V НЕМАСШТАБИРУЕМЫЕ ФРАКТАЛЫ

15 ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ОБЪЕМА. ЖИВАЯ ПЛОТЬ

Фрактальные кривые, поверхности и пылевидные множества, описываемые и в научных целях приручаемые в этой части, можно назвать масштабно-инвариантными только в асимптотическом или как-нибудь иначе ограниченном смысле.

Первая глава части посвящена поверхностям положительного (не обращающегося в нуль!) объема. Что за безумное сочетание противоречивых понятий! Неужели мы, наконец, добрались до математических чудовищ, лишенных-таки какой бы то ни было полезности для естествоиспытателя? Ответ, и на этот раз, решительно отрицательный. Некая парочка весьма известных математиков-теоретиков,  полагая, что они старательно избегают всяческих связей с Природой, невольно подготовили для меня как раз тот инструмент, в котором я нуждался, чтобы (помимо всего прочего) описать геометрию … живой плоти.

Канторовы пылевидные множества положительной меры

В качестве предварительного шага освежим в памяти построение Кантором троичного множества . Его нулевая длина (а если быть точным до конца, то нулевая линейная мера) следует из того факта, что длины трем (средних третей) составляют в сумме

.

Однако то, что множество  является абсолютно несвязным (и, следовательно, его топологическая размерность ), не зависит от длин трем. Это свойство основано на том фундаментальном факте, что на каждом этапе построения каждый полученный на предыдущем этапе интервал рассекается удалением тремы, центр которой приходится на середину этого интервала. Обозначим отношение длин тремы и ее «несущего» интервала через , тогда выражение для совокупной длины интервалов, оставшихся после  этапов построения, принимает вид . Эта длина уменьшается при  до некоторого предела, который обозначим через . В оригинальной конструкции Кантора , следовательно, . Однако  всегда, когда . В этом случае остаточное множество  имеет положительную длину . Это множество не самоподобно, следовательно, не характеризуется размерностью подобия, однако, исходя из определения Хаусдорфа – Безиковича (см. главу 5), мы можем заключить, что размерность  такого множества равна 1. Из неравенства  следует, что множество  фрактально. Так как ни , ни  не зависят от длин трем , значения этих размерностей дают весьма поверхностную характеристику множества .

Еще более явным выглядит построение на плоскости. Вырежем из единичного квадрата крест площади , оставив четыре малых квадрата по углам. Затем вырежем из каждого малого квадрата крест относительной площади . Этот каскад порождает пыль, топологическая размерность  которой равна 0, а площадь выражается произведением . Если площадь не обращается в нуль, .

Аналогичным образом можно получить в  мерном пространстве пыль положительного объема с размерностями  и .

Плавающая величина

 Хотя канторовы пылевидные множества положительной меры площади или объема не имеют размерности подобия, представляется полезным записать равенство  и рассмотреть формальные размерности, определяемые как .

В своем медленном изменении размерность  воплощает идею об эффективной размерности, рассмотренную в главе 3 при описании спутанной в шар нити. На прямой размерность  предельного множества  представляет собой предел отношения . Более того, заключение  не требует непременной справедливости неравенства , а удовлетворяется выполнением более слабого условия . Как следствие, мы имеем три класса линейных канторовых пылевидных множеств:  с размерностью  и  нулевой длиной;   с размерностью  и нулевой длиной, и, наконец,  с размерностью  и положительной длиной.

Случай, подобный последнему , может произойти и с кривыми Коха. Для этого достаточно изменять генератор на каждом этапе построения и позволить его размерности  устремиться к 2. Возьмем, например,  и присвоим  (а значит и ) максимальное значение, о котором мы говорили в пояснении к рис. 83. Предельная кривая в этом случае обладает весьма примечательным сочетанием свойств: ее фрактальная размерность  нестандартна для кривой, однако ее топологическая размерность  и площадь, которая обращается в нуль, являются стандартными.

Та же комбинация свойств характерна и для броуновского движения (см. главу 25), только здесь она достигается при избежании двойных точек.

Формальная размерность может дрейфовать не только в сторону значения , но и прочь от него. Например,  этапов построения заполняющего плоскость дерева могут завершиться этапами с размерностью . Результат такого построения бывает полезен при моделировании определенных речных бассейнов, которые в масштабах, превышающих внутренний порог ,  выглядят как заполняющие плоскость, но в областях меньшего масштаба орошают почву не столь эффективно. Значение  очень велико в пустынях и очень мало (вплоть до 0) во влажных джунглях. Эффективная размерность таких рек составит  для масштабов, больших , и  для масштабов, меньших .

Кривые положительной площади

Так как наше интуитивное представление о пылевидных множествах весьма несовершенно, нас мало беспокоит пыль положительной длины или объема. А вот кривую, площадь которой отлична от нуля, проглотить уже значительно сложнее. Поэтому после того, как Лебег [294] и Осгуд [458] убедили всех в том, что глотать все равно придется, эти кривые сменили кривую Пеано на посту самого чудовищного чудовища. После описания соответствующего примера я покажу, что действительность не так страшна, как идея: поверхности положительного объема оказываются, в самом буквальном смысле, близки сердцу любого человека.

А идея заключается в обобщении построения со срединным смещением, приведенного на рис. 71. Мы оставляем неизменными бухты и полуострова, каждый из которых представляет собой треугольник, вдающийся в треугольник болота, причем середина основания полуострова совпадает с серединой основания болотного треугольника. Новизна состоит в том, что относительные ширины  бухт и полуостровов больше не являются постоянными, но стремятся к нулю при увеличении  таким образом, что . При таком построении площадь болота не стремится к нулю и, следовательно, предельное болото имеет размерность .  С другой стороны, болото оказывается совершенно отличным от любого стандартного множества с размерностью 2. Оно не только не имеет внутренних точек, но и является кривой с , поскольку окрестность любой точки может быть отделена от остального множества удалением всего двух точек.

Идею приведенного выше построения мы позаимствовали у Осгуда [458], несколько упростив его причудливую манеру упрощения сложных надуманных конструкций. Однако не дóлжно судить о ценности научного открытия, исходя из причин его совершения.

Геометрия артерий и вен

Позволяю себе процитировать Гарвея (1628 г., [201]): «Движение крови может быть названо круговым в том смысле, в каком Аристотель утверждает, что воздух и дождь воспроизводят круговое движение высших тел….  Подобно этому и в живом теле, благодаря движению крови… различные его части питает, лелеет и оживляет более теплая, совершенная, насыщенная, живая и питательная кровь, которая затем, после соприкосновения с упомянутыми частями, становится холодной, сгущенной и, так сказать, ослабленной».

Гарвей пытался донести до современников идею кровообращения, согласно которой почти в каждой точке тела можно найти на малом расстоянии друг от друга и артерию, и вену. (Загляните также и в «Венецианского купца» Шекспира.) В этой идее не нашлось места для капилляров, однако в первом приближении мы вполне можем потребовать, чтобы и артерия, и вена были расположены бесконечно близко от любой точки тела, - исключая, разумеется, точки, находящиеся внутри артерии (вены), которые не могут быть очень близко к вене (артерии).

Сформулируем это иначе (только в такой формулировке результат выглядит еще более странно!): каждая точка ткани, не относящейся к системе кровообращения, должна лежать на границе между двумя кровеносными системами.

Еще одно конструкторское ограничение заключается в том, что кровь нужно экономить. Отсюда полный объем артерий и вен должен составлять лишь малый процент от объема тела, оставляя бóльшую часть пространства тканям.

Чудовища лебега – осгуда внутри нас

С точки зрения евклидовой геометрии, наши критерии представляют собой изысканную аномалию. Искомая фигура должна быть топологически двумерной, так как она образует границу, общую для двух топологически трехмерных фигур, причем требуется, чтобы ее объем был одновременно не только пренебрежимо мал по сравнению с объемами фигур, которые она ограничивает, но и гораздо больше этих объемов!

Одно из достоинств фрактального подхода к анатомии заключается в демонстрации того, что вышеуказанные требования прекрасно сочетаются друг с другом. Всем требованиям, которые нам вздумалось наложить на конструкцию системы кровообращения, вполне отвечает пространственный вариант построения Осгуда, описанный в одном из предыдущих разделов.

Вены и артерии в нашей конструкции являются стандартными трехмерными областями, поскольку в них должны целиком умещаться сферы малого радиуса (кровяные шарики). С другой стороны, сосуды занимают очень небольшую долю от общего объема тела. Ткань – другое дело; в ней нет ни одного участка, сколь угодно малого, который не был бы пересечен и артерией, и веной. Ткань представляет собой фрактальную поверхность: ее топологическая размерность 2, а фрактальная размерность 3.

В таком виде вышеприведенные критерии теряют всю свою экстравагантность. И кому теперь интересно, что их появление связано с попыткой надуманного математического бегства от здравого смысла. Они оказались неизбежными и с точки зрения этого самого здравого смысла. Более того, фрактальные чудовища Лебега – Осгуда составляют самую сущность нашей плоти!

Об интуиции и здравом смысле

Совместное расположение дыхательных путей и кровеносной системы в легком также представляет собой весьма интересную конструкцию, в которой общую границу имеют уже три множества – артерии, вены и бронхиолы. Первым примером такого множества мы обязаны Брауэру. Рассматривая конструкцию Брауэра с учетом приведенных выше соображений, мы не найдем абсолютно никаких противоречий со здравым смыслом. Однако для оценки ее в исторической перспективе нам следует еще раз обратиться к нашему красноречивому поборнику интуитивного знания и общепринятых воззрений, Гансу Хану.

«Мы интуитивно знаем, что три области могут граничить между собой только в отдельных точках… Мы не в состоянии интуитивно постичь построение Брауэра, хотя логический анализ требует от нас его принятия. В очередной раз [обнаруживается], что даже в простых и элементарных вопросах геометрии совершенно нельзя полагаться на здравый смысл. Невозможно использовать [его] в качестве отправной точки или фундамента математической дисциплины. Пространство геометрии представляет собой … целиком логическое построение…

[Однако если] мы привыкнем иметь дело с подобными логическими построениями, если они проникнут в школьную программу, если мы будем узнавать о них, так сказать, с младых ногтей, так же, как мы узнаем о трехмерной евклидовой геометрии – тогда, очевидно, никому и в голову не придет сказать, что такие геометрические построения противны здравому смыслу».

Настоящее эссе служит наглядной демонстрацией того, что Хан опять оказывается глубоко неправ. Для того, чтобы справиться с теми неприятностями, о которых он говорит, необходимо, на мой взгляд, научить тот здравый смысл, который есть у нас сейчас, воспринимать новое – нет необходимости отбрасывать «старый» здравый смысл и пытаться воспитать «новый». Хан ставит ошибочный диагноз и прописывает лекарство, которое загонит пациента в гроб.

Здравый смысл в геометрии никогда не отрицал того, что он нуждается в помощи логики, невзирая на ее странные и запутанные методы. С чего бы логике опять пытаться от него ускользнуть?

Словом, ни в коем случае нельзя полагаться на то, что типичный математик считает совместимым со здравым смыслом; никак невозможно позволять какому бы то ни было здравому смыслу руководить нами при построении той или иной модели; и вообще, математика слишком важна, чтобы можно было отдать ее на откуп фанатикам от логики.