34 ТЕКСТУРА: ПУСТОТЫ И ЛАКУНАРНОСТЬ, ПЕРИСТОСТЬ И СУККОЛЯЦИЯ

Понятие текстуры имеет склонность просачиваться между пальцами; математики и другие ученые стремятся его избегать, потому что оно никак не дается им в руки. Инженерам и художникам избежать его не удается, но в большинстве случаев не удается и справиться с ним ко всеобщему удовлетворению. Существуют, однако, многочисленные указания на то, что некоторыми отдельными аспектами понятия текстуры мы сможем вскоре овладеть на количественном уровне.

В сущности, большую часть фрактальной геометрии можно представить как своего рода неявное изучение текстуры. В этой и в следующей главах мы попытаемся явным образом рассмотреть два конкретных аспекта текстуры, уделяя особое внимание скоплениям галактик. Некоторые замечания о текстуре можно было поместить и в более ранние главы, начиная с 8–й и 9–й, однако мне показалось более предпочтительным собрать все, связанное с текстурой, в одном месте (пусть даже и ценой прерывания дискуссии о тремах!)

Как уже неоднократно упоминалось, мои поиски модели скоплений галактик шли поэтапно. На ранних этапах, описанных в главах 32 и 33, я добился желаемых значений размерности , сохранив при этом согласие с условным космографическим принципом. На поздних этапах, описанных в главе 35, достигнуто, ко всему прочему, и соответствие текстуры.

В этой главе несколько вводных разделов: в них представлены основные результаты наблюдений галактик, благодаря которым мне открылось различие между двумя аспектами текстуры, названными мною лакунарностью и сукколяцией. Латинское слово lacuna обозначает «пустое место, пробел», т.е. если фрактальное множество содержит достаточно большие пустоты (длинные интервалы, круги или шары большого диаметра), то мы вправе назвать его лакунарным. Сукколяционным же мы назовем фрактал, который содержит «почти» достаточное количество нитей, необходимых для осуществления перколяции; исходя из того, что латинское слово percolare означает «протекать насквозь» (глава 13), я придумал достойный, как мне кажется, неолатинский неологизм  succolare (т.е. sub - colare),  который означает «протекать почти» или «недопротекать».    

В остальной части главы мы введем некоторые меры лакунарности; что касается мер, характеризующих степень сукколяции, то они оказываются за рамками нашего элементарного повествования.

В главе 35 показано, как можно управлять лакунарностью и сукколяцией с помощью трем.

До сих пор главная роль при измерении фракталов была отведена топологической и фрактальной размерностям. Глава 14 явилась исключением (оставшимся, впрочем, без последствий), поскольку порядок ветвления определяет иные, более тонкие, различия между фракталами с одинаковыми размерностями  и . Мы повидали много различных выражений вида

,

однако до сих пор нас интересовал только показатель. Теперь же, если мы хотим разобраться с тем, что скрывается за понятием текстуры, нам придется обратить внимание и на префактор. Раз уж мы не можем игнорировать его и дальше, вряд ли нам стоит удивляться тому, что и Природа (наука), и человеческая мысль (математика) оказываются сложнее, чем представляется на первый взгляд!

«Перистые» нити галактик

В 1974 году, в Париже, после моей первой лекции, посвященной описанной в главе 32 модели, мое внимание было привлечено к одному таинственному открытию. В своей модели я тогда пытался достичь одной – единственной цели – получить заданное значение размерности  в некотором фрактальном множестве (по правде говоря, в то время я еще не додумался до термина фрактал). Однако во время обсуждения лекции некий оставшийся неизвестным астроном указал мне на еще один, весьма неожиданный, момент, добавляющий модели правдоподобия: в моих построениях точки нередко оказывались выстроенными вдоль почти прямых линий; обобщив результаты, можно заметить, что точки, как правило, рассыпаются вдоль довольно узких «почти – потоков» или «почти – нитей». Так вот, упомянутый астроном сообщил мне, что галактики обладают тем же свойством и даже в более ярко выраженной форме, а при внимательном рассмотрении такой галактический «почти – поток» распадается на более тонкие «почти – потоки». Кроме того, астроном подчеркнул, что термин поток в данном случае не годится, поскольку интересующие нас структуры несвязны.

Желая избежать путаницы в терминологии и подыскивая подходящее слово, я вдруг вспомнил о перистых облаках (так метеорологи называют высокие полупрозрачные «кружевные» облака) и пометил для себя, что галактики имеют перистую структуру и что следует усовершенствовать модель таким образом, чтобы эта перистость проявилась более явно. 

Лишь спустя некоторое, довольно значительное, время я действительно обнаружил упоминания об этом феномене в научной литературе: в 1937 г. Томбо наблюдал «перистые» структуры в сверхгалактике Персея, а в 1950 гг. де Вокулер сообщил о наличии таких структур в нашей и Южной сверхгалактиках. Дальнейшие подтверждения я нашел в статье Питерсона [471] (о каталоге Цвикки), в работе [242] и в докладе Сонейры и Пиблса, сделанном в 1978 году (относительно каталога Ликской обсерватории, подготовленного Шейном и Виртаненом, см. [467]).

Перистые фракталы

Очевидно, перистые структуры могут присутствовать в неслучайной фрактальной пыли, но совсем не обязаны этого делать. Например, в модели Фурнье (глава 9), порождающей совокупность «сосредоточенных масс», такие структуры напрочь отсутствуют. Напротив, если взять ковер Серпинского из главы 14 и разъединить его генератор (не проявляя излишней жестокости), то можно легко получить всевозможные перистые структуры. Поскольку размерность получаемого при этом фрактала может принимать, в сущности, любое значение, хочу еще раз подчеркнуть: перистость никак не связана с размерностью. Как бы то ни было, намеренно внесенные неслучайные перистые структуры выглядят слишком искусственно, чтобы на них стоило обращать особое внимание.

Вот почему мне показалось весьма знаменательным то обстоятельство, что в случайных моделях при значении , достаточно близком к 2, присутствуют непредусмотренные, но ясно различимые перистые структуры.

Это наблюдение подвигло меня на более тщательное изучение других семейств случайных фракталов. Особо очевидные и интересные конфигурации можно наблюдать на иллюстрациях после главы 28 и на рис. С17, где острова, многие их которых объединяются в архипелаги, имею форму атоллов чаще, чем какую-либо другую.

Ожидаемая перистость «почти» перколяционных фракталов

На рис. 426 и 427 хорошо видно, что во фракталах, построенных путем удаления случайных круглых трем (как описано в главе 33), наличествует ярко выраженная перистая структура. Для этого достаточно, чтобы размерность фрактала была близка к критической размерности перколяции , оставаясь «чуть ниже» ее. В данном случае причина возникновения перистой структуры очевидна. Представим себе последовательность фрактальных множеств, каждое из которых вложено в своего предшественника, а размерность  каждого последующего множества уменьшается, становясь в конце концов меньше . Известно, что топологическая размерность может измениться – скажем, уменьшиться с 1 до 0 – лишь дискретно, однако эта дискретность способна изменяться непрерывно. Например, размытая картинка, полученная путем замены каждой ее точки на шар радиуса , изменяется непрерывно. Такую несфокусированную картинку можно назвать «потокообразной» -  не толь при , но и тогда, когда разность  положительна (и невелика).

Отметим, что размерность  можно считать определенной и для фракталов, описанных в главе 32, только в этом случае ее значение вырождено и равно .

Наблюдаемая лакунарность галактик

Вот и второй скелет загремел костями в шкафах большинства моделей распределения галактик. Во избежание завистливой (даже если она и справедлива) критики авторов этих самых моделей, рассмотрим какую-либо из моих собственных ранних моделей, проанализированных в главах 32 и 33. При значении размерности , близком к экспериментальному , показанные на иллюстрациях ограниченные участки пространства имеют, на первый взгляд, вполне достойный вид. Однако карты всего небесного свода, построенные  на основании упомянутых моделей, оказываются совершенно неверными. Пустоты на этих картах включают в себя огромные области (покрывающие подчас более десятой части всего небосвода), абсолютно лишенные галактик в пределах любого заданного расстояния. В противоположность нашим картам, настоящие карты звездного неба (например, карта, составленная в Ликской обсерватории, см. [467]) выглядят весьма однородными, или изотропными – если, конечно, не рассматривать их отдельные участки в особо крупном масштабе. В таких случаях я говорю, что небосвод характеризуется низкой лакунарностью, тогда как в моих моделях лакунарность довольно высока.

«Очевидное» космологическое следствие. Это последнее обстоятельство где-то в начале 1970 гг. чуть было не ввело меня в соблазн неверной интерпретации картины звездного неба – такой, будто его размерность  представляет собой величину гораздо большую, нежели предложенное де Вокулером значение  [104]. Насколько мне известно, ученые – космологи преклоняются перед идеей об однородной Вселенной и полагают, что на расстояниях, превышающих некоторый малый внешний порог; во Вселенной преобладает однородность (с размерностью ). Им ничего не стоит поспешить с выводами и счесть вышеописанное несоответствие подтверждением мнения, согласно которому фракталы с размерностью  пригодны для описания лишь малой области Вселенной.

Лакунарность есть параметр, отличный от размерности . По правде говоря, я намерен показать, что при изменении видимой лакунарности часто бывает возможно сохранить неизменной размерность  фрактала. Основная идея проиллюстрирована на рис. 439 с помощью двух весьма различных на вид ковров Серпинского с одинаковой размерностью . Тот, что слева, демонстрирует бóльшие пустоты и является более лакунарным – как на первый взгляд, так и в соответствии с мерами, которые я вам вскоре представлю.

Истинное космологическое следствие. Напрашивающееся заключение о том, что наблюдаемая низкая лакунарность предполагает «малый» внешний порог , является, возможно, слишком поспешным. Адвокат дьявола готов в жарких дебатах отстоять свои убеждения, согласно которым «мелкомасштабные» свидетельства в пользу размерности   и «крупномасштабные» свидетельства в пользу почти полной изотропии вовсе не являются  несовместимыми с должным образом построенной фрактальной моделью, в которой  . Его цель в этих дебатах заключается не в доказательстве ложности неравенства , но лишь в демонстрации того, что определение  требует дополнительных данных и большей тщательности.

Лакунарность турбулентности

Вопрос о величине внешнего порога  не обошел стороной и исследователей турбулентности. В главе 10 упоминалось о том, что, согласно Ричардсону [491], значение  в атмосфере чрезвычайно велико, тогда как большинство метеорологов полагают его малым. Таким образом, бóльшую часть замечаний из предыдущего раздела можно после некоторой модификации отнести и к турбулентности.

Ввиду отсутствия активных и громогласных поборников истинности равенства , в теории турбулентности этот вопрос стоит не так остро, как при изучении распределения галактик, поэтому мне представляется более удобным рассматривать его именно в последнем контексте. 

Лакунарность канторовой пыли

Понятие лакунарности (в отличие от понятия сукколяции) имеет смысл и на прямой, а значит, подтверждение приведенных в предыдущих разделах положений проще всего получить на примере линейной пыли. Из главы 8 нам известно, что размерность  канторовой пыли  на интервале  может достигать любого значения между 0 и 1 (исключая границы) самыми различными способами и что результаты совсем не обязательно выглядят похожими друг на друга.

Это верно даже тогда, когда  разбивается на некоторое заданное количество  равных частей. В самом деле, значения  и  определяют общую для всех частей длину , но никак не ограничивают их размещения внутри интервала . Как следствие, одинаковые значения   и  (а значит, и ) могут соответствовать значительно отличающимся друг от друга распределениям частей.

Можно представить себе два крайних случая такого распределения. В первом случае все части собираются в две кучи, ограниченные, соответственно, 0 и 1. В середине при этом получается большой пустой промежуток, относительная длина которого  очень близка к единице. Примером такого множества может служить горизонтальное среднее сечение левого ковра Серпинского на рис. 439. В сущности, тот же эффект достигается размещением длинного пустого промежутка в любом месте интервала .

В другом крайнем случае  частей разделяются  пустотами одинаковой длины . Примером может служить горизонтальное среднее сечение правого ковра Серпинского на рис. 439. При случайном створаживании длины пустот почти одинаковы.

При  результат первого «крайнего» построения выглядит как несколько точек, имитируя тем самым размерность , тогда как во втором крайнем случае результат построения похож на «полный» интервал (размерность ). Можно, разумеется, сымитировать любую размерность между этими двумя крайними значениями, просто выбирая для  пустот соответствующую совокупность интервалов, относительная длина которых составляет в сумме .

Различие между крайними случаями возрастает пропорционально увеличению значений ,  и . По внешнему виду минимально лакунарного фрактала с большим значением  довольно сложно определить его фрактальную размерность. При малых же значениях  сделать это очень легко. Таким образом, угадывание размерности  по одному лишь внешнему виду фрактала имеет свои ограничения. Занятие это ни в коем случае не является пустым времяпровождением (и мы совсем недаром посвятили ему столько места в предыдущих главах), однако в случае галактик оно приводит к неверным результатам.

Некоторую ясность в этот вопрос вносит по необходимости «изгнанный» в главу 39 раздел, посвященный нелакунарным фракталам. При ближайшем рассмотрении оказывается, что основной характеристикой нелакунарного фрактала является его размерность подобия (которая, как мы убедимся, равна , а вовсе не хаусдорфова размерность. Здесь эти две размерности отличны одна от другой, причем последняя является более уместным воплощением фрактальной размерности. 

 и : пустоты или перистость

При  и  разумный выбор генератора может привести к одному из следующих четырех результатов: высокой лакунарности, низкой лакунарности, перистости, произвольно близкой к перколяции, либо полному отсутствию перистости. Таким образом, введенные нами два аспекта текстуры могут, в принципе, варьироваться независимо друг от друга.

Альтернативные меры лакунарности

За то короткое время, что я занимаюсь лакунарностью, мною обнаружено несколько различных, но равно достойных рассмотрения подходов к ее исследованию. К сожалению, не приходится ожидать, что получаемые при применении упомянутых подходов альтернативные меры окажутся монотонными функциями друг от друга. Они представляют собой вещественные числа, выбранные для представления формы кривой и, как следствие, сродни таким понятиям, как «средний человек» и «типичное значение случайной величины». Типичные значения являются неопределенными по самой своей природе – что есть печальный, однако непреложный факт (невзирая на решимость многих статистиков пожертвовать всем во имя защиты своих любимцев).

Префактор распределения пустот

Представляется весьма удобным измерять степень лакунарности канторовой пыли по относительной длине наибольшего пустого промежутка. В плоских же фигурах (таких, например, как представленные на рис. 439) лакунарность, с достаточной степенью точности, обратно пропорциональна отношению периметра тремы к квадратному корню из ее площади. Можно, однако, вывести и более многообещающий способ измерения лакунарности, и источником его послужит распределение размеров пустот.

Из главы 8 нам известно, что длины пустот канторовой пыли удовлетворяют соотношению  в том смысле, что зависимость , рассматриваемая как функция от , имеет график правильной ступенчатой формы. В настоящем обсуждении мы не намерены вносить какие-либо изменения в последний результат, за исключением того, что на первый план здесь выходит префактор , которому ранее не придавалось особого значения.

Приходится признать, что данное нами определение  несколько произвольно. Можно, например, считать, что значение  относится к линии, соединяющей левые концевые точки ступеней лестницы, правые концевые точки или же средние точки. К счастью, подобные детали не имеют здесь никакого значения. По мере роста лакунарности величина префактора уменьшается, как бы мы его ни определили (в разумных пределах, конечно же). То же верно и для масштабных коэффициентов объемов и площадей, относящихся к коврам Серпинского и фрактальным пенам. Во многих случаях рост степени лакунарности происходит из-за схлопывания многих пустот в один – единственный пустой промежуток бóльшего размера. При этом график ступенчатой функции «скользит» в направлении на 4 ч 30 мин, т.е. в направлении, более крутом, чем общий наклон лестницы , вызывая тем самым вышеупомянутое уменьшение .

Таким образом, мы видим, что в пределах довольно обширного (и все же особого) класса фракталов, куда входят канторовы пыли и ковры Серпинского, лакунарность можно измерить (а стало быть, и определить) с помощью префактора .

Применимость этого определения, однако, весьма ограничена. Оно не годится уже для случая, когда в середину большого центрального медальона ковра помещается другой, меньший, ковер. Следовательно, нам необходимо отыскать альтернативные определения. Самым подходящим представляется замена  более широко применимым префактором из соотношения .

Лакунарность как эффект второго порядка относительно массового префактора

Для описания нерекурсивно построенных фракталов (например, случайных фракталов) нам необходимы какие-то иные способы определения лакунарности. Способы, описанные в этом и следующем разделах, представляет собой всего лишь статистические усреднения (даже в случае неслучайной канторовой пыли). 

Рассмотрим для начала канторовы пыли, представляющие собой горизонтальные сечения двух фигур, изображенных на рис. 439. Положим общую массу каждой пыли равной 1 и рассмотрим массу, содержащуюся в различных подынтервалах одинаковой длины .   В левом, более лакунарном, примере эта масса изменяется  в довольно широких пределах (от 0 до ), тогда как в менее лакунарной фигуре справа изменения массы происходят лишь в небольшой окрестности некоторого среднего значения. К сожалению, в случае регулярной канторовой пыли весьма сложно точно вычислить распределение масс; в этом смысле гораздо удобнее рассмотреть более простой случай полностью случайной канторовой пыли .

Предположим, что пыль  пересекает интервал , и обозначим ожидаемую в этом интервале массу через  (причина такого обозначения вскоре прояснится). Если выбрать внутри интервала  некий малый интервал , то ожидаемая в этом интервале масса будет равна, как и полагается, . Однако, исключив малоинтересные случаи, где масса обращается в нуль, мы обнаружим, что ожидаемая масса возросла до . Ее значение зависит теперь от  - и ни от чего другого. (это означает, что вероятность пересечения нашей пылью интервала  равна .) Иными словами, саму массу можно записать в виде , где  - некоторая случайная величина: иногда большая, в других случаях малая, но в среднем равная , независимо от степени лакунарности.

Копнем теперь глубже и выясним, насколько сильно действительные значения  отличаются от нуля. Общепринятой мерой такого отклонения является ожидаемое значение выражения второго порядка , записываемое как . В тех случаях, когда невооруженным глазом видна низкая лакунарность фрактала, значение лакунарности второго порядка также мало, когда же степень лакунарности фрактала очевидно высока, значение лакунарности второго порядка велико. Таким образом, величину  можно считать кандидатом в определители лакунарности. Имеются и достаточно привлекательные альтернативные варианты (например, ), однако они гораздо сложнее в оценке, нежели средний квадрат.

Подведем итоги: мы вышли за рамки соотношения «масса пропорциональна » и обратили отдельное внимание на префактор пропорциональности массы величине . Отметим также, что понятие лакунарности не имеет ничего общего с топологией и касается лишь различий во фракталах при одинаковом значении ; возможность ее использования для сравнения фракталов с разными размерностями остается пока неисследованной.

Лакунарность как эффект первого порядка относительно массового префактора

Альтернативный подход к лакунарности связан с распределением массы в интервале  при условии, что средняя точка  интервала принадлежит пыли . Из этого условия  следует, что интервал  пересекает ,  однако обратное утверждение не обязательно истинно: если интервал  пересекает , то его средняя точка  не обязательно принадлежит . При таком, более строгом, условии ярче выраженной становится тенденция к устранению тех случаев, где масса оказывается значительно ниже среднего; в результате увеличивается ожидаемая масса. Иными словами, мы заменяем  новой величиной , при этом . Значение отношения  велико для очень лакунарных множеств  и мало для менее лакунарных множеств. Итак, перед нами еще один альтернативный кандидат на роль определителя и меры лакунарности: .

Переход при пороге и лакунарность

Рассматривавшиеся до сих пор подходы к описанию лакунарности являются внутренними, т.е. не подразумевают наличия какой бы то ни было внешней точки сравнения. Нам, однако, известно, что многие физические системы характеризуются конечным внешним порогом . Такие системы допускают еще один подход к лакунарности – не такой общий, как два предыдущих, но гораздо более удобный.

В самом деле, заменим наше фрактальное множество , в котором , другим фрактальным множеством , которое «похоже на » при масштабах, меньших , и почти однородно при масштабах, больших  . Примером порога  может послужить, например, радиус перехода, при достижении которого размерность распределения галактик изменяется с  на . До сих пор этому переходу дозволялось существовать без точного определения, однако дальше так продолжаться не может. Идея заключается в том, что наблюдателю, расположившемуся на точке из множества , порог  представляется размером наименьшего элемента, который необходимо исследовать, дабы получить достаточно полное представление о целом. Обитателю множества  должно казаться, что менее лакунарный мир становится однородным очень быстро, более же лакунарный мир – очень медленно.

Немедленно возникает побуждение записать

     при   

и    при   

и доказать, что переход происходит при , т.е. при . Следовательно,

     при    .

В малом варианте этого же подхода точка выбирается там, где две формулы имеют равные производные, следовательно, . При увеличении лакунарности (т.е. ) и фиксированных значениях  и  возрастают как , так и . Оба варианта являются очередными кандидатами, претендующими на место определителя и меры лакунарности.

Расширенное понимание инвариантности при сдвигах

Тот факт, что прямая способна при продольном смещении отображаться на самое себя, выражается фразой: «Прямая инвариантна при сдвигах». В главе же 22 заостряется внимание на том, что канторовы пыли обладают одним в высшей степени неприятным свойством: они не инвариантны при сдвигах. Например, оригинальная троичная пыль  и результат ее смещения на  даже не пересекаются. А вот пыль  и результат ее смещения на  пересекаются, причем пересечение содержит половину точек множества .

Если же мы будем сдвигать максимально лакунарные канторовы пыли с , то сколько-нибудь значительное перекрытие можно будет получить только при величине смещения, близкой либо к 1, либо к 0. В случае минимально лакунарных пылей, напротив, допустимая величина смещения может представлять собой (приблизительно) любое число, кратное .

Иными словами, для успешного применения канторовой пыли понятия инвариантности при сдвигах следует весьма значительно ослабить требования этой инвариантности, однако при низкой лакунарности пыли можно обойтись гораздо меньшим ослаблением.

В конце главы 22 мы пришли к выводу, что применить к фракталам инвариантность при сдвигах и космологический принцип возможно, если фракталы сделать случайными, а понятие инвариантности переформулировать к «условному» виду. Эта переформулировка, собственно, и является главной причиной введения случайных фракталов.

Стратифицированные и нестратифицированные текстуры

Процесс, используемый в этой главе для изменения сукколяции в ковре Серпинского и лакунарности в канторовой пыли и ковре Серпинского, предполагает возврат к описанию неслучайных и ранних случайных фракталов с точки зрения стратификации – весьма эффективный, но искусственный метод. В частности, ограничив коэффициенты подобия видом , мы обеспечиваем требуемую лакунарность ценой сужения диапазона самоподобия. При большом  (например,  - см. пояснение к рис. 141) и соответственно малом  стратифицированность значительна и хорошо заметна.

Такой способ управления сукколяцией и лакунарностью, очевидно, нельзя считать приемлемым. Поэтому я рад, что мне удалось добиться того же и даже бóльшего с помощью простого обобщения метода трем, которое заключается в замене интервалов, кругов и шаров более общими фигурами, которые мы обсудим в следующей главе. 

Нелакунарные фракталы

Как показано в соответствующем разделе главы 39, лакунарность фрактала может быть исчезающе малой.

Рис. 439. Лакунарность ковров

Рассмотрим ковры Серпинского, построенные с помощью следующих генераторов:

Оба генератора удовлетворяют параметрам  и , отсюда . Правда, с первого взгляда не совсем очевидно, откуда взялось , - и, тем не менее, так оно и есть, в чем можно убедиться, внимательно рассмотрев следующие этапы построения, приведенные на верхнем рисунке с семикратным увеличением.

Равенство размерностей  этих двух ковров также не бросается в глаза. Впечатление усугубляется еще и тем, что левый ковер, судя по его виду, содержит гораздо бóльшие пустоты, т.е. является более лакунарным (от лат. lacuna  «пустое место, пробел»). В тексте главы рассматривается несколько различных методов, которые помогут вам избавиться от этого ложного впечатления.

Размерность  замечательно близка к размерности бернуллиевой перколяции (см. конец главы 13), однако это обстоятельство не должно вводить нас в заблуждение: топологически эти два случая очень различаются.