25 БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЫ

Место этой главы в настоящем эссе представляет собой в некотором роде результат компромисса. Логичнее было бы поместить такую главу в следующей части, однако некоторые ее разделы являются необходимым предисловием к главе 26.

Роль броуновского движения

Как мы знаем из главы 2, Жану Перрену пришла однажды в голову блестящая идея сравнить физическое броуновское движение с непрерывными недифференцируемыми кривыми. Идея Перрена послужила источником вдохновения для юного Норберта Винера, примерно в 1920 г.  определившего и исследовавшего математическую реализацию броуновского движения, которую и сейчас нередко называют винеровским процессом. Много позже стало известно, что тот же процесс был подробно, хотя и не так строго, рассмотрен в докторской диссертации Луи Башелье [12] (см. также главы 37 и 39).

Странно, что само по себе броуновское движение – при всей своей чрезвычайной важности во многих других областях – не находит в настоящем эссе никакого нового приложения. Время от времени оно помогает вчерне набросать проблему, однако, и в этих случаях при дальнейшем ее рассмотрении оно непременно заменяется каким-либо другим процессом. И все же во многих случаях можно зайти, на удивление, далеко просто модифицируя броуновское движение; нужно только следить за тем, чтобы модификации оставались масштабно-инвариантными.  

По этой и иным причинам остальные случайные фракталы нельзя оценить по достоинству без досконального изучения и понимания конкретных свойств этого их прототипа. Однако миллионы страниц, посвященных данной теме, либо упоминают вскользь, либо вовсе опускают некоторые весьма важные моменты, рассмотрением которых мы и займемся в настоящей главе. Если читатель сочтет, что мы заходим слишком далеко, он – как здесь принято – вполне может перейти к следующему разделу или даже к следующей главе.

Броуновские фракталы: функция и след

К сожалению, термин «броуновское движение» неоднозначен. Во-первых, этим термином можно обозначить график выражения  как функции от . Если  - ордината точки на плоскости, то график представляет собой плоскую кривую, подобным изображенным на рис. 338. Если  - это точка в  - пространстве, то график представляет собой кривую  - пространстве (к  координатам точки  добавляется временнáя координата). Однако во многих случаях нас интересует всего лишь кривая в   - пространстве, которую броуновское движение оставляет за собой в виде следа. Когда след изгибается через равные промежутки времени, функция и след легко выводятся друг из друга. Однако в случае непрерывного броуновского движения эти два аспекта вовсе не эквивалентны, и обозначение их одним термином вносит путаницу.

Когда неоднозначность начинает угрожать ясности моих рассуждений, я разделяю термины и говорю либо о броуновской функции, либо о броуновском следе. Мы уже сталкивались с такой неоднозначностью при рассмотрении кривых Коха, однако здесь она более очевидна благодаря термину «движение».

Кроме того, переменная в броуновских функциях, рассматриваемых в главах 28 – 30, многомерна. Например, в одной из моделей земного рельефа в главе 28 предполагается, что высота точки поверхности является броуновской функцией от ее широты и долготы. Таким образом, часто возникает потребность в уточнении терминологии. При необходимости мы различаем броуновские функции и следы из прямой в прямую, из прямой в пространство, из пространства в прямую, из прямой в  - пространство и т.д.

Броуновские «поля». «Случайное поле» есть в действительности не рандомизированное (алгебраическое) поле, а всего лишь модный синоним (см., например, [13]) для термина «случайная ф1 нескольких переменных». Синоним этот ничем не оправдан, и его следует как можно скорее изъять из обихода, пока он не успел укорениться. Возник он, судя по всему, вследствие некомпетентного перевода с русского, как и термин «автомодельный» (его распространение я, к счастью, успел вовремя пресечь), появившийся в результате бездумного перевода русского термина «самоподобный». 

Плоский броуновский след, построенный как случайная кривая пеано ()

Изучение броуновских следов проливает свет на природу кривых Пеано – и это при том, что броуновский след, как выяснилось, представляет собой не что иное, как рандомизированный вариант кривой Пеано. Я провел небольшой опрос среди случайно выбранной группы ученых, и ни один из них не признал идентичности этих двух построений; не упоминается об этом и в случайным образом отобранной мною (и тщательно просмотренной) пачке книг, посвященных данному предмету. Математики любыми способами избегают такого подхода, поскольку основная его составляющая (иерархия слоев с возрастающей детализацией, регулируемая двоичной временнóй решеткой) никак не связана с результатом построения. Это обстоятельство, по мнению математиков, придает данному подходу искусственный и надуманный характер – однако именно благодаря этому обстоятельству он замечательно вписывается в настоящее эссе.

Процесс можно начинать с любой кривой Пеано с  и . Хитрость заключается в последовательном снятии различных ограничений при продвижении по этапам.

Промежуточные фракталы – «пеано – броуновские гибриды» - заслуживают отдельного подробного изучения в более подходящей обстановке.

Трансверсальное срединное смещение. В конструкциях, изображенных на рис. 98 – 102, на -м этапе построения -й терагон трансформируется путем трансверсального срединного смещения каждого прямолинейного интервала на величину  влево или вправо, в зависимости от четности числа  .  

Обозначим смещения кривой Пеано за промежуток времени  и за два половинных промежутка  и  через, соответственно, . Теперь теорему Пифагора можно записать так:

.

Направления изотропных смещений. В качестве нашего первого отступления от правил построения любой кривой Пеано попробуем рандомизировать направления смещения. Один подход предполагает равную вероятность смещений вправо и влево, давая в результате этакую «случайную прыг – скок – кривую». Другой подход состоит в случайном (однородной плотности) выборе точки на окружности, размеченной в градусах, и использовании полученной таким образом угловой величины. Смещения, определяемые такой процедурой, называются изотропными.

Теорема Пифагора применима к любому из упомянутых способов рандомизации: приращения изотропного движения на двоичных подынтервалах двоичного же интервала геометрически ортогональны.

Длины случайных смещений. Второе отступление от правил неслучайного построения: рандомизации подвергается и длина смещения. Начиная с настоящего момента, под величиной  следует понимать уже не квадрат неслучайного , а среднеквадратическое значение случайного . В результате величины смещения  удовлетворяют следующим выражениям:

;

.

Случайный инициатор. Следующим шагом будет использование в построении случайного инициатора, среднеквадратическая длина которого равна 1. Отсюда неизбежно следует, что , и мы получаем пифагорову теорему для средних:

.

Иными словами, геометрически ортогональные отрезки заменяются отрезками, которые в теории вероятности называются статистически ортогональными или некоррелированными.

Независимые приращения. Срединные смещения можно теперь считать статистически независимыми, как внутри каждого отдельного этапа, так и между этапами.

Гауссовы приращения. Рандомизированная кривая Пеано становится броуновским следом  тогда, когда срединные смещения следуют изотропному гауссову распределению. В плоскости квадрат модуля этой переменной распределяется экспоненциально. Следовательно, при прямом построении нам следует случайным образом выбрать на однородном интервале  точку  и определить модуль как .

Обобщение на пространство. Окончательное построение имеет смысл и при .

Размерность . Теорема Пифагора для средних представляет собой обобщенное определение размерности подобия. Она применима и к броуновскому следу,  поскольку размерность Хаусдорфа – Безиковича в этом случае также равна 2. В применимости же ее к случаю негауссова распределения величины смещения средней точки еще предстоит разобраться. 

Броуновские фрактальные сети (решетки)

Множественные самопересечения. Даже если остановить рандомизацию после первого же этапа, описанного в предыдущем разделе процесса, она успевает полностью нарушить идеальные дальний и ближний порядки, благодаря которым кривые Пеано избегают самопересечений. Рандомизированные терагоны самопересекаются уже на начальных этапах построения, а предельный след почти, наверное, содержит бесконечное количество самопересечений. 

Броуновские пустоты. Общеизвестно, что броуновский след, экстраполированный для всех значений  от  до , плотно заполняет плоскость. Это свойство мы вскоре выведем заново. Однако след, ограниченный определенным промежутком времени, обладает собственной весьма примечательной геометрией – и я не припомню, чтобы ее кто-либо где-либо описывал.

Очевидно, в качестве компенсации за те точки, которые броуновский след  покрывает за время  несколько раз, остальные точки плоскости остаются непокрытыми. Эти непокрытые точки образуют открытое множество, которое разделяется на внешнее множество, содержащее точку в бесконечности, и бесконечное количество непересекающихся броуновских пустот. И внешнее множество, и каждая пустая область ограничены фрактальными кривыми, которые являются подмножествами следа. Следовательно, броуновский след можно считать фрактальной сетью – наглядные подтверждения этому вы найдете на рис. 340 и 341.

В главе 14 описана сеть с размерностью , в которой число пустот площади , превышающей некоторое заданное значение , определяется соотношением . В случайном контексте при  формальное обобщение имеет вид . Однако в данном случае оно неприменимо, так как должен сходиться интеграл . В связи с этим я предполагаю, что , где  - некая медленно изменяющаяся функция, которая убывает достаточно быстро для обеспечения сходимости упомянутого интеграла. Из-за необходимости введения непостоянной величины  размерность  в самоподобной разветвленной сети оказывается недостижима – точно так же, как недостижима она и в самоподобной простой кривой (см. главу 15).

Нулевая площадь броуновской сети. Несмотря на размерность броуновской сети , ее площадь равна нулю. То же должно быть верно и для пеано – броуновских гибридов.

Неограниченный след плотен в плоскости. Это свойство основывается на том факте (который мы установим несколько позже, когда будем говорить о нуль - множествах), что неограниченный след бесконечно часто «возвращается» в любую заданную плоскую область  - такую, например, как диск. А если взять любую произвольно малую область  и совместить ее центр с произвольной точкой на плоскости, то станет ясно, что неограниченный броуновский след подходит к каждой точке плоскости бесконечно много раз и на произвольно близкое расстояние.

Однако – в чем мы убедимся при рассмотрении тех же нуль – множеств – вероятность  того, что некий конкретный след точно попадет в некую заданную точку, равна нулю, т.е. заданная точка почти наверняка оказывается не затронутой неограниченным следом.

Часть неограниченного следа, заключенную внутри области , можно приближенно представить себе в виде исчислимо бесконечного множества независимых ограниченных сетей, наброшенных на область . Результат напоминает исчислимо бесконечное множество точек, выбранных случайным образом и независимо друг от друга из интервала . Общеизвестно, что такое множество везде плотно, однако длина его равна нулю.

Зависимость массы от радиуса

Величина  в качестве коэффициента подобия характерна для большинства аспектов броуновского движения. Например, если измерить по прямой расстояние, которое покрывает броуновское движение за время , то мы получим случайную величину, кратную  . Аналогичным образом и общее время, проведенное броуновской точкой внутри окружности радиуса  с центром в точке , представляет собой случайную величину, кратную .

Определив величину, пропорциональную времени, затраченному броуновским следом на прохождение того или иного своего участка, как «массу», а затем «взвесив» эти самые участки, мы обнаружим, что – как в плоскости, так и в пространстве  - общая масса, заключенная внутри окружности радиуса , определяется соотношением .

Формально это соотношение полностью идентично тому, что мы получили для кривых Коха (глава 6) или канторовой пыли (глава 8). И тем более идентично соотношению для классических случаев интервала, диска или шара однородной плотности.

Броуновский след: отсутствие «складок» и стационарные приращения

Рандомизировав кривую Пеано, мы нежданно -  негаданно получили гораздо больше, чем предполагали. В качестве предваряющего комментария заметим, что в моменты времени вида  неслучайные кривые Коха и Пеано непременно демонстрируют «складки». Разделив, например, треть границы снежинки на четыре части, мы обязательно обнаружим, что угол между первой и второй четвертями отличается от угла между второй и третьей. То есть спутать левую четверть со средней просто невозможно.

Броуновский же след лишен таких «складок». Имея перед глазами броуновский след на некотором интервале времени , никак нельзя сказать, где именно на временнóй оси расположен этот интервал. В терминологии теории вероятности принято говорить, что броуновский след имеет «стационарные приращения».

Это свойство заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, на нем основывается альтернативное, «безрешеточное», определение броуновского движения, данное несколько дальше в этой же главе, а во-вторых, оно не имеет соответствий среди свойств аналогичных рандомизированных форм простых фрактальных кривых и поверхностей. 

Броуновский след: самоподобие

Из отсутствия складок вытекает весьма сильная форма статистического самоподобия. Положим , выберем два положительных числа    и воспользуемся разделом теории вероятности, который называется теорией слабой сходимости. Согласно этой теории, функции  и  статистически тождественны. Положив далее    и изменяя  в интервале от 0 до , мы обнаруживаем, что функция  представляет собой некоторое подобие участка функции  в уменьшенном масштабе. Эту статистическую тождественность части целому можно рассматривать как форму самоподобия.

Самоподобие в приложении к случайным множествам – понятие не столь строгое, как то, с которым мы познакомились в главе 5, так как здесь части не обязательно должны быть в точности подобны целому. Достаточно того, что части и уменьшенное в масштабе целое имеют одинаковые распределения.

Заметим, что кривые Коха допускают только коэффициенты подобия вида , где  - целое число, для броуновского же следа сгодится любое . Весьма ценное свойство.

Броуновское нуль – множество самоподобно . . .

Особое значение для изучения броуновских функций имеют множества постоянства, или изомножества, координаты функций  и . Например, нуль – множество определяется в те моменты времени , когда .

Изомножества самоподобны; их очевидная чрезвычайная разреженность подтверждается и их фрактальной размерностью . Они представляют собой особый случай пыли Леви, которую мы рассмотрим в главе 32.

Распределение пустот в броуновских нуль – множествах. Длины пустот броуновского нуль – множества удовлетворяют соотношению , где . Аналогичное соотношение , как нам известно, применимо к длинам «пауз» в канторовой пыли; только здесь мы заменили  на , а ступени исчезли из-за рандомизации.

А броуновская функция всего лишь самоаффинна

Что же касается графиков функций  и , а также векторной функции , то они являются не самоподобными, а всего лишь самоаффинными. То есть участок кривой от  до  можно покрыть  его уменьшенными копиями только при условии, что вдоль оси (осей) пространственных координат уменьшение по-прежнему происходит с коэффициентом подобия , а временнáя координата при этом уменьшается с другим коэффициентом . Следовательно, размерность подобия для графиков функций ,  и  не определена.

Более того, аффинные пространства таковы, что расстояния вдоль оси  и расстояния вдоль осей  и  нельзя сравнивать друг с другом, а это означает, что диски определить невозможно. В результате соотношение  не имеет в случае броуновских функций аналога, который мог бы послужить для определения размерности .

С другой стороны, к ним применимо определение Хаусдорфа – Безиковича. Это вполне согласуется с высказанным в главах 5 и 6 утверждение о том, что определение размерности Хаусдорфа – Безиковича представляет собой наиболее общий – и наиболее громоздкий! – способ интуитивного постижения содержания понятия фрактальной размерности. Значение  для функции  равно , а для функции  .

Набросок доказательства. На протяжении временнóго промежутка   значение разности  есть величина порядка . Для покрытия этого подграфика функции  квадратами со стороной  потребуется порядка  квадратов. Следовательно, для покрытия графика на интервале от  до  потребуется порядка  квадратов. А поскольку это число равно также  (см. главу 5), можно эвристически заключить, что .

Фрактальные размерности сечений

Нуль – множество броуновской функции из прямой в прямую представляет собой горизонтальное сечение броуновской функции . Применив правило, сформулированное в главе 23, можно предположить, что размерность нуль –множества составляет ; как нам уже известно, так оно и есть. Другие приложения этого правила также обладают огромной эвристической ценностью, в чем мы убедимся немного позже. Правило это имеет и исключения, особенно в случае не изотропных фракталов. Например, вертикальное сечение броуновской функции из прямой в прямую – это всего лишь точка.

Рассуждая аналогичным образом, находим размерность линейного сечения броуновского следа из прямой в плоскость: , и это в самом деле так.

В более общем виде стандартное правило можно сформулировать следующим образом: если не считать особых конфигураций, коразмерности  при пересечении складываются. Следовательно, коразмерность  пересечения  плоских броуновских следов равна . В частности, можно ожидать, что точки самопересечения броуновского следа образуют множество с размерностью 2 (в самом деле, образуют). (И все же многочисленные точки самопересечения броуновского следа, равно как и сам броуновский след, не в состоянии заполнить плоскость.)

Правило сложения коразмерностей можно использовать для доказательства следующего утверждения (некоторое время назад мы уже говорили об этом): броуновское движение почти наверное не возвращается в свою начальную точку , однако почти наверное бесконечно часто проходит в произвольной окрестности этой точки. Для того чтобы придать нашим рассуждениям более общий вид и сделать их пригодными для последующего применения в главе 27 без дополнительной корректировки, обозначим размерность броуновского нуль – множества буквой .

В моменты возвращения  в 0 одновременно выполняются следующие равенства:  и . Следовательно, эти моменты должны принадлежать пересечению нуль – множеств функций  и , каковые множества не зависят друг от друга. Размерность пересечения равна , что при  составляет . Такое значение размерности можно расценивать как явный намек (но всего лишь намек, так как полное доказательство гораздо сложнее) на то, что  почти наверное не возвращается в точку .

А теперь рассмотрим множество моментов времени, когда  попадает в точку, расположенную внутри горизонтального квадрата со стороной  и центром в точке 0. Это множество можно приближенно представить как пересечение множеств моментов , находящихся на расстоянии  от точек нуль – множеств функций  и , соответственно. Для каждого из этих множеств масса, заключенная во временнóм промежутке , пропорциональна , а вероятность того, что именно этот промежуток содержит нужный момент , пропорциональна . Следовательно, вероятность того, что момент принадлежит пересечению этих множеств, пропорциональна . Поскольку , получаем ; на этом основании в теореме, предложенной Борелем и Кантелли, делается вывод, что количество возвращений  в квадрат с центром в точке 0 почти наверное бесконечно. Впрочем, можно сказать и «чуть ли не бесконечно». Как следствие, пустоты в ограниченных броуновских сетях начинают – медленно и с видимой неохотой – заполняться.

Случайные блуждания на частой решетке

Можно генерировать броуновское движение и случайным блужданием на решетке. Здесь мы только упомянем о возможности такого подхода; более подробное обсуждение, ввиду наличия в нем некоторых сложностей, отложим до главы 36.

Мы говорим, что точка , вложенная в , совершает случайное блуждание, если в каждой из последовательных моментов времени, разделенных интервалом , она перемещается на некоторое фиксированное расстояние  в направлении, которое выбирается случайным образом из доступных в данной решетке.

Если решетка состоит из точек плоскости, координаты которых – целые числа, то величины  и  изменяются при каждом шаге на . Говорят, что каждая из этих величин совершает случайное блуждание на прямой (см. рис. 338). В приблизительном масштабе, т.е. при малом  и , случайное блуждание неотличимо от броуновского движения.

Рис. 338 Выборочное случайное блуждание как приближение броуновской функции из прямой в прямую (размерность ) и  ее нуль – множества (размерность )

Самая долгая (и самая простая!) из всех азартных игр началась приблизительно в 1700 г., когда в теории вероятности еще заправляла семья Бернулли. Если наша неизменно симметричная монета падает орлом вверх, то пенни выигрывает Генри, если же выпадает решка, пенни достается Томасу. (На самом деле их звали Петер и Пауль, но я так и не смог запомнить, который из них ставил на орла.)

Некоторое время назад понаблюдать за игрой заходил Уильям Феллер; результаты своих наблюдений он обобщил в виде графика зависимости совокупного выигрыша Генри от количества бросков монеты, каковой график вы можете видеть на рисунке вверху. (Воспроизводится по книге Феллера «Введение в теорию вероятности и ее приложения» (т.1) с любезного разрешения ее издателей, компании J, Wiley & Sons  © 1950.)

Средний и нижний рисунки представляют совокупный выигрыш Генри за более продолжительную игру; данные снимаются через каждые 20 бросков.

Увеличивая длину наборов данных и уменьшая длину шага, асимптотически получаем выборку значений броуновской функции из прямой в прямую

На одной из своих лекций Феллер сообщил, что данные рисунки «нетипичны» и были выбраны среди нескольких других, графики на которых выглядели неправдоподобно разбросанно. Как бы то ни было, бесконечное (так мне казалось) созерцание этих графиков сыграло решающую роль в развитии двух теорий, включенных в настоящее эссе.

О графике в целом. В [342] имеется высказывание в том смысле, что форма всего графика целиком напоминает силуэт горного массива или вертикальный разрез земной коры. Пройдя через несколько обобщений, это наблюдение привело, в конце концов, к нескольким моделям, описанным в главе 28.

Нуль – множество графика. Нуль – множество графика есть множество моментов, когда кошельки Генри и Томаса возвращаются к тому состоянию, в котором они пребывали в момент начала наблюдения. По способу построения графика временные интервалы между нулями взаимно независимы. Однако совершенно очевидно, что положения этих нулей независимыми назвать никак нельзя – они образуют весьма явственные скопления. Например, если рассматривать вторую кривую в том же масштабе, что и первую, то почти каждый нуль предстает в виде целого скопления точек. Имея дело с математическим броуновским движением, эти скопления можно подразделять иерархически до бесконечности.

Когда ко мне обратились за помощью в построении модели распределения ошибок в телефонных линиях, я очень кстати вспомнил о графиках Феллера. Хотя было известно, что ошибки группируются в пакеты (в этом, собственно, и состояла практическая суть возникшей проблемы), я предположил, что интервалы между пакетами могут оказаться взаимно независимыми. Тщательное эмпирическое исследование подтвердило мое предположение и привело к созданию моделей, описанных в главах 8 и 31.

Броуновское нуль – множество образует простейшую пыль Леви, т.е. случайную канторову пыль с размерностью . Таким же образом можно получить и пыль любой другой размерности  в интервале между 0 и 1, нужно только взять нули другой случайной функции. С помощью этой модели можно даже определить фрактальную размерность телефонного канала. Точность значений  зависит от точности измерения характеристик моделируемого функцией физического процесса.

Рис. 340 и 341. Броуновские оболочки / острова; Броуновское движение без самопересечений

Броуновская петля. Под этим термином я подразумеваю след, покрываемый за некоторое конечное время  плоским броуновским движением, возвращающимся к своей исходной точке. Этот след представляет собой случайную кривую Пеано, длина инициатора которой равна нулю.

Рис. 341. Броуновская оболочка. Будучи (почти наверное) ограниченной, броуновская петля разбивает плоскость на две области: внешнюю, любая точка которой может быть соединена с некой отдаленной точкой без пересечения петли, и внутреннюю, которую я предлагаю называть броуновской оболочкой или броуновским островом.

Рис. 340. На этом рисунке представлена оболочка броуновского следа, не образующего петли.

Комментарий. Я не знаю, проводил ли кто-нибудь исследование броуновских оболочек, но полагаю, что они заслуживают самого пристального внимания. Образцы, изображенные справа, являются результатом 200 000 броуновских шагов, каждый из которых построен на растре .

По способу построения броуновские оболочки, соответствующие различным значениям , статистически тождественны, за исключением масштаба. И имеются все основания полагать, что мелкие детали границы оболочки асимптотически самоподобны (нет только конкретных доказательств). Граница не может быть масштабно-инвариантной в строгом смысле, так как петлю нельзя разделить на участки одинаковой структуры, однако малые подучастки подходят к масштабно - инвариантности весьма близко.

Броуновское движение без самопересечений. По причинам, подробно изложенным в главе 36, где мы рассмотрим случайное блуждание без самопересечений, я предлагаю для обозначения границы броуновской оболочки термин броуновское движение без самопересечений.

Размерность броуновского движения без самопересечений. Интерпретировав некоторые известные соотношения (они приведены в главе 36) в том смысле, что размерность случайного блуждания без самопересечений составляет , я предполагаю, что это верно и для броуновского движения без самопересечений.

Эмпирическая проверка этого предположения дает замечательную возможность проверить заодно и соотношение между длиной и площадью, полученное в главе 12. Плоскость покрывается квадратными решетками (с каждым разом все более частыми), а мы считаем количество квадратов со стороной , пересекаемых  оболочкой – получается  - площадь – и  ее границей – получается  - длина. Графики зависимости  - длины от  - площади в двойном логарифмическом масштабе оказываются замечательно прямыми, причем их угловые коэффициенты практически совпадают с .

Сходство между кривыми на рис. 341 и 325 – и между их размерностями – также заслуживает упоминания.

Замечание. Наибольшие открытые области на рис. 341, которую  не посещает, показаны серым цветом. Их можно рассматривать как тремы, ограниченные фрактальными кривыми; следовательно, петля представляет собой сеть – в том смысле, который мы вкладывали в этот термин в главе 14.

Возникает вопрос: чем же является петля с точки зрения степени ветвления – салфеткой или ковром? Я предполагаю, что верно последнее, так как броуновские сети удовлетворяют свойству Уайберна, описанному на с. 201 (пока неопубликованной). Следовательно, броуновский след также можно считать универсальной кривой в смысле, определенном на с. 209.

Прямые, «безрешеточные», определения броуновского движения

Предыдущие определения броуновского движения основывались либо на временнóй  решетке, либо и на временнóй, и на пространственной, однако в окончательном результате эти «подпорки» никак себя не проявляют. Я полагаю, что и при описании этого самого результата вполне возможно обойтись без них.

В прямом описании Башелье [12] постулируется, что на некоторой произвольной последовательности равных приращений времени  векторы смещения  независимы, изотропны и случайны с гауссовым распределением вероятности. Таким образом,

.

Следовательно, среднеквадратическое значение  равно . Это определение не зависит от системы координат, но проекция вектора смещения  на любую ось представляет собой гауссову скалярную случайную переменную с нулевым средним и дисперсией, равной .

Определение, полюбившееся математикам, идет дальше и обходится без разделения времени на равные промежутки. Оно требует изотропии движений между любой парой моментов времени  и . Оно требует независимости движения от предыдущего положения точки. Наконец, оно требует, чтобы вектор из точки  в точку , деленный на , имел приведенную гауссову плотность распределения для всех  и .

Дрейф и переход к

Движение коллоидной частицы в однородно текущей реке или электрона в медном проводнике можно представить как . След этой функции неотличим от следа функции  при  и от следа функции  при . Таким образом, при  и   размерность следа понижается от  к . В терминологии критических феноменов величина  символизирует расстояние от критической точки, а показатели в формулах для  и  представляют собой критические показатели.

Альтернативные случайные кривые пеано

Рандомизация кривых Пеано через срединное смещение проходит так гладко только благодаря исключительным обстоятельствам. Аналогичные конструкции, имеющие в своей основе кривую Пеано с , значительно более сложны. Кроме того, если смещение средней точки следует гауссову распределению среднеквадратического значения, равного  (т.е.  и  суть гауссовы независимые переменные, связанные уже знакомым нам соотношением ), то тем самым достигается более тесный параллелизм с неслучайным скейлингом. Получаемый в этом случае процесс весьма интересен. Только он не является броуновским движением. И все из-за складок.

Размерность траекторий частиц в квантовой механике

В качестве достойного завершения этого обсуждения можно упомянуть об одной фрактальной морщине, появившейся недавно на лике квантовой механики. Фейнман и Хиббс [150] отмечают, что типичная траектория квантовомеханической частицы непрерывна и недифференцируема; кроме того,  многие авторы усматривают явное сходство между броуновским и квантовомеханическим движениями (см., например, статью [441]  и список литературы к ней). Вдохновившись этими параллелями и моими первыми эссе, Эббот и Уайз [2] показали, что наблюдаемая траектория частицы в квантовой механике представляет собой фрактальную кривую с размерностью . Интересная аналогия – по крайней мере, в педагогическом смысле.