Афинность (само- ) и подобие

Термины самоподобный и самоаффинный (неологизм) применяются в тексте и к ограниченным, и к неограниченным множествам (не внося, смею надеяться, двусмысленности). Во многих описаниях турбулентности, равно как и в моих ранних работах, термин самоподобный употребляется в «общем» смысле, включая в себя и понятие самоаффинности, однако в настоящем эссе общее значение оставлено лишь за термином  масштабно-инвариантный.  

1.  Самоподобие

Преобразование подобия представляет собой преобразование в евклидовом пространстве , определяемое вещественным коэффициентом . При таком преобразовании точка  переходит в точку , а множество , соответственно, в множество  (см. [235]).

Ограниченные множества. Ограниченное множество  самоподобно (относительно коэффициента  и целого числа ), если  представляет собой объединение  непересекающихся подмножеств, каждое из которых конгруэнтно множеству . Термин конгруэнтно означает «тождественно с точностью до смещения и / или /  поворота».

Ограниченное множество  самоподобно (относительно массива коэффициентов ),  если  представляет собой объединение  непересекающихся подмножеств, соответственно конгруэнтных .

Ограниченное случайное множество  статистически самоподобно (относительно коэффициента  и целого числа ), если  представляет собой объединение  непересекающихся подмножеств, каждое из которых имеет вид , где  множеств  конгруэнтны по своему распределению множеству .

Неограниченные множества. Неограниченное множество  самоподобно относительно коэффициента , если множество  конгруэнтно множеству .

2. Самоаффинность

Аффинное преобразование в евклидовом  - мерном пространстве определяется совокупностью положительных вещественных коэффициентов . При этом преобразовании каждая точка  переходит в точку

а множество , как следствие, переходит в множество .

Ограниченные множества. Ограниченное множество  самоаффинно (относительно вектора коэффициентов  и целого числа ), если  представляет собой объединение  непересекающихся подмножеств, каждое из которых конгруэнтно множеству .

Неограниченные множества. Неограниченное множество  самоаффинно относительно вектора коэффициентов , если множество  конгруэнтно множеству .

Вышеприведенное определение часто применяется при следующих условиях:  множество  представляет собой график функции  из скалярного времени  в  - мерный евклидов вектор;  ;  . В этом случае прямое определение выглядит следующим образом: вектор – функция  от времени самоаффинна (относительно показателя  и фокального времени ), если существует некоторый показатель  - такой, что при любом  функция  независима от .

Полуустойчивость по Ламперти. Случайные неограниченные самоаффинные множества в работах Ламперти [283, 285]  полуустойчивыми.

Аллометрия . В главе 17 мы отмечали, что при изменении высоты дерева (имеется в виду дерево растительного происхождения) в  раз диаметр его ствола изменяется в    раз. Скажем больше: представляющие точки, координаты которых и определяют различные линейные меры деревьев, аффинны друг другу. Биологи называют такие фигуры аллометрическими.