10 ГЕОМЕТРИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ; ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ

Исследование турбулентности — одна из старейших, сложнейших и наиболее неблагодарных глав в истории физики. Простого здравого смысла и кое-какого опыта достаточно, чтобы показать, что в одних условиях поток газа или жидкости остается гладким (в специальной терминологии — «ламинарным»), а в других — нет. Вот только где провести границу? Следует ли обозначать термином «турбулентность» все негладкие потоки, включая большую часть метеорологических и океанографических феноменов? Или лучше будет сузить значение этого термина до какого-то одного класса, и если да, то до какого? Создается впечатление, что у каждого ученого имеются собственные ответы на эти вопросы.

К счастью, нам не нужно разбираться здесь с этими расхождениями во мнениях, так как мы намерены заниматься лишь бесспорно турбулентными потоками, самой заметной характеристикой которых является полное отсутствие сколько-нибудь определенного масштаба длины: в рамках одного процесса соседствуют «вихри» всевозможных размеров. Эта характерная черта хорошо видна на рисунках Леонардо и Хокусая. Она указывает на то, что турбулентность глубоко чужда духу «старой» физики, которая имела дело лишь с явлениями, имеющими вполне определенный масштаб. И та же самая причина включает изучение турбулентности в круг наших непосредственных интересов.

Кому-то из читателей, наверное, известно, что практически все исследователи турбулентности сосредоточивались на аналитическом рассмотрении потока жидкости, совершенно не касаясь геометрической стороны проблемы. Хочется верить, что эта несбалансированность не отражает предубежденного отношения к геометрии. По сути дела, многие геометрические формы, участвующие в турбулентности, легко увидеть или сделать видимыми, и они прямо-таки напрашиваются на надлежащее описание. Однако им не удавалось привлечь к себе заслуженного внимания до появления фрактальной геометрии. Потому что, как я с самого начала и предполагал, турбулентность включает в себя множество фрактальных аспектов; о некоторых из них мы поговорим в этой и последующих главах.

Здесь необходимо сделать две оговорки. Во-первых, мы оставим в стороне проблему возникновения турбулентности в ламинарном потоке. У меня есть серьезные основания полагать, что в это возникновение также вовлечены некоторые, весьма важные, фрактальные моменты, однако они еще недостаточно разъяснены и поэтому их еще рано обсуждать здесь. Во-вторых, мы не намерены затрагивать такие периодические структуры, как ячейки Бенара и дорожки Кармана.

Начинается глава с призывов о более геометрическом подходе к турбулентности и об использовании при ее исследовании фракталов. Призывы эти многочисленны, но весьма кратки, так как включают в себя в основном предположения с очень небольшим (пока) количеством практических результатов.

После этого мы сосредоточимся на проблеме перемежаемости, которую я довольно активно исследовал. Самый важный из моих выводов состоит в том, что область рассеяния, т. е. пространственное множество, на котором концентрируется турбулентное рассеяние, может быть смоделировано фракталом. Из произведенных с различными целями измерений можно заключить, что размерность  этой области лежит где-то в районе 2,5-2,6, но, вероятно, не превышает 2,66.

К сожалению, у нас не получится построить точную модель, пока мы не определим топологические свойства области рассеяния. В частности, представляет ли она собой пыль, извилистую разветвленную кривую (вихревую трубу) или волнистую слоистую поверхность (вихревой лист)? Первое предположение маловероятно, а второе и третье предполагают модели, похожие на разветвленные фракталы из главы 14. Однако принять такое решение мы с вами пока не можем. Прогресс на новом фрактальном фронте никак не помогает нам разобраться с фронтом старым, топологическим. Наши знания о геометрии турбулентности все еще пребывают в зачаточном состоянии.

Большая часть материала этой главы не требует какой-либо специальной подготовки. < Но специалист наверняка заметит, что часть фрактального анализа турбулентности представляет собой геометрический аналог аналитического анализа корреляций и спектров. Отношения между теориями турбулентности и вероятности — старая история. В самом деле, самые первые исследования Дж. И. Тейлора оказались вторым по значимости (после броуновского движения Перрена) фактором, оказавшим серьезное влияние на создание Норбертом Винером математической теории стохастических процессов. Спектральный анализ уже давно вернул (даже с процентами) все, что он «занимал» в тогдашних исследованиях турбулентности. Настало время и для теории турбулентности воспользоваться достижениями современной стохастической геометрии. В частности, спектр Колмогорова имеет геометрический аналог, который мы рассмотрим в главе 30. ►

ОБЛАКА, КИЛЬВАТЕРНЫЕ СЛЕДЫ, РЕАКТИВНЫЕ СТРУИ И Т. Д.

Общей задачей геометрии турбулентности является описание формы границы области, внутри которой проявляется какое-либо характерное свойство жидкости. В качестве яркого примера таких областей можно назвать нагромождение друг на друга валов как в обычных (водяных) облаках, так и в облаках, образуемых вулканическими извержениями или ядерными взрывами. На этом этапе нашего эссе и в самом деле трудно избавиться от ощущения, что раз уж существует интервал масштабов, в котором облако, можно сказать, имеет вполне определенную границу, то границы облаков просто обязаны быть фрактальными поверхностями. Это относится и к картинке, которую дает наступающий шторм на экране радара. (Первое подтверждение этого предположения можно найти в главе 12.)

И все же я предпочитаю иметь дело с более простыми формами. Мы можем рассмотреть турбулентность внутри ограниченной области, окруженной со всех сторон ламинарной жидкостью — скажем, кильватерный след или реактивную струю. В самом грубом приближении, каждая из этих областей представляет собой цилиндр. Если же рассмотреть ее границу подробнее, мы обнаружим целую иерархию выступов и впадин, величина которых возрастает с увеличением так называемого числа Рейнольдса — классической гидродинамической характеристики. Эта отчетливо видимая сложная «локальная» структура больше напоминает не цилиндр, а веревку с множеством плавающих вокруг распущенных концов. Типичное поперечное сечение такой фигуры уже совершенно не похоже на окружность, а оказывается ближе к кривой Коха и еще ближе к наиболее изрезанным береговым линиям с островами, рассмотренным в главах 5 и 28. В любом случае, граница реактивной струи выглядит фрактальной. Топология присутствующих в ней вихревых колец, безусловно, интересна, но не описывает всей структуры.

Прежде чем мы перейдем к следующему замечанию, я хотел бы, чтобы читатель представил мысленным взором картину какой-нибудь кильватерной струи — скажем, симпатичное нефтяное пятно, расплывающееся за вышедшим из строя танкером. Описывающий такую струю, в самом грубом приближении, «цилиндр» приобретает довольно сложную структуру: он совершенно теряет свою цилиндрическую форму, так как его поперечное сечение быстро расширяется по мере удаления от корабля, а его уже вовсе не прямая «ось» начинает демонстрировать всевозможные изгибы, типичный размер которых также увеличивается с увеличением расстояния от корабля.

Похожие свойства были обнаружены и в турбулентности, вызванной сдвигом относительно друг друга жидких масс, находящихся в соприкосновении (см. [56, 58]). Получающиеся в результате сцепленные структуры («животные») вызывают сейчас широкий интерес. Их внешняя форма лишена каких бы то ни было фрактальных признаков, однако иерархия тонких деталей изгибов границы между жидкостями демонстрирует поразительно фрактальную структуру.

В качестве еще одного примера такого рода можно привести знаменитое Красное пятно в атмосфере Юпитера.

Похожие, но все же другие задачи встают перед исследователем Гольфстрима. Гольфстрим не является единым морским течением с четкой границей — он делится на множество извилистых ответвлений, причем эти ветви, в свою очередь, также делятся и ветвятся. Было бы весьма полезно получить подробное описание его склонности к ветвлению — нет никакого сомнения, без фракталов здесь не обошлось.

ИЗОТЕРМЫ, ДИСПЕРСИЯ И Т.Д.

Интересно также было бы исследовать форму поверхностей постоянной температуры или изоповерхностей любой другой скалярной характеристики потока. Изотермы можно очерчивать с помощью поверхности, окружающей быстроразмножающийся планктон, который живет только при температуре воды, превышающей 45°, и занимает весь доступный ему объем. Граница такого пузыря чрезвычайно изрезана и искривлена; в конкретной модели из главы 30 граница очевидно фрак- тальна.

Целый широкий класс геометрических задач возникает в том случае, когда среда турбулентна во всем своем объеме; при этом взаимодействующие области отличает друг от друга какая-либо «пассивная» или инертная характеристика, которая никак не влияет на поток. Лучшим примером здесь будет рассеиваемая турбулентностью капля краски. Во все стороны от капли расходятся хорошо видимые бесконечно ветвящиеся языки всевозможных форм и размеров — и ни существующие методы анализа, ни стандартная геометрия не смогут оказать нам сколько-нибудь существенную помощь в описании образующихся фигур. На рис. 85 и в статье [386] вы найдете доводы в пользу фрактальной природы этих фигур.

ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Турбулентность при ясном небе. Изученные мною разрозненные источники дают возможность сделать вывод, что несущее множество этого феномена фрактально.

Поток вдоль фрактальной границы. Еще один типичный случай, в котором гидромеханике не обойтись без фракталов (см. рис. 74 и 104).

Растягивание вихрей. Движение жидкости заставляет вихри растягиваться, а растягиваемый вихрь должен сплющиваться, чтобы сохранить фиксированный объем при увеличивающейся длине. Я предполагаю, что в пределах масштабной инвариантности потока форма вихря стремится к фрактальной.

Траектория частицы в жидкости. В грубом приближении, навеянном птолемеевой моделью планетарного движения, представим себе частицу, которую несет вертикально вверх с единичной скоростью общее течение жидкости и которая испытывает возмущающее воздействие иерархии вихрей, каждый из которых совершает вращательное движение в горизонтальной плоскости. Результирующие функции  и  представляют собой суммы косинусоид и синусоид. Если высокочастотные члены очень слабы, то траектория частицы непрерывна и дифференцируема, а значит спрямляема, и ее размерность равна . Если же высокочастотные члены сильны и достигают 0, то траектория фрактальна с размерностью . Предположив, что вихри самоподобны, мы получаем траекторию, идентичную знаменитому пугалу математического анализа: функции Вейерштрасса (см. главы 2, 39 и 41). Это приводит нас к вопросу: можно ли связать переход всего объема жидкости в состояние турбулентности с условиями, при которых траектория движущейся в этой жидкости частицы фрактальна?

ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Турбулентность в конце концов заканчивается рассеянием: благодаря вязкости жидкости энергия видимого движения преобразуется в тепло. В ранних теориях предполагалось, что это рассеяние однородно в пространстве. Однако надежды на то, что модель «гомогенной турбулентности» может иметь хоть какой-то смысл были рассеяны Ландау и Лифшицем [286], которые отмечают, что одни области характеризуются высокой степенью рассеяния, тогда как в других по сравнению с первыми рассеяние практически отсутствует. Это означает, что хорошо известное свойство ветра налетать порывами отражено — и даже более последовательным образом — и в меньших масштабах.

Этот феномен, получивший название перемежаемость, был впервые исследован в работе [19], с. 253. См. также [18] (раздел 8.3), [433] и [434]. Особенно ярко выражена перемежаемость при очень больших числах Рейнольдса, т. е. когда внешний порог турбулентности достаточно велик по отношению к ее внутреннему порогу (например, на звездах, в океанах и в атмосфере).

Области, в которых сосредоточивается рассеяние, весьма удобно называются несущими или опорными.

Тот факт, что мы сводим в этом эссе вместе перемежаемость турбулентности и распределение галактик, совершенно естествен и даже не нов. Некоторое время назад физики (например, [579]) предприняли попытку объяснить происхождение галактик с помощью турбулентности. Понимая, что гомогенная турбулентность не сможет объяснить звездной перемежаемости, фон Вайцзекер набросал несколько поправок в духе модели Фурнье (или Шарлье, см. главу 9), а, значит, и в духе представляемой здесь теории. Если бы сегодня кто-нибудь занялся подобной объединяющей деятельностью, он вполне смог бы установить физическую связь между двумя типами перемежаемости и определить соответствующие самоподобные фракталы.

Одной из целей такого объединения может быть соотнесение размерности распределения галактик (, как нам известно) с размерностью, характеризующей турбулентность (где-то в районе 2,5-2,7).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Как мы заметили, один и тот же термин «турбулентность» применяется, как ни странно, для обозначения нескольких различных феноменов. Возможно, факт отсутствия четкого определения станет более понятным, если допустить — а я не просто допускаю, я заявляю, что так оно и есть, и намерен это доказать, — что подобающее определение турбулентности требует участия фракталов.

При слове «турбулентность» перед нашим мысленным взором появляется картинка, которая не меняется вот уже почти сто лет, с тех самых пор как Рейнольде впервые описал этот феномен по отношению к потоку жидкости в трубе: когда давление впереди потока мало, движение регулярно и «ламинарно», как только давление возрастает до определенной величины, вся регулярность неожиданно куда-то пропадает. В этом классическом примере носителя турбулентного рассеяния либо нет вообще, «пустое множество», либо им является вся труба целиком. И в том, и в другом случае отсутствуют не только достойные изучения геометрические особенности, но и сколько-нибудь веская причина для определения турбулентности.

С кильватерными струями все не так просто. Здесь существует граница между зоной турбулентности и окружающей ее водой, и геометрические особенности этой границы уже стоит изучить. Однако граница эта снова столь четко выражена, что не возникает насущной необходимости в отыскании «объективного» критерия для определения турбулентности.

Полностью установившаяся турбулентность в аэродинамической трубе также не представляет особых сложностей для исследователя, поскольку, как и в трубе Рейнольдса, зона турбулентности, по всей видимости, охватывает весь доступный объем. Тем не менее, используемые для достижения этого эффекта процедуры иногда весьма любопытны, если верить кое-каким упорно циркулирующим слухам. Говорят, что когда аэродинамическая труба только что запущена, она совершенно не годится для изучения турбулентности. Турбулентность не только не желает заполнять весь доступный ей объем, она и сама выглядит «турбулентной», проявляясь в нерегулярных и неконтролируемых порывах. Только после долгих трудов удается стабилизировать всю систему, превратив ее в некое подобие трубы Рейнольдса. Благодаря этому факту я числю себя среди тех, кому интересно, в какой степени неперемежающаяся «лабораторная турбулентность» в аэродинамических трубах может считаться тем же физическим явлением, что и перемежающаяся «естественная турбулентность» в атмосфере. Вывод: необходимо определиться с терминами.

К решению этой задачи мы подойдем кружным путем, начав с нечетко определенной концепции турбулентности и рассмотрев одномерные данные о скорости в точке. Приблизительный анализ таких данных может быть проиллюстрирован движениями центра тяжести большого самолета. Всякое отклонение самолета от своего пути указывает на наличие в атмосфере определенных областей с сильным рассеянием. Маленький самолет может послужить более чувствительным индикатором: он «чувствует» такие турбулентные потоки, которые никак не влияют на движение большого самолета, а каждый удар, претерпеваемый большим самолетом, воспринимается маленьким как целая серия более слабых ударов. Таким образом, если тщательно рассмотреть область сильного рассеяния в поперечном сечении, то станут ясно видны ламинарные включения, а при увеличении разрешающей способности анализа станут доступны и более мелкие включения.

Каждый этап требует переопределения того, что есть турбулентность. Понятие турбулентного интервала данных приобретает смысл, если понимать его как «интервал данных, который нельзя охарактеризовать полным отсутствием турбулентности». С другой стороны, более строгое понятие целиком турбулентного интервала данных представляется лишенным видимого смысла. По мере прохождения последовательных этапов анализа мы получаем все более ярко выраженную турбулентность на протяжении все меньшей доли от всего интервала данных. Объем носителя рассеяния, судя по всему, сокращается. Нашей следующей задачей будет построение модели этого носителя.

РОЛЬ САМОПОДОБНЫХ ФРАКТАЛОВ

Как я уже говорил, меня не удивляет тот факт, что на сегодняшний день по-настоящему исследованы очень немногие геометрические аспекты турбулентности, так как ученые имели в своем распоряжении только евклидовы методы. Чтобы избежать накладываемых ими ограничений, многие использовали в своих описаниях доевклидову терминологию. Например, в трудах по перемежаемости наблюдается необычно частое употребление таких «терминов», как пятнистый и комковатый, а Бэтчелор и Таунсенд [19] полагают, что «существует четыре возможных категории фигур: пузыри, пруты, бруски и ленты». Некоторые лекторы используют также (правда, чаще в устной речи) такие термины, как фасоль, спагетти и салат — образная терминология, не скрывающая мощи стоящей за ней геометрии.

Что касается тех исследований, которые я вел с 1964 г. и впервые представил на Киотском симпозиуме 1966 г. (см. [353]), то они усовершенствуют классический геометрический инструментарий добавлением в него самоподобных фракталов.

Отстаивать использование фракталов — шаг довольно новый и радикальный, однако обязать фракталы турбулентности быть самоподобными вполне укладывается в ортодоксальные рамки, поскольку само понятие самоподобия было впервые введено в обиход для описания турбулентности. Пионером в этой области выступил Льюис Фрай Ричардсон, с которым мы познакомились в главе 5. В 1926 г. [491] Ричардсон ввел концепцию иерархии вихрей, связанных каскадным процессом. (См. также главу 40.)

Кроме того, именно в контексте турбулентности теория каскадов и самоподобия достигла своих прогнозистских триумфов в период между 1941 и 1948 гг. Главными действующими лицами здесь были Колмогоров, Обухов, Онсагер и фон Вайцзекер, однако традиция связывает достижения этого периода только с именем Колмогорова. Как бы то ни было, где-то между Ричардсоном и Колмогоровым в теории турбулентности произошел некоторый почти незаметный сдвиг.

Если концепция самоподобия вытекает из рассмотрения доступных визуальному восприятию вихрей, то теория Колмогорова уже является чисто аналитической. Фракталы же позволяют применить методы самоподобия к геометрии турбулентности.

Фрактальный подход следует сопоставить с тем своеобразным фактом, что пузыри, пруты, бруски и ленты, составлявшие вчерашние варианты выбора, не самоподобны. Это, очевидно, и послужило причиной появления высказываний в том смысле, что выбор «примитивен» и что необходимы какие-то промежуточные варианты (см., например, [282]).

В голову приходят некоторые возможные произвольные изменения в стандартных формах специально для данного случая. Например, можно расщепить пруты на шнуры, окруженные свободно болтающимися прядями (вспомните аналогичную ситуацию с кильватерными или реактивными струями), и нарезать из брусков тонкие листы с отделяющимися слоями. Можно даже как-нибудь добиться самоподобия этих прядей и слоев.

Однако такое искусственное введение самоподобия никем до сих пор не было предпринято, и я, со своей стороны, считаю это занятие как неперспективным, так и малоприятным. Я предпочитаю следовать совершенно другим путем, предоставляя самому процессу генерировать и общие формы областей, и подробности структуры прядей и слоев. Поскольку в элементарных самоподобных фракталах отсутствует понятие привилегированного направления, мы не будем затрагивать (пока) все те интересные геометрические задачи, которые возникают при комбинации турбулентности и интенсивного движения всей системы.

< Обухов [454] и Колмогоров [277] представили в 1962 г. первые аналитические исследования перемежаемости. По своему непосредственному воздействию эти работы почти догнали работы тех же авторов 1941 г. [453, 276], однако в них имеются серьезные ошибки, и вряд ли можно говорить о сколько-нибудь значительной долгосрочной научной ценности этих работ. См. [367, 378, 387] и [280]. ►

ВНУТРЕННИЙ И ВНЕШНИЙ ПОРОГИ

Благодаря вязкости, внутренний порог турбулентности положителен. А кильватерные и реактивные струи и прочие подобные потоки явно демонстрируют конечный внешний порог . Сейчас, однако, очень многие полагают, что в конечности  следует усомниться. Ричардсон [491] заявляет, что «согласно результатам наблюдений, численные значения [предполагается, что они должны сходиться для образцов с размерами, близкими к ] зависят исключительно от того, насколько велика протяженность объема, учитываемого при вычислении. Исследования Дефан- та показывают, что в атмосфере предела достичь невозможно». Метеорологи сначала проигнорировали это заявление (слишком поспешное, на мой взгляд), потом просто забыли о нем. Новые данные, приведенные в главе 11, и исследование лакунарности в главе 34 только подтверждают мое убеждение в том, что вопрос пока еще не закрыт.

СТВОРАЖИВАНИЕ И ФРАКТАЛЬНО ГОМОГЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

На предварительном этапе мы можем приблизительно представить несущее множество турбулентности в виде одного из самоподобных фракталов, полученных в предыдущих главах с помощью створаживания. Это створаживание является грубой «дерандомизированной» формой модели Новикова-Стюарта в главе 23. После конечного числа  этапов створаживающего каскада рассеяние однородно распределяется по  из  неперекрывающихся субвихрей -го порядка, положения которых определяются генератором. Продолжив каскад до бесконечности, мы получаем предельное однородное распределение рассеяния на фрактале размерности . Я думаю, этот предел можно назвать фрактально гомогенной турбулентностью.

Гомогенная турбулентность по Дж.И.Тейлору получается при . Самым выдающимся результатом такого подхода является то, что створаживание не исключает размерности , однако допускает и новую возможность: .

ПРЯМОЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ТОМУ, ЧТО РАЗМЕРНОСТЬ НОСИТЕЛЯ ПЕРЕМЕЖАЕМОСТИ УДОВЛЕТВОРЯЕТ НЕРАВЕНСТВУ D>2

С точки зрения линейных сечений широкие классы неограниченных фракталов ведут себя достаточно просто: сечение почти наверняка пусто при  и с положительной вероятностью непусто при . (В главе 23 доказывается этот вывод для класса простых фракталов.)

Если бы множество-носитель турбулентного рассеяния удовлетворяло неравенству , то из предыдущего заявления вытекало бы, что практически ни один из экспериментальных замеров не попадет в зоны турбулентности. Так как этого не происходит, можно предположить, что в реальности . Это заключение обладает необычайной силой, поскольку оно опирается на многократно воспроизведенный эксперимент, возможные результаты которого сводятся к альтернативе между «часто» и «никогда».

Предварительный топологический аналог  (см. [387]) выглядит весьма многообещающе, однако слишком специально для того, чтобы подробно рассматривать его на этих страницах.

ГАЛАКТИКИ И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ. СРАВНЕНИЕ

Неравенство  для множества-носителя турбулентного рассеяния и обратное неравенство  для распределения массы в космосе (см. главу 9) происходят из тесно связанных между собой разных знаков величины  на типичном сечении фрактала и на его типичной проекции на плоскость (или на небесный свод). Для рассматриваемого в настоящей главе феномена такое сечение должно быть непустым. В главе 9, напротив, было показано, что эффект пылающего неба «отменяется», если большая часть проведенных от Земли прямых линий так никогда и не встречается ни с одной звездой. Это означает, что проекция всех звезд на земной небосвод должна иметь исчезающе малую площадь.

Различие между знаками при  в двух упомянутых проблемах должно иметь самое непосредственное отношение к различию между их структурами.

(НЕ)РАВЕНСТВО ПОКАЗАТЕЛЕЙ [353, 387]

Множество полезных характеристик фрактально гомогенной турбулентности зависит исключительно от . Эта тема рассмотрена в [387], где перемежающаяся турбулентность характеризуется с помощью ряда концептуально различных показателей, связанных некоторыми (не)равенствами. < Аналогичным образом обстоит дело с явлениями, происходящими в критической точке. ►

Спектральные (не)равенства. В [353] (где я, кстати, использовал обозначение ) было впервые получено некое (не)равенство; обычно оно выражается через спектр скорости турбулентности, однако здесь мы запишем его в вариационной форме. Внутри фрактально гомогенной турбулентности скорость  в точке  удовлетворяет следующему выражению:

,

где .

В случае гомогенной турбулентности Тейлора , а значит,  обращается в нуль, после чего остается классический показатель Колмогорова 2/3, с которым мы встретимся снова в главе 30.

В [387] также показано, что в более общей модели взвешенного створаживания, описанной в [378], .

-модель. Авторы работы [157] ухитрились нарастить на фрактально гомогенную турбулентность (как она описана в [387]) псевдодинамическую терминологию. Их интерпретация оказалась весьма удобной, хотя математические рассуждения и выводы идентичны моим. Термин «-модель», которым окрестили эту интерпретацию, даже приобрел некую популярность, и теперь его нередко идентифицируют с фрактальной гомогенностью.

ТОПОЛОГИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ: ВОПРОС ВСЕ ЕЩЕ ОТКРЫТ

В предыдущих главах мы встретили с избытком свидетельств тому, что одно и то же значение  может характеризовать множества, весьма отличающиеся с точки зрения топологической связности. Топологическая размерность  ставит нижнюю границу для фрактальной размерности , однако граница эта очень часто нарушается, причем величины этих нарушений столь велики, что сама граница теряет всякий смысл. Фигура с фрактальной размерностью в интервале от 2 до 3 может выглядеть и как «лист», и как «линия», и как «пыль», а разнообразие конкретных конфигураций настолько велико, что становится очень сложно подобрать или даже придумать новые названия для них. Например, фрактальные фигуры, в общем и целом напоминающие веревку, могут вырастить настолько плотные «пряди», что в результате получится нечто «большее», чем веревка. Аналогичным образом, фрактальные почти-листы оказываются чем-то большим, чем листы. Возможно также произвольно смешивать их «листовые» и «веревочные» признаки. На интуитивном уровне можно было бы понадеяться на то, что должна существовать некая более тесная связь между фрактальной размерностью и степенью связности, однако эту надежду математики потеряли где-то между 1875 и 1925 гг. Мы обратимся к одной специальной проблеме такого рода в главе 23, но уже сейчас можно сказать, что действительная природа весьма нечеткой связи между этими структурами представляет собой по существу неизведанную территорию.

Вопрос о ветвлении, поднимаемый в главе 14, также очень важен, но его воздействие на исследования турбулентности на настоящий момент пока не выяснено.

Неравенства эксцесса. Рассмотрение проблемы связности в [88], [565] и [507] основано на использовании меры перемежаемости, называемой эксцессом. Со стороны может показаться, что эти модели имеют дело с фигурами, которые сочетают в себе топологические размерности плоскости (листы) и прямой (пруты). В действительности же топология здесь рассматривается опосредованно, через показатель предсказанного степенного отношения между эксцессом и числом Рейнольдса. К сожалению, такой подход не срабатывает, так как на показатель эксцесса влияют различные добавочные допущения, и, в конечном счете, он зависит исключительно от фрактальной размерности D фигуры, генерируемой моделью. В [88] предполагается, что значение  равно топологической размерности, которая постулируется там же, . Предположение неверно, оно лишь отражает тот факт, что данные фрактальны, а сама модель — нет. В статье [565] постулируется , но  при этом принимает дробное значение 2,6, т. е. эта модель включает в себя некий приближенный фрактал. И все же, предпринятая попытка вывести из эксцесса комбинацию интуитивной «фигурной» и топологической размерностей лишена каких бы то ни было оснований.