ДОПОЛНЕНИЕ, ВОШЕДШЕЕ ВО ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ (ДЕКАБРЬ 1982)

Куршевельский семинар: вместо предисловия

Между отправкой книги в печать и ее действительной публикацией, и затем в течение того краткого времени, за которое разошелся первый тираж, фрактальная геометрия отнюдь не стояла на месте. Все быстрее внедрялась она в те области, где ее уже приняли, и даже проникла в несколько новых.

Я, в частности, организовал недельный семинар по фракталам, который прошел в июле 1982 г. в городке Куршевель (Франция), и на котором были впервые представлены многие новые разработки. Главной целью настоящего дополнения является обобщение этих результатов и некоторых других, тесно с ними связанных. Некоторые источники (помеченные в дополнительном списке литературы звездочкой *) привлекают внимание к другим работам, представленным на семинаре.

Вообще, становится трудно поверить, что всего несколько лет назад фрактальной геометрией природы кроме меня и нескольких моих ближайших сотрудников не занимался практически никто. Теперь же я, в лучшем случае, могу лишь (с помощью списка дополнительной литературы) обратить внимание читателя на вышедших на нашу сцену новых блестящих актеров.

Темы в дополнении располагаются приблизительно в том же порядке, что и в главном эссе.

Фрактал:  определение

К сожалению, этой скучной темы нам избежать не удастся, однако на сей раз, она занимает милосердно мало места.

Термин «хаусдорфова размерность», к немалой моей досаде, применяется теперь безо всякого разбору и к размерностям, перечисленным в главе 39, и ко всевозможным их вариантам. То же можно сказать и о «размерности Минковского», термине, который я однажды использовал на с. 164 эссе «Objects fractals» (1975) для обозначения размерности Булигана. Дело, очевидно, в том, что определенные неанглоязычные статьи, авторы и темы которых благодаря моей работе перестали наводить страх на научную общественность, приобрели некоторое влияние, вследствие чего им стали приписывать – причем зачастую понаслышке! – всевозможные достижения … и прегрешения.

Другие авторы бросились в противоположную крайность, сделав чрезмерно большой упор на методах, чаще всего используемых для оценки размерности  в практической деятельности – таких, например, как определение размерности подобия (см. с. 189 и 305) показателя в соотношении между массой и радиусом или спектрального показателя – и «канонизировав» их как методы определения «единственно верной» фрактальной размерности.

К сожалению, большинство вышеупомянутых реакций на «Фракталы» 1977 г. проявились слишком поздно. Знай я обо всем этом раньше, я, пожалуй, вернулся бы в настоящем эссе к подходу, хорошо зарекомендовавшему себя в «Objets fractals» (1975), т.е. отказался бы от поисков педантичного определения для термина «фрактал» и использовал бы «фрактальную размерность» в качестве общего термина, применимого ко всем вариантам размерностей, перечисленным в главе 39, а для каждого конкретного случая подбирал бы определение, наиболее подходящее в данной конкретной ситуации.

Однородная фрактальная турбулентность

Глава 11 этого эссе написана исключительно с целью выразить мое основное предположение относительно турбулентности, которое заключается в том, что турбулентность в вещественном пространстве представляет собой феномен на несущем множестве размерности .

Численные расчеты, призванные подтвердить справедливость этого предположения, еще не завершены (см. [624,  625]).

Кроме того, не так давно в [633] был предложен совершенно иной подход, в котором удлинение и свертывание вихрей из главы 10 исследуется с помощью методов, разработанных для исследования полимеров (глава 36), и предполагается наличие связи между размерностями турбулентности и полимерных структур.

Разломы в металлах и фракталы [652]

Неологизмы, как мы заметили в главе 1, требуют аккуратного к себе отношения: изобретая их, следует избегать возможного конфликта значений. Из поверхностного рассмотрения можно заключить, что, хотя поверхность разлома стекла, скорее всего, не фрактальна, многие поверхности разлома камней и металлов почти наверняка фрактальны. Руководствуясь этим неформальным предположением, можно сделать столь же неформальный вывод, что между терминами фрактал и разлом серьезного конфликта возникнуть вроде бы не должно.

В работе [652] мы подкрепляем это неформальное ощущение многочисленными экспериментальными данными, полученными при испытаниях на растяжение образцов из сталей 1040, 1095 и  и на ударное разрушение образцов из мартенситно - стареющей стали. Применяя методы, аналогичные тем, с помощью которых в главах 5 и 28 исследуется рельеф, мы убедились во фрактальном характере поверхностей разлома и оценили значения размерности . То, что применение этих методов оказалось успешным, весьма примечательно, так как поверхности разлома явно негауссовы и совсем не похожи на рельеф.

Напомним, что в главах 5 и 28 мы пользовались береговыми линиями островов и вертикальными сечениями. К сожалению, в естественных поверхностях разлома острова не наблюдаются, а определение вертикали (т.е. такого направления, при котором высота точки является однозначной функцией от ее положения на горизонтальной плоскости) очень редко подходит к какому-либо направлению.

Тем не менее, мы вполне можем определить неформальную вертикаль с помощью условия, согласно которому высота точки будет однозначной функцией для «большинства» точек. Затем мы проводим спектральный анализ высот прямолинейных горизонтальных сечений и строим график логарифма спектральной энергии на частотах, превышающих  как функции от логарифма .

Кроме того, оказывается полезным создавать искусственные «острова», «разрезая» образец параллельно почти горизонтальным плоскостям (при подготовке образца его сначала покрывают никелем с помощью метода химического восстановления, а затем закрепляют на эпоксидном основании методом вакуумной пропитки). Далее, используя мерный стержень некоторой фиксированной длины, мы определяем площадь каждого острова и его периметр на оцифрованном изображении и строим дважды логарифмические графики (как показано в главе 12) для того, чтобы убедиться в правильности нашего анализа фрактальных размерностей.

Взглянув на рисунки на с. 597 (слева и в центре), читатель может самостоятельно убедиться в том, что многие поверхности разлома укладываются во фрактальную модель с поразительной точностью: оба графика почти прямолинейны, а их угловые коэффициенты дают, в сущности, одинаковые размерности  . Более того, при повторении описанной процедуры на других образцах из того же металла получается то же значение . И напротив, традиционные оценки степени шероховатости весьма сложно воспроизвести.

Перефразируя замечание, приведенное на с. 164 по поводу рис. 169, можно сказать, что не много существует металлургических графиков, которые учитывали бы все доступные данные в столь обширном диапазоне размеров, и были бы при этом хоть приблизительно такими же прямолинейными.

Экспериментальные данные оказываются настолько хороши, что мы можем сразу же перейти к более тонкому сопоставлению. Согласно наблюдениям, значения разности  систематически составляет величину порядка нескольких сотен. Первое возможное объяснение заключается в погрешности оценки. Например, высокочастотная область спектра содержит огромное количество постороннего шума, а значит, ее принимать в рассмотрение не следует. Кроме того, мы весьма вольно обходимся с «озерами» и «прибрежными островами»: включаем первые и исключаем вторые, поскольку они должным образом не определены.

Однако расхождение может быть вызвано и вполне реальными причинами. По сути дела, почти идентичность значений  наводит на мысль, что исследуемые материалы оказались гораздо более изотропными, нежели мы предполагали. Если же рассмотреть образцы, которые просто обязаны быть анизотропными (исходя из метода их получения), то мы увидим, что значения  спектра и  береговой линии островов и в самом деле очень различны.

Альтернативная причина конфликта размерностей заключается в том, что поверхность разлома может быть изотропной, но не самоподобной – в этом случае величина  будет изменяться в зависимости от размеров образца (см. главу 13). Поскольку, согласно нашим двум методам, различным диапазонам масштабов соответствуют различные веса, можно заключить, что эти методы отражают реальное изменение размерности . В самом деле, в некоторых изученных нами образцах островные и спектральные диаграммы демонстрировали явно различные прямолинейные зоны, а для некоторых других металлов диаграммы оказались еще более сложными.

Для определения связи размерности  с другими характеристиками металла мы взяли образцы из мартенситно – стареющей стали марки 300 для испытаний на ударное разрушение по Шарпи и подвергли их нагреву до различных температур. Полученный в результате график, показанный и на с. 597 (справа) демонстрирует несомненное наличие связи между энергией удара и значением .

Поскольку факты установлены, невредно было бы поразмышлять об их возможных причинах. Мы полагаем, что разлом можно рассматривать как некую нетипичную форму перколяции. Известно, что, по мере того, как образец растягивается в разные стороны, полости, которые неизбежно присутствуют в образце вокруг посторонних включений, увеличиваются в размерах; в конце концов, эти полости сливаются между собой и разделяют образец на части. Если бы увеличение размеров той или иной полости не зависело от места ее расположения, мы получили бы перколяцию, подобную описанной в главе 13. Следовательно, размерность поверхности разлома принимала бы некое универсальное значение, не зависящее от материала. В действительности же, как только исходная полость дорастет до слияния с соседними полостями, возрастает нагрузка на оставшиеся связи и последующая скорость роста полости изменяется в зависимости от ее положения в образце. Эти изменения, безусловно, напрямую зависят от структуры материала, и, следовательно, размерность  совсем не обязана быть универсальной.

Формы облачных и дождевых областей [646,  648]

Глядя на замечательное соотношение Лавджоя, связывающее площадь и периметр облаков (см. рис. 169), невольно задаешься вопросом, нельзя ли в этом случае проделать то же, что мы проделали в главе 28 с земным рельефом, - я имею в виду построение фрактальных карт облачных и дождевых областей, которые нельзя будет ни вооруженным глазом, ни с помощью каких-либо измерений отличить от настоящих метеорологических карт.

Важный ингредиент для случая дождевых областей находим у самого Лавджоя [646], который обнаружил, что промежутки между выпадениями осадков следуют в точности тому же гиперболическому распределению вероятностей, что и разрывности в изменении цен на товарных биржах согласно [341] (см. главу 37).

Наше с Лавджоем совместное исследование [648] построено именно на этом фундаменте. Мы показываем, что гиперболически распределенные разрывности вполне согласуются с широко известным наблюдением, что разрывности в выпадении осадков возникают вдоль почти прямолинейных «фронтов». Для сохранения масштабной инвариантности вводится соответствующий перечень показателей, напоминающий те, что используются в теории критических феноменов, и в еще большей степени показатели турбулентности, предложенные в моей работе [387]. Полученные результаты, надо сказать, вызывают самые положительные эмоции.

Масштабная инвариантность, фракталы и землетресения [637,  638,  639,  619]

В главе 28 мы говорили о том, что земной рельеф представляет собой масштабно-инвариантную фрактальную поверхность и его можно генерировать посредством наложения грубых «ошибок». Тем, кто согласен с подобными утверждениями, гораздо легче принять идею того, что землетрясения (которые представляет собой не что иное, как динамические изменения рельефа) самоподобны, т.е. закономерности, описывающие время их возникновения, территориальный охват и силу, не связаны с каким-либо особым масштабом, а геометрия землетрясений фрактальна. Идея эта является главным посланием, которое вынесет для себя интересующийся фракталами читатель из ознакомления с работами [637,  638,  639,  619] (рекомендую).

А для усмирения гордыни советую подумать о том, что масштабную инвариантность землетрясений  обнаружил Омори еще сто лет назад; впрочем, авторы большинства статистических исследований землетрясений по-прежнему настаивают на том, что возникновение землетрясений следует пуассоновскому распределению. Что ж, вряд ли следует ожидать чего-то хорошего (о чем я уже рассуждал в главе 42), когда наука уступает общественному давлению, которое поощряет моделирование и теоретизирование и презирает «простое» описание без «теории».

Фрактальные границы в литиевых аккумуляторах [644, 645]

Электрическому аккумулятору полагается хранить электроэнергию в больших количествах и выдавать ее с нужной скоростью. Так как остальные характеристики зафиксированы, аккумулирующая способность зависит только от объема аккумулятора, скорость же разрядки является характеристикой поверхностей. Об этом знает всякий, кто знаком с фракталами (см. главы 12 и 15), и отсюда же Ален Ле Меоте заключил, что достижение баланса между аккумулирующей способностью и скоростью разрядки являет собой фрактальную задачу.

Поскольку нет никакой возможности реализовать на практике аккумулятор, поперечное сечение которого являлось бы терагоном Пеано (таким, например, как на рис. 106), Ле Меоте с сотрудниками [645] проводил теоретические исследования всевозможных реалистичных конструкций  и изучал настоящие аккумуляторы. Поразительна эффективность фрактальной геометрии.

Критические перколяционные кластеры

Перколяция на решетках: испытание модели из главы 13. Указанная фрактальная модель контактных кластеров в бернуллиевой перколяции, предложенная в главе 13, прямо-таки напрашивается на экспериментальную проверку. Спешу вас обрадовать: просьба удовлетворена.

В работе [642] определено число узлов в кластере на расстоянии от начала координат, меньшем , и установлено верное значение размерности . Кроме того, из перехода между фрактальной областью и областью однородности получено значение .

Перколяция в тонких пленках золота и свинца. Бернуллиева перколяция является, безусловно, математическим процессом. Хаммерсли вводит ее в надежде, что с ее помощью можно будет проиллюстрировать и тем самым прояснить многие природные феномены. Применимость фрактальной геометрии к бернуллиевой перколяции была опробована на примере гнусного золота [668] и благородного свинца [641].

Исследователи  приготовили тонкие пленки при комнатной температуре посредством электронного напыления на окна из аморфного  толщиной 30 нм, выращенные на кремниевой подложке. Пленкам была придана переменная толщина, в результате чего вместо одного образца получился целый ряд образцов – от полностью изолирующих до электропроводящих. Предсказания главы 13 оказались верными до последней запятой.

Низколакунарные фрактальные модели некоторых формальных пространств в физике [630]

В статистической физике считается, что иногда полезно постулировать то или иное пространство с дробной размерностью. Математиков же такие пространства выводят из душевного равновесия: мало того, что эти пространства никто нигде не строит, никто даже не берет на себя труд доказать их существование и единственность. Тем не менее, физики получают весьма существенные результаты, исходя из допущения, что упомянутые пространства действительно существуют и вдобавок обладают определенными сильными и желательными свойствами: они инвариантны при смещении, а их интегралы количества движения и рекуррентные соотношения можно получить из евклидовых пространств с помощью формального аналитического продолжения.

Пространства с дробной размерностью способны привести исследователя фракталов в замешательство. С одной стороны, существует большое количество альтернативных фрактальных интерполяционных пространств, и, следовательно, можно говорить о неопределенной интерполяции. С другой стороны, фракталы, которые мы в работе [165] применили для описания физических явлений, вовсе не являются инвариантными при смещении. В этом отношении может создаться впечатление, что фракталы не так хороши, как постулированные пространства с дробной размерностью.

Решение этой проблемы было подсказано аналогичной критикой, направленной в адрес моей первой модели распределения галактик. На тот случай, когда для фрактала невозможна точная инвариантность при смещении, в главах 34 и 35 показано, что можно подойти к инвариантности сколько угодно близко, придав достаточно малое значение лакунарности.

С этой точки зрения в работе [630] рассмотрена некая последовательность ковров Серпинского (см. главу 14), лакунарность которых стремится к нулю. Вычислены некоторые физические свойства и показано, что предельные фракталы с нулевой лакунарностью идентичны по своим свойствам постулированным пространствам с дробной размерностью.

Салфетка Серпинского:  Игрушка для физиков

Легко управляемые модели настолько милы сердцу физика, что любая конструкция, обещающая возможность выполнения вычислений без необходимости в приближениях привлекает самое широкое внимание.

Среди разветвленных фигур, рассмотренных в главе 14, наиболее важной является салфетка Серпинского, однако с ней и труднее всего работать. Тем не менее, манипуляциям она не поддается. Некоторые такие манипуляции, забавные и полезные, проведены в работах [663, 656, 657, 617].

Вопреки своему обыкновению, я выбрал для обозначения этой фигуры термин (салфетка Серпинского), не имеющий прямого французского эквивалента. Составители математического словаря не поняли, что под словом gasket я имел в виду ту деталь двигателя, которая предотвращает просачивание жидкости, а обычный словарь отправил их к кораблям и веревкам, т.е. к baderne и  garcette.  Поскольку смысл моего термина никак не мог соответствовать этим толкованиям, термин переопределили и обозначили им дополнение к тому, что он обозначал изначально!  На мой взгляд, здесь лучше подошло бы другое французское слово tamis, т.е. «сито» или «решето».

Клеточные автоматы и фракталы

Для того чтобы показать, что глобальный порядок может быть порожден силами, действующими исключительно между соседними элементами, я придумал пример, описанный на с. 452. Вскоре мне указали на то, что в моем примере действует так называемый «клеточный автомат» в том виде, в каком этот термин определен Джоном фон Нейманом (см. [621]). Улам показал (снова см. [621]), что выход такого автомата может быть очень сложным и выглядеть случайным. В других работах [669,  670,  667] показано, что этот выход может быть и фрактальным.

Итерации отображения  в комплексных числах: новые результаты и доказательства

В [650] включено много иллюстраций, для которых не хватило места в главе 19, и дополнительных наблюдений. Выход статьи [401] несколько задержался и ожидается в 1983 г.

Два важных наблюдения из главы 19 нашли теперь математическое подтверждение.

В работах [628, 627] путем отображения множества внешних точек  на множество внешних точек круга доказано, что замкнутое множество  и в самом деле связно.

В [659] доказано, что хаусдорфова мера дракона Жюлиа является аналитической функцией от параметра .

Квадрирующие отображения в кватернионах

В главе 19 установлено, что свойства отображения   при вещественных значениях  удобнее всего рассматривать как особые случаи этого же отображения при комплексных  и , и что итерации при комплексных  порождают неожиданные и весьма интересные картины. Таким образом, представляется естественным воспользоваться для углубления понимания и получения еще более красивых образов дальнейшим обобщением величины . А Нортон предположил, что следующим наиболее естественным окружением могли бы стать гамильтоновы кватернионы. Введенные в 1847 г., кватернионы хорошо знакомы как математикам, так и физикам, однако до сей поры им доставались лишь второстепенные роли. В контексте же итераций концепция кватернионов оказалась необычайно плодотворной как с математической, так и с эстетической точки зрения – подробный отчет читатель найдет в выходящих вскоре работах, моих и Нортона.

Против кватернионов имеются и возражения. Одно из них, например, заключается в следующем: комплексные числа вводят пространство  в пространство , которое можно представить визуально, в то время как кватернионы связаны с переходом к пространству с , которое визуально представить невозможно. Еще одно возражение: умножение кватернионов не коммутативно, т.е. если  является кватернионом, то отображения  и  различны.

Для иллюстрации топологических взаимосвязей фрактальных репеллеров квадратичного отображения в кватернионах в работе [655] разработаны новые компьютерно – графические методы. Множества всех кватернионов, не уходящих при итерациях в бесконечность, рассматриваются в трехмерных сечениях. Сечения таких множеств комплексной плоскостью являются фрактальными драконами, описанными в главе 19.

Некоммутативность же умножения кватернионов совершенно неожиданно превратилась в большое преимущество. Для объяснения смысла этого преимущества рассмотрим рис. С5. Вопрос: соединяются  ли друг с другом в пространстве кватернионов все или хотя бы некоторые темно-желтые области дракона? Ответ: в общем случае, каждый из вариантов записи,  или  (до перехода к кватернионам), вызывает появление совершенно различных связей между темно-желтыми областями. Следовательно, для более конкретного описания топологических взаимосвязей необходимы дополнительные данные.

В качестве менее запутанного примера рассмотрим рисунок, помещенный на с. 655; он представляет собой несколько адаптированный вариант иллюстрации из [655] и изображает простой случай с циклом, равны 4. Каждый большой сегмент дракона, полученный при сечении его комплексной плоскостью, вложен в соответствующий сегмент пространственной фигуры. В данном примере большие пространственные сечения являются почти инвариантными при вращении; они окружены многочисленными нетугими поясами, соединяющими малые сечения дракона. На рис. 8 представлен другой пространственный фрактал, полученный приблизительно таким же способом. У Стейна [662] можно найти еще несколько подобных иллюстраций.

Универсальность и хаос:   и другие отображения

С. Латте, современник Фату и Жюлиа, выделил отношение четвертого порядка полиномов, итерации которых «хаотичны» на всей плоскости, т.е. не притягиваются ни к какому меньшему множеству. Этот пример побуждает нас заняться поисками хаотического поведения в отображениях низшего порядка. Кроме того, в настоящем разделе рассматриваются классы универсальности для формы островов при  - отображениях.

Отображение  и его  - отображение. В особом случае  функция  следует правилу , которое вытекает также из приложения метода Ньютона к отысканию корней . Отметим, что можно положить , и выражение  примет вид  . Таким образом, запись  представляет собой просто-напросто занятный способ записать . Для рассмотрения других значений  было построено отображение, аналогичное тем, что представлены на рис. 268 и 269; часть его можно видеть на рис. 12.

Наблюдается очень интересная форма «универсальности»: «молекулы-острова» на рис. 12 принимают в точности ту же форму, что и при квадратичном отображении. То есть иллюстрации 12 и 268 – 269 построены из одинаковых «кирпичей». В открытом диске  итерации отображения  уходят в бесконечность за исключением точек , образующих пыль. В белом диске  итерации имеют две предельные точки. Когда значение  приходится на один из «отростков» черной «короны», существует некоторая предельная окружность, диаметр которой больше 2, но не слишком велик. Значения же  , оказавшиеся внутри короны  - отображения, дают хаотическое движение.

Вычисление можно упростить следующими допущениями.  Значение , приводящее к очень большой окружности, приходится на внутреннюю область столь малого атома, что его и разыскивать-то не стоит.  Все практически значимые малые окружности располагаются «вблизи» точки  . Таким образом, можно предположить, что любая орбита, уходящая «далеко» от точки , хаотична. Это приближение, разумеется, лишено конкретного обоснования, однако получаемое с его помощью  - отображение состоит из знакомых элементов, и значит, такой метод представляется вполне разумным.

Множества Жюлиа отображения . При  притягивающей точкой становится бесконечность, а множество Жюлиа представляет собой, как и в главе 19, границу множества  - точек, не уходящих в бесконечность. Пример множества Жюлиа, определенного как граница областей притяжения отображения , представлен на рис. 10.

Классы «универсальности»  - отображения. «Молекулы – острова», характерные для отображения , встречаются и во многих других  - отображениях, разница будет лишь в том, что в результате каких-то конкретных ограничений может образоваться не совсем типичный «континент».

Кроме того,  - отображения вида  также дают континент и острова. В этом случае, однако, каждое значение  обуславливает очень характерную форму атомов и молекул – островов.

Когда локальное поведение отображения  одинаково во всех критических точках , где , форма островов определяется локально. Когда  ведет себя в различных критических точках  по-разному,  - отображение строится из «универсальных кирпичей более чем одного типа. Мы как раз разыскиваем для этой проблемы что-то вроде «таблицы Менделеева».