29 ПЛОЩАДИ ОСТРОВОВ, ОЗЕР И ЧАШ

Ниже мы более подробно исследуем броуновскую модель рельефа, предложенную в предыдущей главе. Ее выводы касательно площадей островов представляются вполне приемлемыми; однако те, что относятся к озерам и чашам, никуда не годятся. Для исправления этого несоответствия предложим усовершенствованную модель.

Проективные площади островов

Как указано в главе 13, изменчивость проективных площадей  океанических островов является очевидной характеристикой каждой карты, часто даже более выразительной, нежели очертания береговых линий. Мы отметили также, что Корчак [279] полагает распределение площадей  гиперболическим: . (теперь нам уже ничто не препятствует заменять  на .) Наконец, мы показали, что это эмпирическое заключение верно в том случае, когда береговая линия самоподобна. Теперь мы можем добавить: тем более достаточно предположить, что самоподобен рельеф.

Нет никакого сомнения, что соотношение  применимо не только к неслучайным коховым побережьям, рассмотренным в главе 13, но и к дробным броуновским нуль – множествам. Однако доказательство этого факта остается на данный момент отчасти эвристическим. Распределение же, соответствующее дробному броуновскому рельефу с , и впрямь подходит очень близко к эмпирическим данным относительно всей Земли.

Размерность  каждого отдельно взятого дробного броуновского острова пока не известна.

Проективные площади озер

Утверждается, что площади озер также подчиняются гиперболическому распределению, то есть может возникнуть искушение оставить озера в покое, так как ничего нового они нам не поведают. При более зрелом размышлении, однако, можно заметить, что определения озер и океанических островов ни в коем случае не являются симметричными.

Специальный анализ, вкратце описываемый в этой главе, проясняет многие вопросы, связанные с двумя озерными суррогатами – «глухими долинами» и «чашами», и ставит нас перед фактом, что реки и деревья водоразделов в природе асимметричны, чего не скажешь о моих броуновских моделях. Отсюда следует еще один довод в пользу упомянутой усовершенствованной модели.

Однако распределение площадей озер все еще остается загадочным. Возможно, его гиперболичность проистекает из «устойчивости» гиперболического распределения к всевозможным неприятностям (см. [342] и главу 38). Например, произведение случайного гиперболического множимого на  в основном произвольный множитель само является гиперболическим. Причины  гиперболичности множимого, возможно, следует искать в том состоянии, в котором пребывала первобытная Земля, когда и рельеф, и все вокруг было гиперболическим. А произвольностью множителя мы, скорее всего, обязаны тысяче  геологических и тектонических факторов, повлиявших на очертания береговых линий озер. Как бы то ни было, такое «объяснение», по сути дела, есть не что иное, как отговорка.

Понятие глухой долины

Это понятие симметрично понятию океанического острова и обозначает некоторую окруженную сушей область, расположенную ниже уровня моря. Мы будем называть такие области не требующим дополнительных объяснений составным термином «глухие долины». Некоторые из них заполнены водой (уровень которой, как правило, ниже уровня моря) – такие, например, как впадины Мертвого моря (уровень воды – 390,15 м.), Каспийского моря (- 28,04 м.) и озера Солтон – Си ( -71,63 м.). Другие глухие долины остаются сухими – такие, как Долина Смерти (уровень дна –85,95 м.) или Катарская впадина (-132,89 м.). Сюда же можно отнести и расположенную в южной части Шотландии низменность, по которой проходит граница между Шотландией и Англией.

У меня нет никаких данных о проективных площадях, ограниченных линиями уровня глухих долин на уровне моря. Однако, изучив географические карты, можно предположить, что глухих долин на поверхности Земли меньше, чем островов. В контексте той модели, которая полагает Землю плоской, за исключением добавленного к плоскости броуновского рельефа из плоскости в прямую,  такая асимметрия не является чем-то неожиданным. Одинаковость показателей распределений островов и глухих долин означает, что площади, например, десятых по величине острова и озера относятся друг к другу так же, как и площади двадцатых по величине острова и озера. Кроме того, в закон Корчака входит некий «префактор»  , который устанавливает абсолютное значение площади десятого по величине острова либо озера. Внимательное изучение приведенных в книге рисунков покажет вам, что в случае континента, окруженного водой, префактор для островов больше, чем для глухих долин (в случае внутреннего моря верно обратное). А в рамках модели броуновского рельефа из сферы в прямую меньшая площадь (Пангея) в большей степени раздроблена, нежели большая площадь (Панталассия).

Как бы то ни было, предыдущее рассуждение ничего не говорит об озерах – за исключением редких и несущественных исключений (таких, как участки рядом с морским берегом, заполненные просочившейся сквозь грунт морской водой) понятия глухих долин и озер не совпадают.

Высота дна озера не обязана удовлетворять неравенству , а высота уровня его поверхности – равенству . Еще одна сложность: большинство озер заполняются в точности до краев (т.е. до уровня, находящегося чуть выше уровня седловой точки), однако из этого правила имеются исключения (например, Большое Соленое озеро и озера, заполняющие придонные области глухих долин, перечисленных в начале этого раздела).

Понятие чаши

Рассмотрим теперь второй озерный суррогат – тот, что мы обозначили нейтральным геометрическим термином чаша.

Для определения этого понятия представим себе некий ландшафт из водонепроницаемого материала, каждое углубление в котором заполнено водой точно до краев. Для того  чтобы выбраться из углубления, капле воды приходится двигаться вверх, а затем вниз. Однако если капля добавляется извне, то она вполне может ускользнуть, вовсе не двигаясь вверх, - только по горизонтали или вниз. Каждое углубление обладает некоторой положительной площадью, следовательно, количество углублений либо конечно, либо бесконечно, но счетно. Ничто не мешает нам допустить, что различные стоки могут быть расположены на разной высоте. Линии уровня рельефа на точной высоте стока состоит из определенного количества непересекающихся замкнутых кривых и еще одной замкнутой кривой, содержащей точку самокасания. На чуть большей высоте самокасание пропадает. А на чуть меньшей высоте петля распадается на две петли, одна из которых вложена в другую.

Углубления из вышеописанного построения, заполненные водой, мы будем называть чашами.

Чертовы террасы

Допустим, что перед нами броуновский рельеф с параметром . Самоподобие такого рельефа не оставляет сомнений в гиперболичности распределения площадей отдельных чаш. Если размерность рельефа  не намного превышает 2, то показатель распределения площадей оказывается близок к единице.

Говоря конкретнее, суть моего предположения заключается в том, что капля воды, падая в случайно выбранную точку нашего рельефа, почти наверное попадает в какую-либо чашу. Если это предположение верно, то совокупность поверхностей чаш представляет собой в некотором роде экстраполяцию террасированных полей, распространенных в Юго-Восточной Азии. Я предлагаю называть такой рельеф чертовыми террасами. Точки, не попадающие в чаши, образуют совокупную береговую линию чаш и представляет собой разветвленную сеть или случайную разновидность салфетки Серпинского. На тот случай, если я не прав и совокупная граница чаш обладает в действительности положительной, а вовсе не нулевой, площадью (см. главу 15), у меня есть запасное предположение, заключающееся в том, что существует некая чаша, произвольно близкая к любой точке, не принадлежащей ни одной из чаш.

Броуновская модель с учетом выветривания: горные хребты и плоские долины

Возможно, кто-то из читателей уже испытывает неодолимое искушение модифицировать мои броуновские модели, предположив, что каждая из чаш броуновского материка  заполнена грунтом и образует плоскую равнину. Нет нужды графически иллюстрировать получающуюся при этом функцию , так как во всех представляющих для нас интерес случаях (т.е. когда  не намного больше 2) заполнение малых чаш не приведет к сколько-нибудь заметным изменениям во внешнем виде рельефа.

Для того чтобы у нас было чем заполнять чаши, следует допустить наличие выветривания, сглаживающего горы; как мы вскоре убедимся, количество требуемого грунта не так уж велико (если  не намного превышает 2), поэтому разумно будет предположить, что форма гор изменяется не слишком сильно. То обстоятельство, что выветривание сглаживает также и седловые точки, через которые чаши опустошаются, мы пока учитывать не будем.

С позиций настоящего эссе, главное достоинство предлагаемой модификации заключается в том, что при правильно подобранном уровне моря выветренный броуновский рельеф на плоской Земле остается масштабно-инвариантным. Как же такая эрозия влияет на размерность? Имеются данные, согласно которым значение размерности функции  находится в интервале между 2 и (размерность функции ).

Докажем, что относительное количество грунта, необходимое для заполнения всех чаш, невелико при . Порядок величины объема материка равен типичной длине проекции материка в степени , что прямо пропорционально площади материка в степени , а объем чаши по отношению к объему материка равен относительной площади чаши в степени  . Поскольку относительная площадь демонстрирует гиперболическое распределение с показателем, близким к единице, и поскольку сумма всех относительных площадей равна 1, можно заключить, что величина  весьма мала. Исключения из общего правила возникают тогда, когда наибольшая чаша чрезвычайно велика; такие чаши заполнять необязательно, как это и произошло в случае Большого Соленого озера.

Реки и водоразделы

В первом приближении (играющем центральную роль в главе 7) я предположил, что реки и водоразделы образуют сопряженные заполняющие плоскость древовидные фигуры. Вообще говоря, такое описание можно применить только к картам; как только мы вводим высоту, замечательная симметрия между деревьями рек и водоразделов нарушается. В самом деле, если пренебречь озерами, то точки, принадлежащие дереву водораздела, всегда являются либо локальными максимумами (холмами), либо локальными седловыми точками (перевалами), тогда  как точки дерева реки никогда не бывают ни локальными минимумами, ни седловыми точками. А поскольку в броуновских и дробных броуновских моделях локальные минимумы безусловно присутствуют, можно с полной уверенностью сказать, что деревьев рек в них нет, - и это еще один удар по моим броуновским моделям.

После того, как чаши заполнены, рек, как таковых, уже не остается – лишь ветвящиеся цепочки озер (бесконечно мелких), похожие на кактусы с дисковидными ветвями. Что касается водоразделов, то они образуют дерево; я полагаю, что это дерево представляет собой ветвящуюся кривую с размерностью , однако оно может оказаться и кривой с положительной площадью и, как следствие, размерностью . Возможны также и другие, самые различные, варианты, но их лучше приберечь до более подходящего случая.

Свойства чаш

Взглянем на высказанные ранее утверждения в более широкой перспективе, для чего рассмотрим сначала простой, одномерный случай – дробную броуновскую функцию  из прямой в прямую. Островом в таком рельефе будет интервал , в котором  при ,  а . Обозначим через  точку, в которой значение функции  достигает максимума (вероятность существования нескольких максимумов  исчезающее мала), и определим функцию  следующим образом:

, если  находится в интервале ,

, если  находится в интервале . 

Очевидно, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы капля, отправившись в путь из точки , добралась до океана, двигаясь все время по невосходящей траектории, является справедливость неравенства . Капли, для которых верно неравенство , остаются в чашах навсегда, а значение  соответствует уровню воды, достигаемому после заполнения всех чаш. Эта наша функция  представляет собой не что иное, как чертову лестницу Леви (см. рис. 399 и 400), идущую вверх от точки  до точки  и объединенную с другой лестницей, идущей вниз от  до .

Она непрерывна, но недифференцируема, и изменяется на множестве нулевой длины. Любая капля воды, добавленная вблизи высочайшей точки материка, вскоре вольется в океан, двигаясь только по плоским областям, чередующимся с «водопадами».

Капли, которые не могут утечь в океан, заполняют область . Эта область несвязна, так как она не содержит точек, в которых , а ее связные участки представлены расположенными на материке чашами. Длина чаши определяется как расстояние между двумя последовательными нулевыми значениями разности . Благодаря масштабной инвариантности функции распределение этой длины следует гиперболическому закону; известно, что при  показатель распределения также равен , и я убежден, что этот показатель всегда совпадает со значением параметра . Отношение наибольшей длины чаши к    имеет наибольшее значение при  и наименьшее при .

Вернемся к броуновскому материку  на плоской Земле. И в этом случае функция  определяется с помощью аналогичного условия: капля воды, отправившись в путь из точки, расположенной на высоте , может добраться до океана по невосходящей траектории, любая точка которой находится выше материка. Как и ранее, пространственная область, внутри которой справедливо неравенство , распадается на отдельные связные открытые области, определяющие чаши.

Сравним эти чаши с чашами на очень тонком срезе материка, ограниченном параллельными стенами  и , применяя введенные ранее обозначения  и . Согласно определению функции , пути утекания воды ограничиваются траекториями, которые находятся между упомянутыми стенами, тогда как определение  допускает гораздо более широкий выбор возможных путей утекания. Следовательно,   почти при любом . То есть функция , равно как и любое другое вертикальное сечение функции , представляется намного более интересной, нежели функция . Эти сечения представляют собой чертовски террасированные сингулярные функции с бесконечным количеством пикообразных локальных максимумов и плоских локальных минимумов. Если верно мое наиболее правдоподобное предположение, то последние покрывают почти все точки материка.

Так как сумма площадей чаш не может быть больше площади материка, чаши можно расположить в порядке убывания площади, а это означает, что множество чаш счетно. Следовательно, береговая линия материка , соответствующая некоторому случайному значению , почти наверняка не содержит двойных точек.

Значит, совокупную границу всех чаш можно получить следующим образом: возьмем некоторое счетное множество значений  - сюда почти наверное не войдет значение, при котором береговая линия образует петлю. Цензурируем множество береговых линий посредством удаления из всех значений  тех, что соответствуют береговым линиям глухих долин. К полученному объединению цензурированных береговых линий добавим его предельные точки.

Для любого  возможно непосредственное обобщение в броуновскую функцию от  - мерной переменной . Из приведенного выше рассуждения для случая  можно видеть, что при заданной функции  разница между  и  уменьшается по мере увеличения . В пределе, когда , а  - есть броуновская функция в гильбертовом пространстве, из классических результатов, полученных Полем Леви, следует что . Останется ли это тождество истинным для всех , где ?