Хаусдорфова мера и размерность Хаусдорфа – Безиковича

В качестве удобных источников общих сведений по теме рекомендую [231], [35], [497], [3].

1. Мера каратеодори

Кантору приходила в голову мысль о том, что «при исследовании размерностей непрерывных множеств невозможно обойтись без общего понятия объема или величины», однако он, по всей видимости, не уделил ей должного внимания. Лебег полагает, что, имей Кантор полное представление о сложности стоящей перед ним задачи, ему вряд ли удалось бы достичь сколько-нибудь значительных результатов. Эта мысль получила дальнейшее развитие в работе Каратеодори [67] и была впоследствии воплощена Хаусдорфом [203].

Классическая процедура оценки площади плоской фигуры начинается с аппроксимации множества  с помощью набора очень маленьких квадратов; далее сторона каждого квадрата возводится в степень  и полученные результаты складываются. Каратеодори [67] расширяет рамки этого традиционного подхода. Заменив квадраты дисками, он избегает зависимости от координатных осей; кроме того, с самого начала предполагается, что мы не знаем, является ли множество  стандартной евклидовой фигурой известной размерности, вложенной в известное пространство .

Заметим теперь, что если плоскую фигуру, вложенную в трехмерное пространство, можно покрыть дисками, то ее a fortiori можно покрыть шарами, экваторами которых являются эти диски. Следовательно, если мы не хотим заранее считать множество  плоским, нам достаточно покрыть его вместо дисков шарами. Если же   и в самом деле является поверхностью, ее приближенную меру можно получить простым сопоставлением каждому шару выражения вида  и последующим сложением этих выражений. В более общем виде, для получения меры какой-либо - мерной фигуры следует складывать выражения вида ; входящая сюда функция  была определена ранее в этой главе как протяженность шара единичного радиуса. На этом основании Каратеодори [67] распространяет понятия «длины» и «площади» и на нестандартные фигуры.

2. Хаусдорфова мера

Хаусдорф [203] расширяет определение Каратеодори, допуская возможность дробного значения  (функция  записывается таким образом, что она при этом продолжает иметь смысл). Таким образом, мы больше не ограниченны степенями , а вольны использовать  любую положительную пробную функцию , которая стремится к нулю вместе с .

Более того, поскольку шар представляет собой всего лишь множество точек, расстояние до которых от центра  не превышает заданного радиуса , шар продолжает оставаться определенным даже в случае неевклидова пространства  - при условии, что в этом пространстве определено расстояние. Как мы уже отмечали, такие пространства называются метрическими, следовательно, и хаусдорфова мера представляет собой метрическое понятие.

Если задана некоторая пробная (или «калибровочная») функция , то можно сказать, что мера конечного покрытия множества  шарами радиуса  равна . Для получения наиболее экономичного покрытия мы рассматриваем все покрытия шарами, радиус которых меньше , и образуем инфимум

.

При  ограничение  становится чрезвычайно жестким. То есть выражение  может только возрастать; у него есть предел, который имеет вид

.

Этот предел может быть конечным положительным, отрицательным или нулевым. Он определяет  - меру множества .

Если , то  - мера называется  - мерной. Точнее говоря, из-за префактора    - мера является нормированной  - мерной мерой.

Если , то  - мера называется логарифмической.

3. Внутренняя пробная функция множества

Функцию  можно назвать внутренней для множества  и обозначить как , если  - мера  положительна и конечна. Эту меру можно назвать фрактальной мерой множества .

Для стандартных фигур евклидовой геометрии внутренняя пробная функция всегда имеет вид , где  - некоторое целое число. Хаусдорф показал, что внутренней для канторовых пылей и кривых Коха является функция  с нецелочисленным значением .

Типичные случайные фракталы, пусть даже и статистически самоподобные, также обладают внутренней функцией , однако она имеет более сложный вид – например, . В этом случае  - мера множества  относительно функции  обращается в нуль, т.е. фигура содержит меньше «вещества», чем если бы она была  - мерной, но больше, чем если бы она была  - -мерной. В качестве примера можно привести траекторию броуновского движения на плоскости, внутренняя функция для которого, согласно Леви, имеет вид  . См. [560].

Поскольку двумерная мера любого ограниченного множества на плоскости конечна, пробные функции вида  не могут быть внутренними ни для какого плоского множества.

Автором (либо соавтором) многих работ, посвященных определению внутренних функций  случайных множеств, является С. Дж. Тейлор; особо рекомендую обратить внимание на статью [484] (написанную им в соавторстве с У. Э. Прюиттом).

4. Размерность Хаусдорфа – Безиковича: определение

Если известно, что множество  двумерно, вполне достаточно оценить хаусдорфову  - меру для . Однако определение хаусдорфовой меры сформулировано таким образом, что предварительного знания размерности  не требуется. Имея дело со стандартной фигурой неизвестной размерности, мы будем оценивать ее меру для всех пробных функций , где  - целое число. Если длина фигуры бесконечна, а объем равен нулю, то она может быть только двумерной.

Безикович распространил суть последнего заключения на случаи, в которых показатель  не является целым числом, а множество  - стандартной фигурой. Он показал, что для каждого множества  существует такое вещественное значение , что  - мера этого множества при  бесконечна, а при  обращается в нуль.

Эта величина  и называется размерностью Хаусдорфа – Безиковича множества .

Для физика это означает, что величина  представляет собой критическую размерность.

 - мерная хаусдорфова мера  - мерного множества  может быть либо равна нулю, либо бесконечна, либо положительна и конечна. Хаусдорф ограничился только последним, самым простым, случаем и показал, что в эту категорию входят канторовы множества и кривые Коха. Если множество  ко всему прочему еще и самоподобно, легко заметить, что его размерность подобия должна быть равна . С другой стороны, мы знаем, что типичные случайные множества имеют в качестве естественной размерности нулевую меру.

Долгое время Безикович являлся автором или соавтором почти всех публикуемых по данной теме работ. Если Хаусдорфа можно назвать отцом нестандартной размерности, то Безикович, несомненно, заслужил себе звание ее матери.

Коразмерность. Когда в роли пространства  выступает , , а разность называется коразмерностью.

5. Прямые произведения множеств (сложение размерностей)

Рассмотрим множества  и , принадлежащие, соответственно,  - пространству и  - пространству, и обозначим через  множество в  - пространстве , представляющее собой произведение множеств  и  . (Если , то  - это множество расположенных на плоскости точек , причем  и .)

Эмпирическое правило гласит, что если множества  и  «независимы», то размерность множества  равна сумме размерностей множеств  и .

Понятие «независимости», входящее в это правило, оказывается неожиданно сложно сформулировать и представить в общем виде. См. [413,  414], [204] и [416]. К счастью, в подобных прецедентных исследованиях (в таких, например, какие мы рассматриваем в настоящем эссе) нас, как правило, спасает интуиция.

6. Пересечения множеств (сложение коразмерностей)

Эмпирическое правило выглядит следующим образом: если  и  суть независимые множества  в  - пространстве, и

,

то левая часть этого неравенства почти наверное равна коразмерности . Если сумма коразмерностей больше , то размерность пересечения почти наверное равна нулю.

В частности, два множества одинаковой размерности не пересекаются, если . Размерность  можно, таким образом, назвать критической.

Примечательно, что два броуновских следа (при том, что размерность броуновского следа ) пересекаются при  и совершенно не соприкасаются при .

Правило очевидным образом распространяется и на пересечения более чем двух множеств.

Самопересечения. Множество  - кратных точек  можно рассматривать, как пересечение  реплик . Напрашивается предположение, что, с точки зрения размерности пересечения, упомянутые  реплик можно считать независимыми. По крайней мере, в одном случае эта догадка оказывается верной. С. Дж. Тейлор в работе [561] исследует следы броуновского движения и движения Леви в  и  (обобщая результаты, полученные Дворжецким, Эрдешем и Какутани). Размерность следа равна , а размерность множества, состоящего из его  - кратных точек, составляет . Телор предположил, что этот результат верен в  для всех  вплоть до .

7. Проекции множеств

Эмпирическое правило таково: когда фрактал  размерности  проецируется вдоль независимого от  направления на евклидово подпространство размерности , для проекции  верно равенство:

.

Приложение. Пусть  и , где  и  - фракталы в  с размерностями  и . Через  и  обозначим некие неотрицательные вещественные числа и определим множество  как множество, составленное из точек вида . Размерность  этого множества удовлетворяет неравенству:

.

Для доказательства находим прямое произведение  на  и проецируем.

В случае независимости множеств скорее всего подойдет и верхний предел размерности. При  множество  является либо фракталом, либо множеством с интервалами.

8. Субординация множеств (умножение размерностей)

См. главу 32.

9. Субразмерностная последовательность

Если внутренняя функция множества  имеет вид , свойства фрактала полностью описываются его размерностью . Если же

,

то описание фрактальных свойств множества  оказывается более громоздким. Одной размерностью в этом случае не обойтись, требуется последовательность , , . Величины  можно назвать субординатными размерностями  или субразмерностями.

Субразмерности в состоянии пролить свет на вопрос, следует ли считать фракталами пограничные множества, описанные в разделе фракталы, 3. Возможно имеет смысл называть фракталами любое множество , размерность  которого равна , но хотя бы одна субразмерность  отлична от нуля.