $V=(1 / 2) k r^{2}$, а вне ядра $V=0$. Представляя $V$ в форме $V=(1 / 2) k\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$, видим, что в уравнепй ЫІредиигера цеременные $x, y, z$ разделяются, так что надо решить три одинаковых уравнения Шредингера для одномериого гармовического осциллятора, отличающигся одно от другого только обозначениями независпмых переменных. Энергия одномерного гармонитеского осциллятора в стацпонарном состоянии равна $\mathscr{E}_{x}=\left(n_{x}+1 / 2\right) \hbar \omega$, и аналогично для $y$ п $z$. Полная энергия трехмерного осциллятора представится в виде $\mathscr{E}=\mathscr{E}_{x}+\mathscr{E}_{y}+\mathscr{E}_{z}=(n+3 / 2) \hbar \omega$, где $n=n_{x}+n_{y}+n_{z}$, прпгем все гвантовые числа $n_{x}, n_{y}, n_{z}$ могут принимать только целые положительные знатения п нуль $(n=0)$. Самле существенное для напий задачи состопт в том, что уровіп энергии трехмерного осциллятора вырождены. Кратпость вырождения (без спнпa) равіа $(1 / 2)(n+1)(n+$ +2 ). В частпостп, прп $n=1$ вырождепие трехкратное. Одному и тому же зиачениго $n$ соответствуют различие состоянпя, отличающиеся одно от другого зпатенияма квантовых чисел $n_{x}, n_{y}, n_{z}$ (а такне проекции спита, готорая монет быть равна либо $+1 / 2$, либо – $1 / 2$ ). Возможиые состояпия (без учета спина) приведены в табл. 11 для $n$, paвных $0,1,2$. Таблицу легко продолжить и для бо́льших вначепий $n$.

Естественио принять, тто каждому зиаченио $n$ соответствует определениая оболочка яцра. Если учесть спин, то число состояниї надо удвоить. Поатому в модели трехмерного гармонического осциллятора тисла нуклопов в последовательных оболочках долюны были бы иметь значения $2,6,12,20,30,42$. Соответствующие магические числа полутаются прибавлением каждого из этпх чисел к сумме предыдущих. Таким образом, при рассматриваемой борме потепциала магшескше числа лолжиы были бы иметь знатепия $2,8,20,40,70,112$. Первые три числа совпадают с эгенериментально установленнымп. Но осталиные числа отличаются от экспериментально пайдепих зпачений магических чпсел $50,82,126$.
9. Указанное расхождение естествепно отнести за счет неправильного выбора формы самосогласованного нуклонного потенциала и неучета $l s$-связи. При другом выборе этого потещцила разделение перемених в декартовых координатах при решении уравнения Шредингера уже не получится. Но разделепие перемениых останется в сферической системе координат, независимо от формы самосогласованного нуклонного потещциала, лишь бы только последний был сферически-симметричным, Возмояные стационарные состояния нуклона в этом случае монно характеризоваль совершенно так же, как это делается в случае одноэлектронных атомов, а именно четырьмя квантовыми числами: главным квантовым числом $n$, орбитальным квантовым числом $l$, квантовым числом $j$ полного момента, слагающегося из орбитального и спинового, и квантовым числом $m_{j}$, которое онределяет проекцию полного момента на пзо́ранное направление. Возможпость такого описания состояния пуюлона в ялре обеспечивается именпо сферически-симетричной формой самосогласовапного нуклонного потенцнала, в силу ноторої для каждого нуклона имеет место сохранение орбитального п полного моментов пмпульса.

Главное квантовое тисло $n$ может принимать целогисленныо вначения $1,2,3, \ldots$ Оно на еднницу больше числа узлов радиальной волнової фупкци ядра. В частности, при $n=1$ радиальная волновая функция совсем не пмеет узлов. Следовательно, в случае ядра главное квантовое тисло имеет пной смысл, чем в атомной физнге. (В случае атома квантовое число, определяющее тисло узлов радпальпой волновой функцип, пазывается радпалыим п обозначаетея через $n_{r}$, а главное кваптовое число определяется выражемем $n=n_{r}+l+1$.) Как и в атомий спектроскопин, состояния с $l=0,1,2, \ldots$ обозначаются соответственпо через $s, p, d, f$ и далее по алфавиту. Число $j$ при ваданном $l
eq 0$ монет прннимать дна значения, $l+1 / 2$ и $l-1 / 2$, в зависимости от ориентации сипна пуклопа: по орбытальному моменту пли иротив него. При $l=0$ возможно только единственное значепие $j=1 / 2$. Прп заданном $j$ квантовое число $m$, может принимать все значения: $-j,-(j-1), \ldots,+(j-1),+j$, т. е. всего $2 j+1$ значениї.

Для обозпатения стационарных состояниї нуклопа применяется символика, аналогичная той, какая употребляется в атомной физике. На первом месте в катестве гоәффпцпента ставится главное кваптовое число $n$, затем (для определепия $l$ ) пдет одна из букв $s, p, d, \ldots$ с индексом впизу, который обозначает квантовое число $j$. Например, символ $2 d_{5 / 2}$ означает состояние, у которого $n=2, l=2, j=5 / 2$. Заметим, что ввиду сферической симметрии самосогласованиого нуклониого потендиала энергия нукнона от квантового чпсла $m$, не завнспт.
10. В невозмущенном состоянии лдра с числом протонов $Z$ и чпслом нейтропов $N$, согласно принципу Паули, должпы быть заполнены нсе $Z$ эпергетически самых низних протонных состояший и все $N$ также эпергетически самых низких нейтронных состояний. Поскольну эшергия не зависпт от $m_{j}$, каждый энергетический уровень характеризуется квантовыми числами $n, l$ и $j$. Энергетические уровни нуклона, как требует опыт, надо сгруппировать в оболочки. Оболочками называются совокупности близких по энергии уровней, разделенных энергетическими интерваламп, зичительно превышающими расстояния между энергетическим уровнями внутрп самих оболочек. Ядра с полностью вастроенными протопної или пейтронной оболочками являются масическими. Действительно, на ядрах с полностью застроенными нуклопными оболочками должно пронсходить резкое увеличение анергии отцеления пуклона от ядра. А әто как раз то свойстио, которое выделяет магическе ядра среди остальных. Несьвпалепите ядериых магических чисел с порядковыми номерами атомов благородиы газов. у которых также застроены әлектропиые оболочки, связано с отличием самосогласованного поля яцра от соотнететвуюнего поия элентронной обогочкп атома.

Нуклоный самосогласованый потенциал надо подобрать так, чтобы получнась оболочечная струєтрр, соответстующая онытным танын. При әтом недостаточно ограпиться заниспмостью самосогласованғо поля от радиуса $r$. Нало еще учеть спин-орбтальное взанидейстие. На это в 1949 г. независимо лруг от друга ойратили внимапие Мария Гёптерт-Майер (19061972) и X. Иенсен (1907-1973), разработаншие напболее удатныї вариант оболочечної модели ядра. Спин нуклона может быть направлеп лпбо по орбитальпому моменту, либо протпв него. В первом случае энергетические уровни спускаются пиже, во втором поднимаются выне. Этот сдвиг вало подобрать так, чтобы получилась правильпая послеловательость наблюдаемых магических чисел, что п было сделапо Гёпперт-Майер и Йевсепом. Спин-орбитальное взанмодействие математически учитывается внбором гамильтонина $\widehat{\mathscr{C}}$ в уравнении Шредигера $\mathscr{\mathscr { C }} \psi=\mathscr{E} \psi$. Этот гамильтопиап выбирают в внде
\[
\widehat{\mathscr{H}}=V(r)+U(r) s l,
\]

где $s$ – вектор спина нуклопа, $l$ – его орбитальный момепт. Как уже указывалось выше, векторы $s$ п $l$ могут быть лиоо параллельны, либо антипараллельны. Потенциал $V(r)$ схематически иредставлен на рис. 141. Ои имеет внд ямы с практически нлоским дном, круто ноднимается вблизи ее гравицы, а затем быстро и плавпо обранается в пуль; $U(r)$ – центрально-симметричный потенциал, более слабый, чем $V(r)$. По апалогии с атомом обычно нолагают
\[
U(r)=b \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r},
\]

где постоянная $b$ вазывается постоянной спин-орбитального взаимодействия. На основе нуклонного самосогласованного потенциала вида (78.2) и была разработана оболочечная модель ядра.
11. Расположение әнергетических уровней нуклона, каким опо получается в результате решения уравнения IIредингера с простейшим эмпирически подобранным гамильтонианом вида (78.1), представлепо в табл. 12. В каждой строке приведены состояния нуклонов, входящих в определенную оболочку. Энергии состояния (отрицательные) растут слева направо. Нумерация оболочек натинается с оболочки I и растет для последующих оболочек. В предпоследнем столбце указаны числа нуклонов в каждом состоянни (определяемые числом $j$ ) и в каждой оболочке, а в
\[
\text { Таблица } 12
\]

последнем – полное число пуклонов (протонов и нейтронов в отдельности) в ядре, закапчивающемся застроенной оболочкой. Расположение энергетических уровней и их группирование в оболочи приведено также па рис. 142. Отсчет энергип на рисупе 142 ведется от дна потенцильпой ямы. Таблцца и рисунок относятся к любому типу нуклонов: как к протонам, так и ‡ пейтронам. Обращаем внимание на расщепление уровня с определениым $l$ на два подуровня с $j=l+1 / 2$ п $j=l-1 / 2$, обусловленное спин-орбитальным взапмодействпем. Это расщепление растет с увеличением квантового числа $l$. Уже при $l=3$ расщепление $1 j$-состояния иа $1 \int_{7 / 2}$ и $1 \int_{5 / 2}$ столь зачитеньно, что обпаруживается повышенная стабильность ядра с числом пужлонов 28. Поэтому иногда при рассмотрении некоторых своїств ядер число 28 относят к магическим, хотя на нем п не оканчивается заполнение протонной или нейтронной оболочги. Из-за известной неопределенности в выо́оре эмпирических потенцилов $V(r)$ и $U(r)$ в гамильтонане (78.1) распределения квантовых состояний по энергетическим уровням в различиы литературных псточниках слегка отличаотся друг от друга. Здесь приведено одно нз возможных распределений.

Успехи оболочечной модели ядра при объяснении магических чисел явились исторически первым и самым важным аргументом в пользу признания этой модели. Но оболочечная модель объясняет и некоторые другие факты. Сюда относятся, например, предсказания спинов и четностей ядер, а также вычисление их магнитных моментов. На этих вопросах мы останавливаться не будем. Многие факты остаются необъясненными и в оболочечной модели. Это внолне естественно, если иметь в виду эмпирический характер модели и недостаточную обоснованность ее исходных положений.

Табл. 12 заканчивается шестой оболочкой для нейтронов. Вопрос о существовании оболочек более высокого порядка остается открытым, так как такне оболотки относятся к таким трансурановым ядрам, которые еще не получены и неизвестно, будут ли они вообце получены. Кроме того, надо иметь в виду, что с увеличением массовых чисел увеличивается число эпергетических уровней, которые должны сформировать оболочку, а также уменьгается просвет между соседними оболочками. Поэтому при достаточно больших массовых тислах, если даже соответствуюпие трансураповые ядра будут полутены, само представление об оболочечной структуре ядра может потерять смысл. Для оболотки низкого порядка зпатения магических тисел прп разумиых выборах самосогласованиого потенциала почти ве зависят от его формы. Для выспих же оболочек предсказание значений магических чисел не вполне однозпачно, тал как с увеличением помера оболочки порядок ее заполпения становится более чувствительпы к тонРис. 142 ким деталям формы протонного п нейтроппого самосогласованпих потеццилов. Все же делаются попытки предсказать значения магических чисел гипотетических VI-̆̆ протоншой и VII-й нейтроншой оболочек. Наиболее вероятиы значением магического числа для VI-й протонной оболочки считается $Z=114$, а для VII-й нейтронной $N=284$. Магическое число $Z=114$ не совпадает с магическим числом $N=126$ для того же VI-го номера нейтронной оболочки. Это связано с наличием кулоновского потендиала в случае протонов. Ожндают, что время жизни трапсуранового элемента с $Z=114$, если он будет получен, окажется на много порядков больше времен жизии соседних трансурановых элементов. Такой элемент, возможно, будет практически вести себя кан стабильный и наїдет научи-техниеские применения. Этот вопрос остается открытым.
12. Закончим эту главу краткой характерпстпкої так называемой обобщенпой модели ядра, пачала которой были за:гоісены Рейнуотером (р. 1917) и которая быта разработана гінвих образом Ore Бором (р. 1922) п Б. Моттельсоном (р. 1926). В обобщепной модели предполагается, что ядро состоит пз витрепией устойчивой части – остова, образованого нуклонами заполненных оболочек, и впешиих нуклонов, двияущихся в поле, создаваемом остовом. Движенше остова описывается коллективой моделью. Однако под влияпем паружных нуклонов остов может колебаться, пзменяя свою форму. За счет этих котебаниї пзменяется и поле остова, в котором движутся наружные нуклоны. Согласпо одночастичной оболочечної модети квадрупольный электрпчесий момент ядра полиостью определяется состоянием движения наружного нуклона. Поэтому в этоӥ модели он не может по модулю превынать прпмерно $10^{-23}$ см $^{2}$ для всех ядер с нечетным числом протонов п должен обращаться в пуль для всех ядер с нечетным числом нейтронов. На самом деле имеются ядра с нечетиым числом нейтронов, у которых квадрупольныї этектрический момент в десятки раз превышает одночастичпое значене для одного протона. Например, у ядер ${ }^{235} \mathrm{U}$ и ${ }^{233} \mathrm{U}$ с чпслами нейтропов, равными соответственно 143 п 141, квадрупольше моменты равны $9 \cdot 10^{-21}$ п $14 \cdot 10^{-21} \mathrm{~cm}^{2}$. Очень велики квадрупольные электрические моменты и у многих ядер с нететным числом протонов. Обобщенная модель объяснила большие квадрупольные моменты некоторых ядер спльної деформациеї остова, вызываемой внешними пуклопамп ядер. В результате этого остов становится несферитеским, принимая форму вытянутого, сплюспутого или трехосного эллипсопда. Обобщенная модель позволила провести классификацию уровней энергпи ядра – ввести понятие однотаститных (связанных с возбуждением наружных нуклонов) и коллективных (вращательных и колебательных, связанных с возбуждением остова) уровней ядра, определить эпергии уровнеї, спин и четность.